1.5.1 全称量词与存在量词-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 [学习目标]　1.理解全称量词、全称量词命题的定义．　2.理解存在量词、存在量词命题的定义．　3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假，提升逻辑推理和数学运算核心素养． 知识点一　全称量词与全称量词命题 　给出下列四个语句： (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 问题1.以上四个语句都是命题吗？ 提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题． 问题2.比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 提示：语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句． 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量词 命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立 符号表示 ∀x∈M，p(x) [微提醒]　(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题．(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 学生用书↓第21页 (链教材P27例1)下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)∀x∈R，x2>0； (3)矩形的对角线相等． 解析：(1)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． (2)是，有全称量词“∀”，假命题． (3)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． 1．全称量词命题的判断方法 (1)看该命题是否含有全称量词． (2)看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，先把全称量词补充出来再判断． 2．全称量词命题真假的判断方法 判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可． 对点练1.下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．有无数个x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，都有x2>3 D．不存在x∈R，使得x2<3 答案：C 解析：“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，应表述为“任选一个x∈R，都有x2>3”．故选C. 对点练2.判断下列全称量词命题的真假： (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (3)∀x∈R，x2－1＝0. 解：(1)因为面积相等的三角形不一定相似，所以该命题是假命题． (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，该命题是真命题． (3)只有当x＝±1时，x2－1＝0才成立，所以该命题是假命题． 知识点二　存在量词与存在量词命题 给出以下4个语句： (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 问题3.以上4个语句都是命题吗？ 提示：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题． 问题4.比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 提示：语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句． 存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量 词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立 符号表示 ∃x∈M，p(x) [微提醒]　(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题．(2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． 学生用书↓第22页 (链教材P28例2)判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假： (1)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (2)某个四边形不是平行四边形； (3)方程3x－2y＝10有整数解； (4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0. 解析：(1)是存在量词命题，可表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．真命题． (2)是存在量词命题，可表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．真命题． (3)是存在量词命题，可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．真命题． (4)是存在量词命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实数根．假命题． 1．存在量词命题的判断方法 (1)看该命题是否含有存在量词． (2)看该命题是否为省去存在量词的命题，如果是，先把存在量词补充出来再判断． 2．存在量词命题真假的判断方法 判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题． 对点练3.(1)下列命题是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．所有的二次函数的图象都是轴对称图形 B．平行四边形的对角线相等 C．有些实数是无限不循环小数 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为____________ _________________________________________． 答案：(1)C　(2)∃x<0，使得(1＋x)(1－9x)>0 解析：(1) A × 命题中含有全称量词“所有”，为全称量词命题；所有的二次函数的图象都是轴对称图形，为真命题. B × 命题中省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；平行四边形的对角线不一定相等，为假命题. C √ 命题中含有存在量词“有些”，为存在量词命题；π是实数，且是无限不循环小数，为真命题. D × 命题中省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；由几何关系知D是真命题. (2)“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述． 由含量词命题的真假求参数范围 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围． 解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m|2≤m≤3}． [变式探究]　1.(变条件)把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围． 解：由于命题p：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，即m≥2. 所以或 解得2≤m≤4. 2．(变条件)把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题， 则A⊆B，B≠∅， 所以无解， 所以不存在实数m，使命题p是真命题． 依据含量词命题的真假求参数范围的方法步骤 1．根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意． 2．根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围问题． 学生用书↓第23页 对点练4.若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题， 所以方程x2－4x＋a＝0存在实数根， 则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 即实数a的取值范围为{a|a≤4}． 知识归纳 (1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念．(2)含量词的命题的真假判断．(3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围 方法技巧 定义法、转化法 常见误区 (1)有些命题省略了量词．(2)全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分” 1．下列命题的形式不同于其他三个的是(　　) A．∀x∈Z，x2－9<x2 B．∃x∈R，x2－2x＋1≠0 C．每一个正数的倒数都大于0 D．∀x<2，x－3<0 答案：B 解析：A、C、D均为全称量词命题，B为存在量词命题． 