1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 　 第一章　1.5　全称量词与存在量词 学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上 的变化规律，培养数学抽象核心素养．　 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，培养逻辑推理 核心素养． 知识点一　全称量词命题的否定 1 知识点二　存在量词命题的否定 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　全称量词命题的否定 返回 问题1.写出下列命题的否定： (1)所有的正比例函数都是一次函数； (2)每一个有理数都能写成分数形式． 提示：(1)并非所有的正比例函数都是一次函数． (2)并非每一个有理数都能写成分数形式． 问题2.能否用存在量词改写问题1中的两个命题的否定？如何改写？ 提示：能　(1)存在一个正比例函数不是一次函数． (2)存在一个有理数不能写成分数形式． 问题3.上述两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题． 问题导思 1．全称量词命题的否定 新知构建 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p(x) _________，¬______ 全称量词命题的否定是__________命题 写出一个全称量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． 微提醒 如果p(x)的否定是¬p(x)，那么p(x)与¬p(x)可以同真同假吗？ 提示：不能同真同假，只能一真一假． 微思考 ∃x∈M p(x) 存在量词 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 (链教材P29例3)写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数； 例1 该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数． (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根． 该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上． 该命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根． 规律方法 全称量词命题否定的关注点 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)． 2．全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题要补上量词后进行否定． 对点练1.命题“∀x>0，x2＋2x≥0”的否定是 A．∃x≤0，x2＋2x<0 B．∀x>0，x2＋2x<0 C．∃x>0，x2＋2x≥0 D．∃x>0，x2＋2x<0 “∀x>0，x2＋2x≥0”的否定为“∃x>0，x2＋2x<0”．故选D. √ 对点练2.写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； 解：∃n∈Z，n∉Q. (2)任意奇数的平方还是奇数； 解：存在一个奇数的平方不是奇数． (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 解：存在一个平行四边形不是中心对称图形． 返回 知识点二　存在量词命题的否定 返回 问题4.写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 问题导思 问题5.以上命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：___________¬______．也就是说，存在量词命题的否定是__________命题． 新知构建 对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 微提醒 ∀x∈M， p(x) 全称量词 (链教材P30例4)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的 真假： (1)某些梯形的对角线互相平分； 解：该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． (2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； 解：该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． (3)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3. 解：该命题的否定：∀x，y∈Z， x＋y≠3. 当x＝0，y＝3时， x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 例2 规律方法 存在量词命题否定的关注点 1．存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)． 2．存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题要补上量词后进行否定． 对点练3.命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是 A．∃x∈R，x2－2x＋2≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋2>0 C．∀x∈R，x2－2x＋2>0 D．∀x∈R，x2－2x＋2≤0 √ “∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2>0”．故选C. 对点练4.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有的素数是偶数； 解：命题的否定：所有的素数都不是偶数． 由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题． (2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0. 解：命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0. 因为当a＝b＝0时，a2＋b2＝0， 所以命题的否定是假命题． 返回 综合应用 返回 根据命题的否定求参数范围 命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a， 所以2＋a≥3， 所以a≥1. 所以实数a的取值范围为{a|a≥1}． 例3 变式探究　(变条件)若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 所以实数a的取值范围为{a|a<1}． 规律方法 由命题的否定求参数范围的两个关注点 1．命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． 2．求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围． 对点练5. 已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且其否定是假命题，求实数a的取值范围． 解：命题p的否定是假命题，即p是真命题， 即∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}成立， 所以 解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a|－3≤a≤1}． 返回 课堂小结 知识归纳 (1)全称量词命题、存在量词命题的否定． (2)命题真假的判断．(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用 方法技巧 转化法 常见误区 否定不唯一；命题与其否定的真假性相反 随堂演练 返回 1．命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是 A．∀x≥0，x3＋x<0 B．∀x<0，x3＋x≥0 C．∃x≥0，x3＋x<0 D．∃x≥0，x3＋x≥0 命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是“∃x≥0，x3＋x<0”．故选C. √ 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选A. √ 3．(多选)下列四个命题中，其命题的否定是假命题的有 A．有理数是实数 B．有些四边形不是菱形 C．∀x∈R，x2－2x>0 D．∃x∈R，2x＋1为奇数 √ √ √ 由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题；有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题；∀x∈R，x2－2x>0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题；∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题．故选ABD. 4．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________． 返回 因为命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，所以“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”是真命题，所以方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2 －4a≥0，解得a≤4. {a|a≤4} 课时测评 返回 1．