2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　等式性质与不等式性质 [学习目标]　理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用，培养逻辑推理核心素养． 知识点　不等式的性质 问题1.如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？ 提示：甲比丙高．如果a>b，b>c，那么a>c. 问题2.如果某月某公司员工甲比乙的薪水高，公司又给他们发了相同数额的奖金，那么这个月甲和乙谁的收入更高？扣除了相同数额的保险费用后呢？你能提炼出什么不等关系？ 提示：甲比乙的收入高，扣除相同数额的保险费用后仍然是甲比乙的收入高．若a>b，则a－c>b－c. 问题3.若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多．这里反映出的不等关系如何用符号语言表述？ 提示：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d. 不等式的基本性质 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 5 同向 可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N，n≥2) 同正 [微提醒]　(1)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．(2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．(3)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(4)性质7的拓展：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． (链教材P42练习T2)(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．0>a>b⇒a2>b2 B．a2>b2⇒a>b>0 C．若a<b<0，则a2>ab>b2 D．若a>b，>，则a>0，b<0 答案：CD 解析：对于A，由0>a>b可知，0<－a<－b，则由性质7可知，(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故A为假命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得a2>ab.因为所以ab>b2，从而有a2>ab>b2.故C为真命题；对于D，由>，可知－＝>0.因为a>b，所以b－a<0，于是ab<0.又因为a>b，所以a>0，b<0.故D为真命题．故选CD. 利用不等式的性质判断命题真假的2种方法 1．直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可． 2．特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 对点练1.(1)下列命题中，正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a<b C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若<，则a<b (2)(多选)已知<<0，则下列结论正确的是(　　) A．a<b B．ab>a＋b C．|a|<|b| D．ab>b2 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)选项A中，当a>b>0，c>d>0时，ac>bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c<0时，ac>bc可推出a<b.当c>0时，ac>bc可推出a>b，故B不正确；选项C中，由a>b，c>d，令a＝c＝1，b＝0，d＝－1，得a－c<b－d，故C不正确；选项D中，式子<成立，显然c≠0，所以c2>0，根据不等式的性质，不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a<b，故D正确．故选D. (2)由<<0可得b<a<0，显然A不正确；因为b<a<0，所以ab>0，a＋b<0，所以ab>a＋b，故B正确；因为b<a<0，所以|b|>|a|，故C正确；因为b<a<0，所以b<0，a－b>0，可得ab－b2＝b(a－b)<0，ab<b2，故D不正确．故选BC. 学生用书↓第34页 应用一　利用不等式的性质证明不等式 已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0. 又因为a>b>0，所以a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即a－c>b－d>0，所以0<<. 又因为e<0，所以>. 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 1．利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． 2．应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 对点练2.已知a>b>0，求证：>. 证明：因为a>b>0，所以>>0.① 又由a>b>0，两边同乘正数，得>>0.② 由①②得>. 应用二　利用不等式的性质求代数式的取值范围 已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 解：(1)因为－1<x<4，2<y<3， 所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2， 所以x－y的取值范围是－4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18， 所以3x＋2y的取值范围是1<3x＋2y<18. [变式探究]　(变条件)若将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围． 解：因为－1<x<3，－1<y<3， 所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4. 又因为x<y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0， 所以x－y的取值范围是－4<x－y<0. 利用不等式的性质求取值范围的策略 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2．同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 对点练3.已知1<a<4，2<b<8，求的取值范围． 解：因为2<b<8，所以<<. 又1<a<4， 所以1×<a×<4×， 即<<2. 所以的取值范围是<<2. 知识 (1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用 方法 作差比较法、赋值法、不等式性质法 常见误区 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性 学生用书↓第35页 1．与a>b等价的不等式是(　　) A．|a|>|b| B．a2>b2 C．>1 D．a3>b3 答案：D 解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1，故A，B，C都不正确．故选D. 2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B．>⇒a>b C.⇒> D．a>b>0⇒> 答案：C 解析：当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；ab<0，a>b⇒<，即>，C成立；当a>b>0时，<，D不成立．故选C. 3．