1.4.2 充要条件-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

1.4.2　充要条件 　 第一章　1.4　充分条件与必要条件 学习目标 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系，培养逻辑推理核心素养． 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 给出以下两个“若p，则q”形式的命题： (1)若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等． (2)若m≤ ，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根． 问题1.你能判断这两个命题的真假吗？ 提示：(1)、(2)都是真命题． 问题2.你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？ 提示：(1)逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是真命题． (2)逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根，则m≤ ，是真命题． 问题导思 问题3.以上两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？ 提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件．“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q)，p是q的充要条件． 1．逆命题 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为______条件． 新知构建 p⇒q q⇒p p⇔q 充要 对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件． 微提醒 若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则集合A与集合B有什么关系？ 提示：A＝B. 微思考 (链教材P21例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； 解：当|x|＝|y|时，x＝±y x3＝y3， 但x3＝y3⇒x＝y⇒|x|＝|y|， 故p不是q的充要条件(p是q的必要不充分条件)． (2)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B； 解：在△ABC中，大边对大角， 则AB>AC⇔∠C>∠B， 则p是q的充要条件． 例1 (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B. 解：若A⊆B，则A∪B＝B， 反之若A∪B＝B，则A⊆B， 所以p是q的充要条件． 规律方法 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 1．定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． 2．集合法：即利用集合的包含关系判断． 3．等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 对点练1.(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是 A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D. √ (2)以下选项中，p是q的充要条件的是 A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5 B．p：a>2，b<2，q：a>b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 对于A，p：x>1，q：x<1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．故选D. 返回 √ 综合应用 返回 应用一　 充要条件的证明 (链教材P22例4)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三边边长) 证明：必要性： 因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性： 由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立． 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 例2 规律方法 充要条件的证明策略 1．要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． 2．在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，即证明p与q的解集相同． 提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向． 对点练3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b， 所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 应用二 　充分、必要、充要条件的应用 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m} {x|－2≤x≤10}， 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 例3 变式探究　1.(变条件)若将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以A B. 即实数m的取值范围为{m|m≥9}． 2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 若p是q的充要条件，则 m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 规律方法 充分条件与必要条件的应用与求解 1．应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． 2．求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 对点练4. 已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2. (1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ (2)当a为何值时，p是q的充要条件？ 因为p是q的充分不必要条件，所以{x|1≤x≤a} {x|1≤x≤2}，又a≥1，所以1≤a<2.所以当1≤a<2时，p是q的充分不必要条件． 因为p是q的充要条件，所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件． 返回 课堂小结 知识归纳 (1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 方法技巧 等价转化 常见误区 条件和结论辨别不清 随堂演练 返回 1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件． 故选C. √ 2．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝ ”，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由q：“x－2＝ ”，解得x＝1(舍去)或x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．所以p是q的充要条件． 故选C. √ 3．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有 A．A∩B＝A B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆( ∁UB) D．A∪(∁UB)＝U √ √ √ 由Venn图可知，B，C，D都是B⊆A的充要条件．故选BCD. 4．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． m＝－2 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－ ＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称． 返回 课时测评 返回 1．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由x2＋(y－2)2＝0，得x＝0且y＝2，x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．“x<2”是“ <0”的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确 的是 A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件 C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 A正确．Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；B正确．Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；C错误．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根 Δ＝b2－4ac>0；D正确．Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根．故选ABD. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是 A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤0或x>2 √ √ 从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 充要 由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．“x＝3或x＝4”是“x－3＝ ”的________条件． 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的____________； (2)“x<2 025”是“x<2 024”的_____________________． 充要条件 设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． 必要不充分条件 设A＝{x|x<2 025}，B＝{x|x<2 024}，因为B A，所以“x<2 025”是“x<2 024”的必要不充分条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．“m≤5”是“m2－4m－5≤0”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 √ m2－4m－5≤0⇔－1≤m≤5.所以“m≤5”是“m2－4m－5≤0”的必要而不充分条件．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是 A．“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<6”是“a<4”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 √ √ 对于A，因为当a2＝b2时，a2c2＝b2c2成立，而当c2＝0，a2c2＝b2c2时，a2＝b2不一定成立，所以“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充分不必要条件，故A错误；对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2<b2；当a＝－2，b＝1时，a2>b2，但a<b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，由a<4⇒a<6，所以“a<6”是“a<4”的必要条件，故C正确；显然“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D正确．故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合的条件，用序号填空： (1)“使a，b都为0”的必要条件是_________； ①②③ ①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a (2)“使a，b都不为0”的充分条件是_____； ④ (3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是____． ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}． (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(4分) 解：M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤5}． (2)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．(6分) 解：若a＝－5，显然M∩P＝{x|－5≤x<－3或5<x≤8}，则a＝－5是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．结合数轴可知a<－3时符合题意，则实数a的取值范围是{a|a<－3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题知，电路图A中，开关S闭合， 灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定 闭合，故A中p是q的充分不必要条 件；电路图B中，开关S闭合，灯泡 L亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合， 故B中p是q的充要条件；电路图C中， 开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L 亮则开关S一定闭合，故C中p是q的 必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)(开放题)在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由． 问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？ 解：由题意知A＝{x|0≤x≤4}， 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得a≥3， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得0<a≤1， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|0<a≤1}． 若选③，则A＝B， 所以1－a＝0且1＋a＝4， 又a>0，方程组无解， 所以不存在满足条件的a. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 由<0，得x－2<0，x<2，即“x<2”是“<0”的充要条件． 故选A. $$