1.1 第1课时 集合的概念-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1．1　集合的概念 第1课时　集合的概念 [学习目标]　1.通过实例了解集合与元素的含义，培养数学抽象核心素养．　2.利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系，培养逻辑推理核心素养．　3.识记常见数集的表示符号． 知识点一　元素与集合 看下面的几个例子： (1)平面内到定点O的距离等于2的所有的点； (2)方程x2－1＝0的所有实数根； (3)1～10之间的所有偶数； (4)2023年杭州第19届亚运会上中国运动员金牌获得者； (5)地球上的四大洋． 问题1.以上各语句中所研究的对象分别是什么？ 提示：以上各语句中所研究的对象分别为平面内到定点O的距离等于2的所有的点的轨迹为圆、±1、2，4，6，8，10、2023年杭州第19届亚运会上中国运动员金牌获得者、太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋． 问题2.以上各语句中的研究对象确定吗？研究的对象有相同的吗？ 提示：研究对象确定．研究的对象没有相同的． 1．元素 2．集合 [微提醒]　(1)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义． (2)集合中的元素可以为数、点、图形、人或物等． (3)组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个，含有有限个元素的集合为有限集，含有无限个元素的集合为无限集． (多选)下列各项能组成集合的是(　　) A．抛物线y＝x2＋1上的所有点 B．某个班级中体育好的所有同学 C．2024年新高考数学Ⅰ卷中的所有难题 D．某实验室的全体工作人员 答案：AD 解析：A、D中的元素都是确定的，能组成集合．B、C中的“体育好”“难题”的标准都不明确，不能组成集合．故选AD. 判断一组对象能构成集合的条件 1．能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． 2．任何两个对象都是不同的． 3．对元素出现的顺序没有要求．　　 对点练1.下列元素的全体不能组成集合的是(　　) A．2023年篮球世界杯参赛队伍 B．中国文学四大名著 C．学校里性格开朗的学生 D．我国的直辖市 学生用书↓第2页 答案：C 解析：选项C中“性格开朗”的标准不好确定，不能组成集合．故选C. 知识点二　集合中元素的特征 问题3.单词“notebook”中的字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，该集合中有几个元素？ 提示：能组成一个集合．集合中的元素有6个． 问题4.分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？ 提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序． 1．集合中元素的特征：确定性、互异性与无序性． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，则称两个集合相等． (1)已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 (2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与集合Q是相等的，则a＝________． 答案：(1)D　(2)±2 解析：(1)因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两互不相等，故选D. (2)由题意得a2＝4，a＝±2. [变式探究]　(变条件、变设问)若将本例(2)条件改为“若集合Q中含有两个元素1和a2”，则a的取值范围为________． 答案：a≠±1 解析：由集合中的元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1. 判断两个集合相等的注意点 若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．　　 对点练2.设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝________． 答案：1 解析：由题意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1. 知识点三　元素与集合的关系 李明是高一(1)班的一位同学，刘多多是高一(2)班的一位同学． 问题5.这两名同学与高一(1)班这个班集体之间分别有什么关系？ 提示：因为李明是高一(1)班的同学，所以他属于高一(1)班这个班集体；刘多多是高一(2)班的同学，所以他不属于高一(1)班这个班集体． 问题6.该校的任意一位同学与这个班集体的关系是否明确？ 提示：任意一位同学，要么属于这个班集体，要么不属于这个班集体，他们的关系是明确的． 1．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A [微思考]　如果平面直角坐标系内所有的点组成的集合为A，那么2∈A，(1，2)∈A都成立吗？ 学生用书↓第3页 提示：不都成立．构成集合A的元素是点，不是数，故2∉A，(1，2)∈A. 2．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R [微提醒]　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． [微思考]　集合N与N*或N＋有什么区别？ 提示：集合N中的元素是0和正整数，集合N*或N＋中的元素是正整数． (1)(多选)下列所给关系正确的是(　　) A．π2∈R B.∉Q C．0∈N* D．|－3|∉N* (2)设不等式3－2x<0的解集为M，下列判断正确的是(　　) A．0∈M，2∈M B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M 答案：(1)AB　(2)B 解析：(1)0∉N*，|－3|∈N*.故选AB. (2)当x＝0时，3－2x＝3>0，0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，2∈M.故选B. 判断元素和集合之间关系的方法 1．直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可． 2．推理法：首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．　　 对点练3.用符号“∈”或“∉”填空： (1)设集合B是小于的所有实数组成的集合，则2________B，1＋________B； (2)设集合D是由满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1，1)________D. 答案：(1)∉　∈　(2)∉　∈ 解析：(1)因为2＝>，所以2∉B.因为1＋<3<，所以1＋∈B. (2)因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1不是有序实数对，所以－1∉D.因为(－1)2＝1，所以(－1，1)是满足方程y＝x2的有序实数对，所以(－1，1)∈D. 对点练4.已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围是________． 答案：a>－4 解析：因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4. 集合中元素特征的应用 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 答案：－1 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素1，所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1. [变式探究]　1.(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为集合A中含有两个元素a和a2， 所以a≠a2，即a≠0且a≠1. 2．(变条件)若将本例条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． 解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.经检验符合元素的互异性． 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 对点练5.已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为________． 答案：－或1 解析：因为集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1，且0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0，解得a＝－或a＝±1.