2.2 第1课时 基本不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　基本不等式 　 第二章　2.2　基本不等式 学习目标 1.理解基本不等式 (a>0，b>0)． 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小 值问题，培养数学抽象和数学运算核心素养． 知识点一　基本不等式 1 知识点二　基本不等式与最值 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　基本不等式 返回 问题2.你在问题1中所得不等式中的“a>0，b>0”是否可以去掉？不等式中“＝”成立的条件是什么？ 提示：不能；“＝”成立的条件是a＝b. 问题导思 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则___________，当且仅当______时，等号成立． 2．其中叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不______它们的几何平均数． 新知构建 a＝b 小于 “当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 微思考 微提醒 基本不等式的常见变形 (1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是 例1 √ (2)若实数a，b满足0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是 A． B．a2＋b2 C．2ab D．a √ 由题设知0<a<b，且a＋b＝1， 由a2＋b2>2ab，所以a2＋b2最大． 规律方法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立． 对点练1.(多选)若a>b>0，则下列不等式成立的是 √ √ √ 返回 知识点二　基本不等式与最值 返回 问题3.已知x>0，求x＋ 的最小值．本题中求最小值的“代数式”有什么特点？是否可以利用基本不等式求x＋ 的最小值，是否必须说明“当且仅当x＝ 时，等号成立”？ 必须说明等号成立，这才表明“2”是“x＋ ”的一个取值． 问题导思 问题4.你能尝试说明满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最 值吗？ 提示：关键看代数式是否具备：(1)转化为两个正数的和或积的形式；(2)和或积是否是一个定值；(3)不等式中的等号是否能取到． 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 ； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2. 简记为：积定和最小，和定积最大． 新知构建 利用基本不等式求最值的三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 微提醒 (链教材P45例1、例2)(1)当x>0时，求 ＋4x的最小值； 例2 (2)当x<0时，求 ＋4x的最大值； 解：因为x<0，所以－x>0， (3)已知4x＋ (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 所以a＝36. 规律方法 利用基本不等式求最值时要注意三点 1．各项均为正． 2．寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)． 3．考虑等号成立的条件是否具备． 对点练2.(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A．80 B．77 C．81 D．82 √ (2)已知0<x< ，则y＝x(1－2x)的最大值为___． 返回 综合应用 返回 变形应用基本不等式求最值 方法 一　配凑法求最值 (1)已知x>3，求y＝2x＋ 的最小值； 例3 解：因为x>3，所以2x－6>0， 规律方法 配凑法的应用技巧 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 对点练3.若0<x<4，则y＝x(8－2x)的最大值为__． 8 方法二　拆裂项求最值 若x>1，求函数y＝ 的最小值． 例4 规律方法 拆项与裂项的应用技巧 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分 ——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值． 对点练4.已知t>0，则y＝ 的最小值为____． －2 方法三　常数代换法求最值 已知x>0，y>0，且 ＝1，求x＋y的最小值． 例5 所以当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 规律方法 常数代换法的应用技巧 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 对点练5.正实数x，y满足xy＝4x＋y，则x＋y的最小值为_____． 9 返回 课堂小结 知识 (1)基本不等式的推导与证明．(2)求简单代数式的最值．(3)最值定理 方法 配凑法、折裂项法、常数代换法 常见误区 利用基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”缺一不可 随堂演练 返回 1．(多选)下列不等式一定成立的是 √ √ 2．已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为 √ 9 4．函数f(x)＝x＋ (x>1)的最小值为____． 返回 3 课时测评 返回 1．下列不等式中正确的是 若a<0，则a＋ ≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab， 故B错误；若a＝4，b＝16，则 ，故C错误；由基本不等式可知D项正确．故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝40，则xy的最大值是 A．200 B．300 C．400 D．600 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为 A．16 B．25 C．9 D．36 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)下列说法中，正确的为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的有 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知m，n>0，且m＋n＝16，则 mn的最大值为____． 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x<y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．若0<x<1，则 的最大值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)(1)已知x>0，求y＝2－x－ 的最大值；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为 A．16 B．9 C．4 D．36 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋ 的最小值为____． 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(4分) 解：由2x＋8y－xy＝0， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)x＋y的最小值．(6分) 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)(开放题)是否存在正实数a和b，同时满足下列条件： ①a＋b＝10；② ＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出 a，b的值；若不存在，说明理由． 返回 故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 ≤ 问题1.在a>0，b>0的条件下，把a2＋b2≥2ab中a，b分别由，代换，可得到一个什么样的不等式？ 提示：可得a＋b≥2，即≤. ≤ 提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b⇒＝；另一方面是仅当a＝b时取等号，即＝⇒a＝b. (1)a＋b≥2.(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)． 提示：代数式是“x与和”的形式，且x·＝1(定值)，x＋≥2 ＝2. 因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.故选C. 因为0<x<4，所以8－2x>0，所以y＝x(8－2x)＝·2x(8－2x)≤· ＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号．所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 解：因为x>1，即x－1>0，所以y＝＝＝x＋1＋＝ (x－1)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，所以y＝的最小值为4. ＋ A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) A． B． C． D． 3．若a，b都是正数，则的最小值为________． 因为x>1，所以x－1>0，由基本不等式可得f(x)＝x－1＋＋1≥ 2＋1＝2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取得最小值3. A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 < 3．3x2＋的最小值是 A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 A．因为a，b为正实数，所以＋≥2 ＝2 B．因为x∈R＋，所以>1 C．因为a<0，所以＋a≥2 ＝4 D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2 A．ab≤1 B．＋≤ C．a2＋b2≥2 D．＋≥2 8．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________． A．＋的最小值为4 B．的最小值为 C．＋的最大值为 D．a2＋b2的最大值为 得＋＝1，又x>0，y>0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 解：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 15．(5分)已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为________． 2 ＋ $$