2．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，x3＝3 B．∃x∈R，3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z 答案：AB 解析：A是真命题，由x3＝3得x＝，是无理数，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，|x|<3；D是假命题，如x＝，x2∉Z.故选AB. 3．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题． (1)有的实数不能写成小数形式：____________________________________ ____________________________________； (2)菱形的对角线垂直：________________． 答案：(1)∃x∈R，x不能写成小数形式；(2)∀x∈{x|x是菱形}，x的对角线垂直 4．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≤1} 解析：由p为真命题，知a≤x.又1≤x≤3，因此a≤1. 课时测评8　全称量词与存在量词 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2≤0 C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 答案：B 解析：A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件，C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题．故选B. 2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 答案：B 解析：因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，如图，所以A错误；B正确；C错误；D错误．故选B. 3．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R，2x－10＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0 答案：C 解析：当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题． 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 答案：B 解析：A是全称量词命题．B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．因为＋(－)＝0，所以C为假命题．对于任意一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B. 5．(多选)已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，则以下命题为真命题的是(　　) A．∃x∈A，x∉B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∈B D．∀x∈B，x∈A 答案：AD 解析：因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集．所以∃x∈A，x∉B，故A为真命题，C为假命题；因为BA，所以∀x∈B，x∈A，故B为假命题，D为真命题．故选AD. 6．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 答案：CD 解析：当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确．故选CD. 7．下列命题中正确的序号是________． ①∃x∈R，x≤0； ②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数． 答案：①②③ 解析：①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确． 8．若命题“∃x>1，使ax－3<0”是真命题，则实数a的取值范围是____________． 答案：{a|a<3} 解析：当a≤0时，显然存在x>1，使ax－3<0；当a>0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3<0，得a<3，故0<a<3.综上所述，实数a的取值范围是{a|a<3}． 9．若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝(－3)2－4×9a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围是. 10．(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性． (1)对所有的正实数t, 为正且 <t；(2分) (2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；(2分) (3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；(2分) (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(4分) 解：(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则<t不成立． (2)为存在量词命题，且为真命题， 因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0， 所以存在实数x，使得x2－3x－4＝0. (3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x－4y－5>0成立． (4)为全称量词命题，且为真命题． (11—13每小题5分，共15分) 11．(多选)下列命题正确的是(　　) A．存在x<0，使|x|>x B．对于一切x<0，都有|x|>x C．不存在实数x，使x2＋2x＋2＝0 D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅ 答案：ABC 解析：A、B显然为真命题，故A、B正确；由于对于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，故C为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故D为假命题． 12．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，m>x”和“∃x∈{x|0≤x≤2}，n>x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是(　　) A．m>0，n>0 B．m>0，n>2 C．m>2，n>0 D．m>2，n>2 答案：C 解析：由“∀x∈{x|0≤x≤2}，m>x”是真命题，可得m>2；由“∃x∈{x|0≤x≤2}，n>x”是真命题，可得n>0.故选C. 13．使“∀x∈{x|3≤x≤4}，x－a<0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a>4 B．a>5 C．a>3 D．a≥4 答案：B 解析：依题意，全称量词命题：∀x∈{x|3≤x≤4}，x－a<0为真命题，所以a>x在x∈{x|3≤x≤4}时恒成立，所以a>4，所以使“∀x∈{x|3≤x≤4}，x－a<0”为真命题的一个充分不必要条件是a>5. 14．(10分)用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)实数都能写成小数形式；(2分) (2)有的有理数没有倒数；(2分) (3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；(2分) (4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.(4分) 解析：(1)∀a∈R，a都能写成小数形式．此命题是真命题． (2)∃x∈Q，x没有倒数．有理数0没有倒数，故此命题是真命题． (3)∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根． 当m＝－1时，方程无实根，故此命题是假命题． (4)∃x∈R，使x2＋x＋4≤0.x2＋x＋4＝＋>0恒成立，所以此命题为假命题． 15．(5分)(开放题)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 答案：(2，4)(答案不唯一) 解析：由a2－ab＋b＝0，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，则b＝(a≠1)．当a＝2，b＝4时，能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题． 16．(15分)已知M＝{x|a≤x≤a＋1}． (1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)∀x∈M，x＋1＞0是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是{a|a＞－1}． (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a|a＞－2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$