当a＝－时，a2－1＝－，符合题意；当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足集合中元素的互异性，舍去．综上，实数a的值为－或1. 知识归纳 (1)元素与集合的概念．(2)集合中元素的特征．(3)元素与集合的关系．(4)常用数集的记法 方法技巧 直接法、推理法、分类讨论 常见误区 自然数集N中易遗忘元素0 学生用书↓第4页 1．(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．(2 024，1)与(1，2 024) D．未来世界的高科技产品 答案：BC 解析：A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 024，1)与(1，2 024)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．故选BC. 2．下列表示正确的是(　　) A．0∈N B．∈N C．－3∉Z D．π∈Q 答案：A 解析：对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，是不可约分数，即有∉N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错误；对于D，π是无理数，即有π∉Q，故D错误． 3．方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素． 4．已知集合A中的元素为1，x，y，集合B中的元素为1，x2，2y，若集合A与集合B相等，则x－y＝______． 答案： 解析：若A＝B，则或解得或或由集合中元素的互异性，得则x－y＝－＝. 课时测评1　集合的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列说法不正确的是(　　) A．我国近代著名的数学家不能构成一个集合 B．(2 024，2 025)和(2 025，2 024)可以构成一个集合 C．由1，2，3，4，5和5，4，3，2，1分别组成的集合是相等的 D．1，0.5，，，， 这六个数能组成一个集合 答案：D 解析：“著名”的标准不确定，故不能构成集合，A中说法正确；(2 024，2 025)和(2 025，2 024)表示两点，且其坐标不一样，能构成一个集合，B中说法正确；元素1，2，3，4，5和5，4，3，2，1相同，故它们组成的集合相等，C中说法正确；1，0.5，，，， 中含有相同的数，不符合集合中元素的互异性，D中说法错误．故选D. 2．下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 答案：A 解析：由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A. 3．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈A C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A 答案：D 解析：因为3－1＝2>，所以3∉A.又－3－1＝－4<，所以－3∈A.故选D. 4．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　　) A．1∈M B．0∈M C．－1∈M D．－2∈M 答案：C 解析：由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故－1∈M.故选C. 5．(多选)由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是(　　) A．1 B．－2 C．－1 D．2 答案：ABD 解析：由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，所以a的取值不可能是1，2与－2.故选ABD. 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．N*中最小的数是1 B．若－a∉N*，则a∈N* C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 答案：AC 解析：因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对于B，若a＝，则满足－a∉N*，但a∉N*，故B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以解集中只有1个元素，故D错误．故选AC. 7．若x∈N，且∈N，则x＝________． 答案：1 解析：因为x∈N，且∈N，则x＝1. 8．下列说法中，不正确的有________．(填序号) ①单词Chinese的所有字母组成的集合的元素共有7个； ②由－1，0，1，，，，3，－3组成的集合中有8个元素； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合． 答案：①②③ 解析：①不正确，Chinese的字母e有重复，共有6个不同字母，元素个数是6；②不正确，＝，＝3，由集合中元素的互异性，知这个集合中有6个元素；③不正确，小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关． 9．若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 024＋b2 024的值为________． 答案：1 解析：由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以＝0，所以b＝0，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1.所以a2 024＋b2 024＝1. 10．(10分)设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合． (1)0是否是集合A中的元素？(4分) (2)若－5∈A，求实数a的值．(6分) 解：(1)将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素． (2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，解得a＝－4. (11—13每小题5分，共15分) 11．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其元素的个数最多为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：A 解析：当x>0时，x＝|x|＝，－＝－x，此时集合中共有2个元素；当x＝0时，x＝|x|＝＝－＝－x＝0，此时集合中共有1个元素；当x<0时， ＝|x|＝－＝－x，此时集合中共有2个元素．综上，此集合中最多有2个元素．故选A. 12．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 答案：C 解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.故选C. 13．已知集合A中元素满足2x－a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为________． 答案：2≤a<4 解析：因为1∉A，2∈A，所以即2≤a<4. 14．(10分)(开放题)集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值；若不能，则说明理由． 解：因为9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. 15．(5分)集合A中的元素x满足x＝m＋n(m，n∈Z)．x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系分别为x1________A，x2________A，x3________A．(填“∈”或“∉”) 答案：∈　∉　∈ 解析：x1＝－＝0＋(－1)×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；x2＝＝＝1＋×，因为1∈Z，∉Z，所以x2∉A；x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A. 16．(15分)设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1，且1∉A. (1)若2∈A，则集合A中至少还有几个元素？求出这几个元素．(5分) (2)集合A中能否只含有一个元素？请说明理由．(10分) 解：(1)因为2∈A，所以＝－1∈A，＝∈A，＝2∈A， 因此A中至少还有两个元素－1和. (2)不能．