1.2 集合间的基本关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系 [学习目标]　1.在具体情境中，了解空集的含义．　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用，培养数学抽象的核心素养． 知识点一　子集的概念 观察下面的几个例子： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)A＝{高一年级的女生}，B＝{高一年级的全体学生}； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 问题1.上述实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？ 提示：都是． 问题2.实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：都是． 1．子集 文字叙述 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 符号表示 记作：A⊆B(或B⊇A)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”) Venn图表示 [微思考]　1.任何两个集合之间是否都有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，1}，这两个集合没有包含关系． 2．符号“∈”与“⊆”有什么不同？ 提示：符号“∈”表示元素与集合之间的关系，“⊆”表示集合与集合之间的关系． 2．集合相等 文字叙述 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 符号表示 若A⊆B且B⊆A，则A＝B Venn图表示 [微提醒]　集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． (链教材P9练习T3)判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (3)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 判断集合间关系的常用方法 学生用书↓第8页 对点练1.(1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　) A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆P C．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P (2)如果集合A＝{x|x∈Z且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，则集合A，B的关系是________． 答案：(1)B　(2)B⊆A 解析：(1)正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，则Q⊆M⊆N⊆P.故选B. (2)因为x∈Z，所以x2∈Z，且x2≥0，因为A＝{x|x∈Z且x≥0}，所以x2∈A.故B⊆A. 知识点二　真子集 观察下面两个例子，回答问题： (1)集合A＝{1，5，6}，B＝{5，6}； (2)集合M＝{x∈R|x2－2x＋2＝0}． 问题3.实例(1)中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：不全是.1∈A，但1∉B；集合B中的元素都是集合A中的元素． 问题4.集合M中有多少个元素？ 提示：集合M中没有元素． 1．真子集 文字叙述 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 符号表示 记作：AB或BA 读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”) Venn图表示 [微提醒]　A是B的真子集的含义：A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 2．集合间关系的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC. 3．空集 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特征 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)若A≠∅，则∅A [微思考]　能不能说空集是任何集合的真子集？ 提示：不能，空集不是空集的真子集，但能说空集是任何非空集合的真子集． (链教材P8例1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 解：子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中真子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． 求集合子集、真子集个数的步骤 [提醒]　(1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)含有n个元素的集合，它的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 对点练2.写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P. 解：由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P有{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}． 学生用书↓第9页 由集合间的关系求参数(范围) (链教材P9习题T5(2))已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|3≤m≤4} 解析：因为A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围为{m|3≤m≤4}． [变式探究]　1.(变条件)将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m<－5} 解析：①当B＝∅时，有m－6>2m－1， 则m<－5，此时B⊆A成立； ②当B≠∅时，B⊆A，此时满足 解得 不等式组的解集为∅. 由①②可知，实数m的取值范围为{m|m<－5}． 2．(变条件)将“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|3≤m≤4} 解析：因为A＝{x|－2<x<5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4. 所以实数m的取值范围为{m|3≤m≤4}． 3．(变条件)将“B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B＝{x|m－6<x<2m－1}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|3<m<4} 解析：因为A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6<x<2m－1}，且A⊆B，所以解得3<m<4. 所以实数m的取值范围为{m|3<m<4}． 由集合间的关系求参数的方法 1．当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． 2．当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． [提醒]　(1)不能忽视集合为∅的情形； (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 对点练3.已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的取值所组成的集合是(　　) A．{－1，2} B．{－2，1} C．{－2，0，1} D．{－1，0，2} 答案：C 解析：因为B⊆A，当a＝0时，B＝∅，满足条件；当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}．故选C. 对点练4.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 解：(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2，所以a的取值范围为{a|a>2}． (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2，所以a的取值范围为{a|1≤a≤2}． 知识归纳 (1)子集、真子集的概念与性质．(2)子集的个数．(3)由集合间的关系求参数范围 方法技巧 分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论 常见误区 (1)在解决问题时，容易遗忘空集，它在集合中有至高的地位．(2)求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论 1．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则下列结论正确的是(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} 答案：ACD 解析：由题意得A＝{0，2}，且空集是任何集合的子集，故A，C，D正确，B错误． 2．(多选)已知集合A＝{x|ax≤4}，B＝{4，}．若B⊆A，则实数a的值可能是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：ABC 解析：因为B⊆A，且B＝{4，}，所以4∈A且∈A，则解得a≤1.