1.1 第2课时 集合的表示-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　集合的表示 [学习目标]　1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．　2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合，提升数学抽象与数学运算核心素养． 知识点一　列举法 观察下面两个集合： (1)中国的“五岳”组成的集合M； (2)小于6的正整数构成的集合N. 问题1.上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？ 提示：能．集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5. 问题2.上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？ 提示：列举法．M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}；N＝{1，2，3，4，5}． 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．用列举法表示的集合的结构 [微思考]　一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：不用考虑元素的顺序． [微提醒]　用列举法表示集合的关注点 (1)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可．(2)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}．(3)集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． (链教材P3例1)用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程x2＝x的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 解：(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}． (3)由x2＝x，得x＝0或x＝1， 所以方程x2＝x的实数根组成的集合C＝{0，1}． (4)由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}． 学生用书↓第5页 用列举法表示集合的步骤 第一步：求出集合的元素； 第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 第三步：用花括号括起来． [提醒]　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}． 对点练1.用列举法表示下列集合： (1)大于2且小于8的整数组成的集合A； (2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合B； (3)直线y＝3x＋1与y轴的交点所组成的集合C. 解：(1)因为大于2且小于8的整数包括3，4，5，6，7，所以集合A＝{3，4，5，6，7}． (2)因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2， 所以集合B＝{1，2}． (3)将x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1. 所以两直线的交点为(0，1)， 故集合C＝{(0，1)}． 知识点二　描述法 问题3.你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ 提示：不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}． 问题4.仿照问题3中的例子以及阅读教材，你能表示偶数集吗？ 提示：{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． 1．描述法 设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}． 2．用描述法表示的集合的结构 [微提醒]　用描述法表示集合的注意点 (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应为{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．(5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (链教材P4例2)用描述法表示下列集合： (1)不等式2x－7<3的解集A； (2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B； (3)被3除余2的正整数的集合C； (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合D. 解：(1)解2x－7<3得x<5， 所以集合A＝{x|x<5}． (2)函数值组成的集合就是y的取值集合， 所以集合B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}． (3)被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以集合D＝{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}． 学生用书↓第6页 用描述法表示集合的2个步骤 对点练2.用描述法表示下列集合： (1)小于10的非负整数构成的集合； (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； (4)集合{1，3，5，7，…}． 解：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z|0≤x<10}． (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}． (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}． (4){1，3，5，7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N*}． 集合与方程的综合问题 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解：若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个相等的实根． 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． [变式探究]　1.(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 解：由题意得 解得k<1，且k≠0. 所以k的取值范围为{k|k<1，且k≠0}． 2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合． 解：①当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k>1. 综上，实数k的取值集合为{k|k＝0，或k≥1}． 求解集合与方程的综合问题应关注三点 1．弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． 2．当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． 3．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性． 对点练3.已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝________，b＝________． 答案：5　6 解析：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6. 知识归纳 (1)列举法．(2)描述法．(3)集合与方程的关系 方法技巧 分类讨论 常见误区 (1)列举法与描述法的乱用．(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程 1．集合{x∈N|x－2<2}用列举法表示是(　　) A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3} 答案：D 解析：集合{x∈N|x－2<2}＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}．故选D. 2．在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是(　　) A．{x|x≤－3或x≥3} B．{x|－3≤x≤3} C．{x|x≤－3} D．{x|x≥3} 答案：B 解析：在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足|x|≤3，即－3≤x≤3，因此所求的集合为{x|－3≤x≤3}，故选B. 3．