1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　全集、补集及综合应用 [学习目标]　1.了解全集的含义及其符号表示．　2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．　3.会用Venn图、数轴进行集合的综合运算，培养数学抽象和数学运算核心素养． U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}． 问题1.集合U，A，B三者有何关系？ 提示：U＝A∪B. 问题2.集合B中元素与U和A有何关系？ 提示：B中元素都在U中， 但都不在A中． 1．全集 (1)概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：通常记作U． [微思考]　全集一定是实数集吗？ 提示：不一定． 学生用书↓第13页 2．补集 [微提醒]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，所选的全集不同，得到的补集也不同． (链教材P13例5)(1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则∁UA＝(　　) A．{1，3} B．{1，3，6} C．{2，3，6} D．{2，3，5} (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________________． 答案：(1)B　(2){x|x<－3，或x＝5} 解析：(1)因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，所以∁UA＝{1，3，6}．故选B. (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上， 如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}． 求集合的补集的方法 1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． 2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． 3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 对点练1.(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5} 答案：A 解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪∁UM＝{2，3，5}．故选A. 对点练2.若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U分别取下列集合时，求∁UA. (1)U＝R； (2)U＝{x|x≤2}； (3)U＝{x|－4≤x≤1}． 解：(1)把集合A表示在数轴上，如图所示．又U＝R， 由图知∁UA＝{x|x<－1，或x≥1}． (2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|x<－1，或1≤x≤2}． (3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}． 应用一　集合交、并、补的综合运算 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 解：如图所示． 因为A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， 所以∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}， A∪B＝{x|－3≤x<3}． 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 对点练3.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} 答案：A 解析：由题意M∪N＝{1，2，3，4}，又全集U＝{1，2，3，4，5}，因此∁U(M∪N)＝{5}．故选A. 学生用书↓第14页 对点练4.已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}． 求：(1)(∁SA)∩(∁SB)；(2)∁S(A∩B)． 解：如图所示， 可得A∩B＝{x|3≤x<5}， ∁SA＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}， ∁SB＝{x|1<x<3，或x＝7}． (1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2，或x＝7}． (2)∁S(A∩B)＝{x|1<x<3，或5≤x≤7}． 应用二　与补集有关的参数范围问题 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示集合B，∁UA如图． 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}． [变式探究]　1.(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ 解：由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅， 所以－m>－2，解得m<2. 故m的取值范围为{m|m<2}． 2．(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ 解：由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R， 所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为{m|m≥2}． 由集合的补集求解参数的方法 1．如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定义并结合相关知识求解． 2.如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴求解． 对点练5.(1)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________． (2)已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________． 答案：(1)－3　(2)2 解析：(1)因为U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，又A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0，－m}，故m＝－3. (2)因为∁UA＝{x|x<1，或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2. 知识归纳 (1)全集与补集及性质．(2)交、并、补集的综合运算．(3)利用集合间的关系求参数范围 方法技巧 观察法、分析法、数形结合、分类讨论 常见误区 (1)自然数集容易遗漏元素0.(2)解决含参的集合运算时要注意空集这一特殊情况 1．已知全集U＝{－3<x<3}，集合A＝{－2<x≤1}，则∁UA＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|－3<x<－2，或1≤x<3} C．{x|－2≤x<1} D．{x|－3<x≤－2，或1<x<3} 答案：D 解析：由补集定义可知：∁UA＝{x|－3<x≤－2，或1<x<3}．故选D. 2．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 答案：A 解析：由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误．故选A. 3．(多选)设集合P＝{1，2，3}，Q＝{x|2≤x≤3}，则下列结论中正确的有(　　) A．P⊆Q B．P∩Q＝P C．(P∩Q)⊆P D．(∁RQ)∩P≠∅ 答案：CD 解析：集合P中1∉Q，故A错误；P∩Q＝{2，3}，故B错误，C正确；∁RQ＝{x|x<2或x>3}，(∁RQ)∩P＝{1}≠∅.故D正确． 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m≥6} 解析：因为A＝{x|x≤－2，或x≥3}，所以∁UA＝{x|－2<x<3}，因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)． 