已知a<b<|a|，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．|b|<－a B．ab>0 C．ab<0 D．|a|<|b| 答案：A 解析：由a<b<|a|，知a<0，所以|a|＝－a，所以a<b<－a.所以|b|<|a|＝－a，故A正确，D错误．b的符号不确定，故B，C错误．故选A. 4．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围是________． 答案：－2<α－β<0 解析：由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.所以－2<α－β<2，又α<β，所以α－β<0，所以－2<α－β<0. 课时测评11　等式性质与不等式性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A．< B．< C．a2<b2 D．|a|>|b| 答案：A 解析：因为a<0，b>0，所以<0，>0，所以<.故选A. 2．设a<b<0，则下列不等式中不一定成立的是(　　) A．> B．ac<bc C．|a|>－b D．> 答案：B 解析：对于A，因为a<b<0，所以>0，将a<b两边同乘，则>，故选项A中不等式一定成立；对于B，只有当c>0时，选项B中不等式成立，其余情况不成立，则选项B中不等式不一定成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C中不等式一定成立；对于D，由－a>－b>0，可得>，则选项D中不等式一定成立．故选B. 3．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 答案：D 解析：取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，a＋b＝－1<0.故A、B、C错误，D正确．故选D. 4．若a，b，m都是正数，则不等式>成立的条件是(　　) A．a>b B．b>a C．a>m D．m>b 答案：B 解析：>⇒－>0⇒－＝>0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a>0，即b>a.故选B. 5．(多选)若a>b>0>c>d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．> B．> C．a－d>b－c D．ac>bd 答案：BC 解析：d<c<0⇒<<0，故A错误；>，故B正确；－d>－c>0，a>b，所以a－d>b－c，故C正确；取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，ac＝bd，故D错误．故选BC. 6．(多选)若x>1>y，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x－1>1－y B．x－1>y－1 C．x－y>1－y D．1－x>y－x 答案：BCD 解析：对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y>0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1>0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y>0，故选项D中不等式成立．故选BCD. 7．不等式a>b和>同时成立的条件是________． 答案：a>0>b 解析：若a，b同号，则a>b⇒<，所以a，b异号，即a>0>b. 8．设x>1，－1<y<0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：____________． 答案：y<－y<x 解析：因为－1<y<0，所以0<－y<1， 所以y<－y，又x>1，所以y<－y<x. 9．(新设问)能够说明“设a，b是任意非零实数，若>1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________． 答案：－1，－2(答案不唯一) 解析：要使“设a，b是任意非零实数，若>1，则b>a”是假命题，只需满足b<a<0即可，可取a＝－1，b＝－2.(答案不唯一．) 10．(10分)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. 证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc. 因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1， 所以≤. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　) A．如果a>b，那么> B．如果ac<bc，那么a<b C．如果a>b，那么< D．如果a>b，那么> 答案：D 解析：利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A、B、C中的前提条件．对于选项A，有<，故A是假命题；对于选项B，有a>b，故B是假命题；对于选项C，有>，故C是假命题；对于选项D，因为c≠0，所以>0，由不等式的性质4知，D是真命题．故选D. 12．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a>b>0，则ac2≥bc2 B．若a>b>0，则a2>ab>b2 C．若a>b>0且c>0，则> D．若a>b且>，则ab<0 答案：ABD 解析：对于A，若a>b>0，则ac2－bc2＝c2(a－b)≥0，即ac2≥bc2，故A正确；对于B，若a>b>0，则a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，若a>b>0且c>0，则－＝＝<0，所以<，故C错误；对于D，若a>b且>，则b－a<0，－＝>0，所以ab<0，故D正确．故选ABD. 13．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题． 答案：3 解析：由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以②③⇒①，①②⇒③，③①⇒②.所以可以组成3个正确命题． 14．(10分)已知：3<a＋b<4，0<b<1，求下列各式的取值范围． (1)a；(3分)(2)a－b；(3分)(3).(4分) 解：(1)因为3<a＋b<4，0<b<1， 所以－1<－b<0， 所以2<a＋b＋(－b)<4，即2<a<4. (2)因为0<b<1，所以－1<－b<0. 又因为2<a<4，所以1<a－b<4. (3)因为0<b<1，所以>1， 又因为2<a<4，所以>2. 15．(5分)(新角度)有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 答案：A 解析：因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.所以b<d.又a＋c<b，所以a<b.综上可得，d>b>a>c.故选A. 16．(15分)(新定义)对于四个正数m，n，p，q，若满足mq<np，则称有序数对(m，n)是(p，q)的“下位序列”． (1)对于2，3，7，11，有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”吗？请简单说明理由；(5分) (2)设a，b，c，d均为正数，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系．(10分) 解：(1)有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”． 因为3×7<11×2， 所以(3，11)是(2，7)的“下位序列”． (2)因为(a，b)是(c，d)的“下位序列”，所以ad<bc， 因为a，b，c，d均为正数， 所以－＝>0，即－>0，所以>， 又－＝<0，所以<. 综上所述，<<. 学科网（北京）股份有限公司 $$