(多选)下列各组集合表示的不是同一集合的是(　　) A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{(x，y)|2x＋y＝1}，N＝{y|2x＋y＝1} C．M＝{1，2}，N＝{2，1} D．M＝{2，4}，N＝{(2，4)} 答案：ABD 解析：对于A，M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}是不同的点构成的集合，故M与N不是同一集合；对于B，M＝{(x，y)|2x＋y＝1}是点集，N＝{y|2x＋y＝1}是数集，故M与N不是同一集合；对于C，M＝{1，2}和N＝{2，1}都是由元素1，2构成的集合，故M与N是同一集合；对于D，M＝{2，4}是数集，N＝{(2，4)}是点集，故M与N不是同一集合．故选ABD. 4．若集合{x∈R|x2＋2ax＋1＝0}中只有一个元素，则实数a的取值集合为________． 答案：{－1，1} 解析：因为集合{x∈R|x2＋2ax＋1＝0}中只有一个元素，所以Δ＝4a2－4＝0，解得a＝±1.所以实数a的取值集合为{－1，1}． 学生用书↓第7页 课时测评2　集合的表示 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是(　　) A．0∈A B．1∉A C．－1∈A D．0∉A 答案：A 解析：因为A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，所以0∈A. 2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　) A．{x∈Z|－3<x<11} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 答案：D 解析：由题意可知，满足题设条件的只有选项D. 3．方程组的解集是(　　) A．{(1，－1)，(－1，1)} B．{(－2，2)，(1，1)} C．{(－2，2)，(1，－1)} D．{(2，－2)，(－2，2)} 答案：C 解析：由得或所以方程组的解集是{(－2，2)，(1，－1)}．故选C. 4．已知集合A＝{－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝(　　) A．{－1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} 答案：C 解析：因为y＝|x|，x∈A，所以当x＝－1，1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝2.因此集合B＝{0，1，2}．故选C. 5．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C. ∈{x|x<2} D．{1，2}与{2，1}是同一个集合 答案：AD 解析：{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}, >，所以∉{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．故选AD. 6．(多选)下列说法错误的是(　　) A．在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0} B．方程x2－4＝0的解集为{(－2，2)} C．集合{(x，y)|y＝3x＋1}与{x|y＝3x＋1}是相等的 D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A 答案：BCD 解析：对于选项A，因为xy>0，所以或所以集合{(x，y)|xy>0}表示平面直角坐标系内第一、三象限的点的集合，故A正确；对于选项B，方程x2－4＝0的解集为{2，－2}，故B错误；对于选项C，集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示直线y＝3x＋1上的点，集合{x|y＝3x＋1}表示函数y＝3x＋1中x的取值范围，故集合{(x，y)|y＝3x＋1}与{x|y＝3x＋1}不相等，故C错误；对于选项D，A＝{x∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－1.1∉A，故D错误．故选BCD. 7．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________________． 答案：{(2，4)，(5，2)，(8，0)} 解析：因为2x＋3y＝16，所以3y＝16－2x＝2(8－x)，且x，y∈N，所以y为偶数且0≤y≤5.当y＝4时，x＝2；当y＝2时，x＝5；当y＝0时，x＝8. 8．被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为________． 答案：{x|x＝3k＋1，k∈N} 解析：因为被3除余数等于1的自然数为x＝3k＋1，k∈N，所以其对应的集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋1，k∈N}． 9．若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素，则实数k的值为________． 答案：0或1 解析：集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个实根或有两个相等实根，当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个实根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若集合只有一个元素，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1. 10．(10分)用适当的方法表示下列集合： (1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(3分) (2)大于2且小于6的有理数组成的集合；(3分) (3)图中阴影部分的点(含边界)的集合．(4分) 解：(1)方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}． (2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}． (3)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 答案：A 解析：A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}．当a＝b时，则a－b＝0，当a>b时，a－b＝1或a－b＝2，当a<b时，a－b＝－1或a－b＝－2.所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5个元素．故选A. 12．(多选)下列选项中是集合A＝中的元素的是(　　) A． B． C．(3，4) D．(4，3) 答案：AD 解析：对于A，当x＝，y＝时，由得k＝1，满足题意，故A正确；对于B，当x＝，y＝时，由可知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当x＝3，y＝4时，由可知无解，不满足题意，故C错误；对于D，当x＝4，y＝3时，由得k＝12，满足题意，故D正确．故选AD. 13．(新定义)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，则集合A⊙B的所有元素的平均数为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 答案：A 解析：根据题意，A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，且集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，当x＝0，y＝1或2时，都有z＝0，当x＝3，y＝1时，有z＝3×1×(3＋1)＝12，当x＝3，y＝2时，有z＝3×2×(3＋2)＝30，则A⊙B＝{0，12，30}，其平均数为＝14.故选A. 14．(10分)已知A＝{x|3x2－mx＋2m<0}． (1)若3∈A，求m的取值范围；(4分) (2)若0∈A且1∈A，求m的取值范围．(6分) 解：(1)由3∈A，得27－3m＋2m<0， 解得m>27，所以m的取值范围为{m|m>27}． (2)因为0∈A，且1∈A， 所以解得m<－3， 所以m的取值范围为{m|m<－3}． 15．(5分)(新设问)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集____________． 答案：不是　(答案不唯一) 解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等． 16．(15分)已知集合A＝，B＝，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合． 解：对于集合A，B，因为x∈N，∈N，所以当x＝1时，＝1； 当x＝7时，＝3；当x＝9时，＝9. 所以A＝{1，7，9}，B＝{1，3，9}． 所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}． 学生用书↓第7页 学科网（北京）股份有限公司 $$