1.3 第1课时 集合的并集与交集运算-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1.3　集合的基本运算 第1课时　集合的并集与交集运算 [学习目标]　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．　 2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算，培养数学抽象及数学运算核心素养． 知识点一　并集 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种． 问题1.通过观察，你能用集合C表示两次一共进货的品种吗？ 提示：A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔，火腿肠}． 问题2.集合C中元素的个数等于集合A，B中元素的个数和吗？ 提示：不等于． 1．并集 2．并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A. [微提醒]　(1)A∪B仍是一个集合，A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成． (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．可用图形表示： [微思考]　集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 提示：不等于． (链教材P10例1)(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0}，N＝{x|x2－2x＝0}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} (2)设集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|－1<x<2}，则A∪B＝________． 答案：(1)D　(2){x|－1<x<3} 解析：(1)M＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}．故选D. (2)在同一条数轴上分别作出集合A，B. 由图可知A∪B＝{x|－1<x<3}． 求集合并集的两种基本方法 1．定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． 2．数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解． 对点练1.(1)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3，或x>5} (2)(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是(　　) A．{5} B．{1，5} C．{1，3} D．{1，3，5} 答案：(1)A　(2)ABD 解析：(1)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A. (2)由{1，3}∪A＝{1，3，5}，知A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5.故选ABD. 学生用书↓第11页 知识点二　交集 观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，回答下面的问题： 问题3.集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ 提示：有公共元素．它们组成的集合是{2，3}． 问题4.集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 提示：集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B. 1．交集 2．交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B. [微提醒]　(1)A∩B仍是一个集合，A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素，同时A与B的公共元素都属于A∩B.(2)“且”字的意义：A∩B中的元素既属于A，又属于B. [微思考]　如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？ 提示：A∩B＝∅. (链教材P12练习T2)(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} (2)已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|－2<x<1}，则M∩N＝________． 答案：(1)A　(2){x|－1<x<1} 解析：(1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．故选A. (2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示． 由图知M∩N＝{x|－1<x<1}． 求两个集合交集的方法 1．对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． 2．对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 对点练2.(1)已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x∈Z|－2<x<2}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{x|0≤x<2} C．{0，1} D．{0，1，2} (2)若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________________________________________________________________________. 答案：(1)C　(2)R　{x|4≤x<5} 解析：(1)因为B＝{x∈Z|－2<x<2}＝{－1，0，1}，A＝{x|x≥0}，所以A∩B＝{0，1}，故选C. (2)如图，借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}． 根据并集与交集运算求参数范围 已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|3≤a<4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≤－1} D．{a|a<－1} 答案：C 解析：利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.故选C. [变式探究]　1.(变条件)将本例中“A∪B＝R”变成“A∪B＝A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：当a≥4时，集合B为空集，满足题意；当a<4时，若要满足A∪B＝A，必有a≥3，则3≤a<4. 综上，实数a的取值范围是{a|a≥3}． 学生用书↓第12页 2．(变条件)将本例中集合B变为“B＝{x|a<x≤4－a}”，且“A∪B＝R”变为“A∩B＝∅”，求实数a的取值范围． 解：当a≥4－a，即a≥2时，集合B为空集，满足题意；当a<2时，则有a≥－1且4－a<3，故有1<a<2.综上，实数a的取值范围是{a|a>1}． 利用集合间的关系求参数范围的一般步骤 第一步：若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； 第二步：将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集； 第三步：解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． 对点练3.(1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝(　　) A．{0，2} B．{0，5} C．{0，2，2，5} D．{0，2，5} (2)设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}．若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________． 答案：(1)D　(2){t|t≤2} 解析：(1)若A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}．故选D. (2)由M∩N＝N，得N⊆M. 故当N＝∅，即2t＋1≤2－t，即t≤时，M∩N＝N成立；当N≠∅时，由图得 解得<t≤2.综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}． 知识归纳 (1)并集的概念及运算．(2)交集的概念及运算．(3)根据集合间的运算求参数范围 方法技巧 观察法、图示法、数形结合、分类讨论 常见误区 在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一特殊情况 1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 答案：C 解析：由x－1≥0得x≥1，所以A∩B＝{1，2}．故选C. 2．已知集合A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x≥2}，则A∪B＝(　　) A．{x|x>0} B．{x|2≤x<3} C．{x|x≥2} D．