命题“∀x∈R，x2－2x＋4<0”的否定为 A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋4≥0 C．∀x∉R，x2－2x＋4≥0 D．∃x∉R，x2－2x＋4≥0 命题为全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，则命题的否定：∃x∈R，x2－2x＋4≥0.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 √ 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，再否定命题结论．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．下列命题的否定是真命题的为 A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：全等三角形的周长相等 D．p4：所有的无理数都是实数 √ 若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反．因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以p1的否定是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2的否定，p3的否定，p4的否定均为假命题．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知命题p：∀x∈R，x<|x|<x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是 A．p，q B．¬p，q C．p，¬q D．¬p，¬q 对于命题p，采用特殊值法，取x＝1，可知p为假命题，则¬p为真命题；命题q：当x0＝1时，x －5x0＋4＝0成立，故q为真命题，则¬q为假命题．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是 A．p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B．p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，其否定是假命题 D．p是假命题，其否定是真命题 命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”，所以p是真命题，其否定是假命题．故选AC. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)下列四个命题的否定为真命题的是 A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|>0 √ √ 对于A，p的否定：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．对于B，q的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．对于C，r的否定：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，是假命题．对于D，s的否定：存在实数a，使|a|≤0，是真命题．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是_______________ ______________，是____命题(填“真”或“假”)． 任意平行四边形 的对角线相等 假 “有一个平行四边形”中含有存在量词，因此这是一个存在量词命题，其否定应是全称量词命题，原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？_____(填“是”或“否”) 因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的． 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是____． 5 当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(3分) 解：该命题的否定：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．命题的否定为真命题． (2)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；(3分) 解：该命题的否定：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.命题的否定为真 命题． (3)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.(4分) 解：该命题的否定：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.命题的否定为真 命题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范 围是 A．{a|a<1} B．{a|a≤1} C．{a|a>1} D．{a|a≥1} √ 因为p为假命题，所以该命题的否定为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即∀x>0，x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)下列说法正确的是 A．命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2<－1” B．命题“∃x∈{x|x>－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>－3}，x2>9” C．“x2>y2”是“x>y”的必要不充分条件 D．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 √ √ 命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“∃x∈{x|x>－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>－3}，x2>9”， 故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x2>y2⇔|x|>|y|，|x|>|y|不能推出x>y，x>y也不能推出|x|>|y|，所以“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m ＝0有一正根一负根⇔ ⇔m<0，所以“m<0”是“关于x的方程 x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，故D正确．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．下列命题是真命题的是________(填序号)． ①方程3x－y＝5有整数解； ②∃x∈R，x≤0的否定为∀x∈R，x≤0； ③∃x∈N*，使得n能被11整除； ④∀x∈N，x2≥1的否定是∃x∈R，x2<1. ①③ 对于①，在3x－y＝5中，令x＝0，则y＝－5，即3x－y＝5存在整数解x＝0，y＝－5，故①为真命题；对于②，∃x∈R，x≤0的否定为∀x∈R，x>0，故②为假命题；对于③，当n＝11，22，33，…时，n均能被11整除，所以∃n∈N*，使得n能被11整除，故③为真命题；对于④，∀x∈N，x2≥1的否定是∃x∈N，x2<1，故④为假命题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题q的否定为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1. 因为命题p，q同时为真命题，所以 解得m≥3，故实数m的取值范围是{m|m≥3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌．王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”，如果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙分别获得____牌、____牌、___牌． 铜 金 银 先设王老师猜对的是“甲得金牌”，则“乙不得金牌”是错的，故乙也得金牌，产生矛盾．再设“乙不得金牌”是对的，则“甲得金牌”是错的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得铜牌”是错的，故丙得铜牌，产生矛盾．故猜对的是“丙不得铜牌”，此时甲、乙、丙分别获得铜牌、金牌、银牌． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)命题p是“对任意实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数． (1)写出命题p的否定；(5分) 解：命题p的否定：对某些实数x，有x－a≤0且x－b>0. (2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？(10分) 解：要使命题p的否定为真，需要使不等式组 的解集不为空集， 通过画数轴，如图，可看出，a，b应满足的条件是b<a. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 解：由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，故有>1，所以a<1. $$