2.1 第1课时 不等关系与不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 [学习目标]　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，培养数学抽象核心素养．　 2.初步学会作差法比较两实数的大小，培养逻辑推理核心素养． 知识点一　不等关系与不等式 生活中的不等关系处处存在，我们经常看到下列标志： 问题1.你知道各图标的标志有何作用？其含义是什么？ 提示：其作用及含义分别为： ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m. 问题2.你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①v≥50 km/h；②m≤10 t；③h≤3.5 m. 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ [微提醒]　不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确． (链教材P40练习T1)(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A．80＋20n≥300 B．80＋20n≤300 C．80＋20(n－1)≤300 D．80＋20(n－1)≥300 (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式(组)表示其中的不等关系是____________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)经过n年后，方案B的投入为80＋20(n－1)，则“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80＋20(n－1)≥300.故选D. (2)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18.这时菜园的另一条边长为＝m，因此菜园的面积S＝x，依题意有S≥96，即x≥96.故该题中的不等关系可用不等式组表示为 用不等式(组)表示不等关系的步骤 1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． 2．适当地设未知数表示变量． 3．用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． [提醒]　此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 学生用书↓第31页 对点练1.(1)下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高可表示为“x<y” C．某变量x至少是a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≥a” (2)李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是________． 答案：(1)C　(2)30x＋60≥400 解析：(1)某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x≤2 000”，所以A错误；小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高可表示为“x>y”，所以B错误；某变量x至少是a可表示为“x≥a”，所以C正确；某变量y不超过a可表示为“y≤a”，所以D错误．故选C. (2)由题意知，x个月后所存的钱数为(30x＋60)元，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x＋60≥400. 知识点二　实数大小比较的基本事实 问题3.对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？ 提示：三种关系：a>b；a＝b；a<b. 问题4.给定两个实数(或代数式)a，b，如何比较它们的大小？ 提示：可作差比较．若a－b>0，则a>b； 若a－b＝0，则a＝b；若a－b<0，则a<b. 实数大小比较的基本事实 (链教材P38例1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1. 作差法比较大小的步骤 [提醒]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　 对点练2.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋. 因为≥0， 所以＋≥>0， 所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， 所以2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 知识点三　重要不等式 如图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，将其抽象成如图②的形式．设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)，那么正方形的边长为. 问题5.你能比较大正方形ABCD的面积与四个相同直角三角形面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？ 提示：大正方形的边长为，这四个直角三角形的面积和为2ab，大正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于四个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab. 问题6.正方形ABCD的面积与四个相同直角三角形面积之和能相等吗？如果相等，应满足什么条件？ 提示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab. 学生用书↓第32页 重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 已知a>0，b>0，证明：a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明：a3＋b3－(ab2＋a2b) ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b) ＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)． 因为a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab， 所以a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 1．比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号． 2．a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”．　　 对点练3.已知a>0，求证：a＋≥2. 证明：法一：利用a2＋b2≥2ab.因为a>0， 所以a＋＝()2＋≥2·＝2， 当且仅当a＝1时，等号成立． 法二：因为a＋－2＝()2＋－2 ＝≥0，所以a＋≥2. 不等式关系的实际应用 为纪念建党103周年，某单位组织员工去瞻仰毛泽东纪念馆，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠 . 解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元． 由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx. 因为y1－y2＝x＋nx－nx ＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1<y2； 当n<5时，y1>y2. 所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．　　 对点练4.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元． 答案：20　330 解析：设开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 知识 (1)用不等式(组)表示不等关系．(2)作差法比较大小．(3)重要不等式 方法 作差法、作商法 常见误区 易忽视实际问题中变量隐含的限制条件 1．某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m 答案：A 解析：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m．故选A. 2．已知a1，a2∈{x|0<x<1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M >N C．M＝N D．不确定 答案：B 解析：由题意得0<a1<1，0<a2<1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，故M>N.故选B. 3．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________． 答案：a＝2 解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，所以a＝2. 4．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”) 答案：> 解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0，即a2－ab>ba－b2. 课时测评10　不等关系与不等式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数字关系式可表示为(　　) A．a＋b＋c>130 B．a＋b＋c<130 C．a＋b＋c≥130 D．a＋b＋c≤130 答案：D 解析：根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm可知，a＋b＋c≤130.故选D. 2．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是(　　) A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 答案：C 解析：原不等式可变形为a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，对任意实数都成立．故选C. 3．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 答案：A 解析：因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.故选A. 4．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是(　　) A．M >N B．M ≥N C．M<N D．M≤N 答案：A 解析：因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)·(a－3)＝a2＋a＋1＝＋>0，所以M >N.故选A. 5．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为(　　) A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0” B．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c、b＋c>a且a＋c>b” C．若某天的温度为t，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13 ℃” D．完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20 000元．设木工x人，瓦工y人，则上述问题用数学表达式可表示为“400x＋500y≤20 000” 答案：BCD 解析：对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误；对于B，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以B正确；对于C，最低温度为7℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，所以C正确；对于D，请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元．又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤20 000，所以D正确．故选BCD. 6．(多选)下列不等式，其中恒成立的为(　　) A．a2＋3>2a(a∈R) B．x2＋y2>xy C．a2＋b2>2(a－b－1) D．8xy≤4x2＋8y2 答案：AD 解析：因为a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，所以a2＋3>2a，即A正确；x2＋y2－xy＝＋y2≥0，知B错误；a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，知C错误；4x2＋8y2＝(2x)2＋(2y)2≥2·2x·2y＝8xy，知D正确．故选AD. 7．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是____________． 答案：4.5t<28 000 解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000. 8．已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为________． 答案：P>Q 解析：因为P－Q＝(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.因为a2≥0，所以a2＋2>0，即P－Q>0，所以P>Q. 9．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________________________________________ ______________________________， 当且仅当a＝b＝________时取得最小值． 答案：2　±1 解析：根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立． 10．(10分)有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数． 解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人， 依题意，得 解得<x<. 因为x∈N*，所以x＝10，11或12， 学生人数分别为59，63，67. 故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人． (11—13每小题5分，共15分) 11．已知a1>1，a2>1，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为(　　) A．P>Q B．P<Q C．P＝Q D．不确定 答案：B 解析：P－Q＝－＝－＝＝. 因为a1>1，a2>1，所以a1－1>0，1－a2<0，a1a2>0，所以P－Q＝<0，所以P<Q.故选B. 12．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　) A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 答案：A 解析：根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.故选A. 13．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来：____________． 答案：(a2＋b2)>ab 解析：由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1>S2，即(a2＋b2)>ab. 14．(10分)设a>b>0，试比较与的大小． 解：法一(作差法)：－ ＝ ＝＝， 因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0，a2＋b2>0， 所以>0，所以>. 法二(作商法)：因为a>b>0， 所以>0，>0，2ab>0， 故＝＝＝1＋>1， 所以>. 15．(5分)(新情境)我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　) A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 答案：C 解析：依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)，因为0≤x≤78， 所以⇒⇒≤m≤，根据选项m＝8，x＝30， 所以买大竹子30根，每根8钱．故选C. 16．(15分)有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售．现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾．某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？ 解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元，z元． 依题意，有y＝ z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)． 若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)． 当1≤x≤5，x∈Z时，6－x>0， 所以y－z>0，即y>z. 当x＝6时，y－z＝0，即y＝z. 当7≤x≤10，x∈Z时，6－x<0， 所以y－z<0，即y<z. 若x>10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x. 因为－16x<0，所以y<z. 综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算． 学生用书↓第33页 学科网（北京）股份有限公司 $$