{x|x<3} 答案：A 解析：由A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x≥2}得A∪B＝{x|0<x<3}∪{x|x≥2}＝{x|x>0}．故选A. 3．若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≥－1} 解析：A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠∅，得a≥－1. 4．若集合A＝{x|－3≤x<1}，B＝{x|x≤a}，且A∪B＝{x|x<1}，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|－3≤a<1} 解析：因为A＝{x|－3≤x<1}，B＝{x|x≤a}，A∪B＝{x|x<1}，所以－3≤a<1. 课时测评4　集合的并集与交集运算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝(　　) A．{x|1<x≤3} B．{x|0≤x<4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0<x<4} 答案：B 解析：由A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，得A∪B＝{x|0≤x<4}．故选B. 2．设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，则实数m＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 答案：A 解析：因为A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，所以－1∈B，所以m＝－1.故选A. 3．设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B＝(　　) A．∅ B. C． D． 答案：C 解析：由得所以A∩B＝.故选C. 4．已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x>－2}，C＝{x|x>－1}，则(A∩B)∪C＝(　　) A．{x|－1<x<0} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<0} D．{x|x>－2} 答案：D 解析：由A＝{x|x<0}，B＝{x|x>－2}，得A∩B＝{x|－2<x<0}，所以(A∩B)∪C＝{x|x>－2}．故选D. 5．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝N B．M∪N＝N C．(M∩N)⊆N D．N⊆(M∩N) 答案：BC 解析：因为M⊆N，所以M∩N＝M，M∪N＝N，(M∩N)⊆N.故选BC. 6．(多选)集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 答案：CD 解析：因为M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，所以M∩N＝{1，3}．故选CD. 7．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝______________． 答案：{x|3≤x<5} 解析：因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{x|3≤x<5}． 8．已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________． 答案：6 解析：由已知得，B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A∪B中元素的个数为6. 9．设集合M＝{x|－4<x<3}，N＝{x|t＋2<x<2t－1，t∈R}．若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________． 答案：{t|t≤3} 解析：由M∩N＝N，得N⊆M.故当N＝∅，即t＋2≥2t－1，即t≤3时，M∩N＝N成立； 当N≠∅时，由图得无解． 综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}． 10．(10分)设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}． (1)求a，b的值及A，B；(4分) (2)求(A∪B)∩C.(6分) 解：(1)因为A∩B＝{2}，所以2∈A，且2∈B， 故4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0， 即a＝－8，b＝－5， 所以A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}． (2)因为A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}， 所以(A∪B)∩C＝{2}． (11—13每小题5分，共15分) 11．已知a∈R，集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}．若M∪N有三个元素，则M∩N＝(　　) A．{0，1} B．{0，－1} C．{0} D．{1} 答案：C 解析：因为集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}，若M∪N有三个元素，则a2＝a且a≠±1，解得a＝0.此时M∩N＝{0}．故选C. 12．(多选)设集合M＝{x|a<x<3＋a}，N＝{x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是(　　) A．若a<－1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆N C．若M∪N＝R，则1<a<2 D．若M∩N≠∅，则1<a<2 答案：ABC 解析：对于A，若a<－1，则3＋a<2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a>4，显然对于任意x∈M，x>4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N＝R，则解得1<a<2，故C正确；对于D，若M∩N＝∅，则不等式无解，故若M∩N≠∅，则a∈R，故D错误．故选ABC. 13．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有________人，同时参加数学和化学小组的有________人． 答案：5　8 解析：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组． 因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理小组的有15－6－4＝5(人)． 设同时参加数学和化学小组的人数为x， 则只参加数学小组的人数为26－6－x＝20－x， 只参加化学小组的人数为13－4－x＝9－x. 又总人数为36， 即20－x＋x＋6＋4＋5＋9－x＝36， 所以44－x＝36，解得x＝8， 即同时参加数学和化学小组的有8人． 14．(10分)已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|m<x<m＋9}． (1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；(4分) (2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．(6分) 解：(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以解得－6≤m≤－2， 所以实数m的取值范围是{m|－6≤m≤－2}． (2)当A∩B＝∅时，3≤m或m＋9≤－2， 解得m≥3或m≤－11， 所以A∩B≠∅时，－11<m<3， 所以实数m的取值范围是{m|－11<m<3}． 15．(5分)已知集合A＝{x|0<x<2}，集合B＝{x|－1<x<1}，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|－2≤m≤1} B． C． D． 答案：B 解析：易得A∪B＝{x|－1<x<2}．①当m<0时，集合C＝，若(A∪B)⊆C，则－≥2，解得－≤m<0.②当m＝0时，集合C＝R，满足题意．③当m>0时，集合C＝，若(A∪B)⊆C，则－≤－1，解得0<m≤1.综上所述，实数m的取值范围是.故选B. 16．(15分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}． (1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；(5分) (2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求实数a的值．(10分) 解：由已知，得B＝{2，3}，C＝{2，－4}． (1)因为A∩B＝A∪B，所以A＝B. 于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数的关系知解得a＝5. (2)由A∩B∅⇒A∩B≠∅，又A∩C＝∅，得3∈A，2∉A，－4∉A. 由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2. 当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，与2∉A矛盾； 当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意． 所以a＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$