因此a的可能取值为－1，1和－2.故选ABC. 3．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝________；若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________． 答案：{－1，0}　{－1，0} 解析：由x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，所以A＝{－1，0}．由于{0}B⊆A，知B＝{－1，0}． 4．已知集合A＝{x|x>4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|2<a≤3} 解析：因为B≠∅，根据题意作出如图所示的数轴， 则解得2<a≤3.故实数a的取值范围为{a|2<a≤3}． 学生用书↓第10页 课时测评3　集合间的基本关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列四个集合中，是空集的是(　　) A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 答案：D 解析：因为x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3<0，方程无解，所以{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅.故选D. 2．已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列结论正确的有(　　) ①3∈A；②{－3}∈A；③∅⊆A；④{3，－3}⊆A. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：B 解析：解方程x2－9＝0得x＝3或x＝－3，所以A＝{－3，3}．故①③④正确．故选B. 3．已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，则两个集合间的关系是(　　) A．M⊆P B．P⊆M C．M＝P D．M，P互不包含 答案：D 解析：由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含．故选D. 4．设集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x－a>0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a>1} C．{a|a<－1} D．{a|a≤－1} 答案：D 解析：化简得集合B＝{x|x>a}，结合数轴可知，要使A⊆B，则只要a≤－1即可，即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．故选D. 5．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是(　　) A．{1，8} B．{2，3} C．{1} D．{2} 答案：AC 解析：因为A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中的元素是集合B，C的公共元素，结合选项可知A，C满足题意．故选AC. 6．(多选)集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值为(　　) A．1 B． C．－1 D．－ 答案：AD 解析：由集合有两个子集可知，该集合是单元素集， 当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－.故选AD. 7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________． 答案：BA 解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA. 8．若集合A{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有________个． 答案：5 解析：若集合A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若集合A中含有两个奇数，则A＝{1，3}． 9．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}． (1)若A＝B，则y的值为________； (2)若A⊆C，则a的取值范围为______________． 答案：(1)1或3　(2){a|3<a<5} 解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2<x<5}，A⊆C，所以所以3<a<5. 10．(10分)已知集合A＝{1，3，－x2}，B＝{x＋2，1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由． 解：存在，理由如下： 由题意知，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x2，则x2＋x＋2＝0无实数根，故不成立． 综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}． (11—13每小题5分，共15分) 11．若集合M＝，集合N＝，则(　　) A．M＝N B．N⊆M C．MN D．以上均不对 答案：C 解析：M＝＝，N＝＝，因为2k＋1(k∈Z)为奇数，k＋2(k∈Z)为整数，所以MN.故选C. 12．(多选)已知集合A＝{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　) A．0 B． C．1 D．2 答案：BD 解析：因为集合A＝{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，所以当m＝0时，可得解得当m≠0时，可得解得所以m＋n＝或m＋n＝2.故选BD. 13．(新角度)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，有下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0.若这三个关系中有且只有一个是正确的，则a＋2b＋3c＝________． 答案：5 解析：假设①正确，②③错误，则a≠2，b≠2，c＝0，与{a，b，c}＝{0，1，2}矛盾，故假设不成立；假设②正确，①③错误，则a＝2，b＝2，c＝0，与{a，b，c}＝{0，1，2}矛盾，故假设不成立；假设③正确，①②错误，则a＝2，b＝0，c＝1，假设成立，所以a＋2b＋3c＝5. 14．(10分)已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}． (1)若∅M，求实数a的取值范围；(4分) (2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解， 所以Δ＝22－4×(－a)≥0，解得a≥－1， 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1}． (2)N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N， 所以当M＝∅时，Δ＝22－4×(－a)<0，解得a<－1； 当M≠∅时，当Δ＝0时，a＝－1， 此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意； 当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素， 若M⊆N，则M＝N，从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解． 综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}． 15．(5分)(多选)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，下列结论正确的是(　　) A．不存在实数a使得A＝B B．存在实数a使得A⊆B C．当0≤a≤4时，B⊆A D．存在实数a使得B⊆A 答案：AD 解析：对于A，由集合相等的概念可得此方程组无解，故不存在实数a使得A＝B，因此A正确；对于B，由A⊆B，得即此不等式组无解，因此B错误；对于C，当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合B⊆A，当a<1时，要使B⊆A，需满足解得2≤a≤4，不满足a<1，故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B⊆A，因此C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数a使得B⊆A，因此D正确．故选AD. 16．(15分)(开放题)已知集合A＝{x|－1≤x≤a，a>－1且a∈R}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．是否存在实数a，使得C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：假设存在这样的实数a. 对于集合B，因为y＝2x－1，且x∈A， 即－1≤x≤a， 所以－3≤y≤2a－1. 对于集合C，因为z＝x2，且x∈A， 所以当－1<a≤0时，a2≤z≤1； 当0<a≤1时，0≤z≤1；当a>1时，0≤z≤a2. 当－1<a≤0时，要使C⊆B，则2a－1≥1，即a≥1，矛盾． 当0<a≤1时，要使C⊆B，则有2a－1≥1，即a＝1. 当a>1时，要使C⊆B，则有a2≤2a－1， 即(a－1)2≤0，无解． 综上所述，存在a＝1，使得C⊆B. 学生用书↓第10页 学科网（北京）股份有限公司 $$