当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B.当B≠∅时，则无解．故实数m的取值范围是{m|m≥6}． 学生用书↓第14页 课时测评5　全集、补集及综合应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1} 答案：C 解析：因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．故选C. 2．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，∁AB＝{1，3，5}，则集合B＝(　　) A．{2，4} B．{0，2，4} C．{0，1，3} D．{2，3，4} 答案：B 解析：根据题意，集合A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，若∁AB＝{1，3，5}，则B＝∁A(∁AB)＝{0，2，4}．故选B. 3．已知集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x≤2}，则集合{x|x≤－2，或x≥1}＝(　　) A．A∪B B．A∩B C．∁R(A∪B) D．∁R(A∩B) 答案：D 解析：因为A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x≤2}，所以A∪B＝{x|x≤2}，A∩B＝{x|－2<x<1}，所以∁R(A∪B)＝{x|x>2}，∁R(A∩B)＝{x|x≤－2，或x≥1}．故选D. 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3} 答案：D 解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．故选D. 5．(多选)能正确表示图中阴影部分的是(　　) A．B∩(∁UA) B．A∩(∁UB) C．∁ (A∪B)A D．∁B(A∩B) 答案：ACD 解析：由韦恩图知，选项A，C，D表示的阴影部分正确．故选ACD. 6．(多选)下列选项可以推出A⊆B的是(　　) A．A∩B＝A B．A∩(∁UB)＝∅ C．A∪B＝A D．B⊆∁UA 答案：AB 解析：由集合关系中“交小并大”原则知A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝A⇒B⊆A，故可以推出A，而不可以推出C；当A∩(∁UB)＝∅时，如图①所示，A⊆B；当B⊆∁UA时，如图②所示，A∩B＝∅，故可以推出B，不可以推出D.故选AB. 7．设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁UA)∩(∁UB)＝________． 答案：{x|x是直角三角形} 解析：根据三角形的分类可知，∁UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x是直角三角形}． 8．已知全集为R，集合A＝{x|2<x<6}，B＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是____________． 答案：{a|a≥10或a≤－2} 解析：由题可知∁RB＝{x|x<a－4，或x>a＋4}．因为A⊆∁RB，所以6≤a－4，或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2. 9．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________． 答案：2 解析：因为A＝{x|1≤x<a}，∁UA＝{x|2≤x≤5}，所以A∪(∁UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(∁UA)＝∅，所以a＝2. 10．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求：(1)A∩B(2分)；(2)A∪B(2分)；(3)A∪(∁UB)(2分)；(4)B∩(∁UA)(2分)；(5)(∁UA)∩(∁UB)(2分)． 解：如图①. (1)A∩B＝{x|0≤x<5}． (2)A∪B＝{x|－5<x<7}． (3)如图②. ∁UB＝{x|x<0，或x≥7}， 所以A∪(∁UB)＝{x|x<5，或x≥7}． (4)如图③. ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥5}， B∩(∁UA)＝{x|5≤x<7}． (5)因为∁UB＝{x|x<0，或x≥7}， ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，所以如图④. (∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤－5，或x≥7}． (11—13每小题5分，共15分) 11．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% 答案：C 解析：设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C. 12．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3，或4<x<6}，集合B＝{x|2≤x<5}，下列集合运算正确的是(　　) A．∁UA＝{x|x<1，或3<x<4，或x>6} B．∁UB＝{x|x<2，或x≥5} C．A∩∁UB)＝{x|1≤x<2，或5≤x<6} D．(∁UA)∪B＝{x|x<1，或2<x<5，或x>6} 答案：BC 解析：依题意，∁UA＝{x|x<1，或3<x≤4，或x≥6}，故A不正确；∁UB＝{x|x<2，或x≥5}，故B正确；A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2，或5≤x<6}，故C正确；(∁UA)∪B＝{x|x<1，或2≤x<5，或x≥6}，故D不正确．故选BC. 13．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝________． 答案：{3} 解析：因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以∁UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁UB)＝{3}． 14．(10分)(开放题)已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(∁AB)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由． 解：假设存在实数x，使B∪(∁AB)＝A， 所以BA. (1)若x＋2＝3，则x＝1，符合题意． (2)若x＋2＝－x，则x＝－1，不满足集合A或B中元素的互异性，不符合题意． 所以存在x＝1，使B∪(∁AB)＝A， 此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}． 15．(5分)如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x<3}，B＝{y|y>2}，则A*B＝(　　) A．{x|x>3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2<x<3} D．{x|x≥3} 答案：D 解析：由韦恩图可得A*B＝∁B(A∩B)，因为A＝{x|0≤x<3}，B＝{y|y>2}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以∁B(A∩B)＝{x|x≥3}．故选D. 16．(15分)(新定义)我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}． 据此，回答以下问题： (1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁UA；(4分) (2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(4分) (3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？(7分) 解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，∁UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}． (2)阴影部分如下图所示． (3)若A－B＝∅，则A⊆B. 学生用书↓第15页 学科网（北京）股份有限公司 $$