如果集合A中只含有一个元素，则a＝，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解， 故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素． 第2课时　集合的表示 [学习目标]　1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．　2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合，提升数学抽象与数学运算核心素养． 知识点一　列举法 观察下面两个集合： (1)中国的“五岳”组成的集合M； (2)小于6的正整数构成的集合N. 问题1.上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？ 提示：能．集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5. 问题2.上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？ 提示：列举法．M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}；N＝{1，2，3，4，5}． 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．用列举法表示的集合的结构 [微思考]　一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：不用考虑元素的顺序． [微提醒]　用列举法表示集合的关注点 (1)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可．(2)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}．(3)集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． (链教材P3例1)用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程x2＝x的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 解：(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}． (3)由x2＝x，得x＝0或x＝1， 所以方程x2＝x的实数根组成的集合C＝{0，1}． (4)由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}． 学生用书↓第5页 用列举法表示集合的步骤 第一步：求出集合的元素； 第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；　　 第三步：用花括号括起来． [提醒]　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．　　 对点练1.用列举法表示下列集合： (1)大于2且小于8的整数组成的集合A； (2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合B； (3)直线y＝3x＋1与y轴的交点所组成的集合C. 解：(1)因为大于2且小于8的整数包括3，4，5，6，7，所以集合A＝{3，4，5，6，7}． (2)因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2， 所以集合B＝{1，2}． (3)将x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1. 所以两直线的交点为(0，1)， 故集合C＝{(0，1)}． 知识点二　描述法 问题3.你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ 提示：不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}． 问题4.仿照问题3中的例子以及阅读教材，你能表示偶数集吗？ 提示：{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． 1．描述法 设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}． 2．用描述法表示的集合的结构 [微提醒]　用描述法表示集合的注意点 (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应为{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．(5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (链教材P4例2)用描述法表示下列集合： (1)不等式2x－7<3的解集A； (2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B； (3)被3除余2的正整数的集合C； (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合D. 解：(1)解2x－7<3得x<5， 所以集合A＝{x|x<5}． (2)函数值组成的集合就是y的取值集合， 所以集合B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}． (3)被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以集合D＝{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}． 学生用书↓第6页 用描述法表示集合的2个步骤 对点练2.用描述法表示下列集合： (1)小于10的非负整数构成的集合； (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； (4)集合{1，3，5，7，…}． 解：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z|0≤x<10}． (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}． (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}． (4){1，3，5，7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N*}． 集合与方程的综合问题 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解：若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个相等的实根． 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． [变式探究]　1.(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 解：由题意得 解得k<1，且k≠0. 所以k的取值范围为{k|k<1，且k≠0}． 2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合． 解：①当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k>1. 综上，实数k的取值集合为{k|k＝0，或k≥1}． 求解集合与方程的综合问题应关注三点 1．弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． 2．当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． 3．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．　　 对点练3.已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝________，b＝________． 答案：5　6 解析：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6. 知识归纳 (1)列举法．(2)描述法．(3)集合与方程的关系 方法技巧 分类讨论 常见误区 (1)列举法与描述法的乱用．(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程 1．集合{x∈N|x－2<2}用列举法表示是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3} 答案：D 解析：集合{x∈N|x－2<2}＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}．故选D. 2．在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是(　　) A．{x|x≤－3或x≥3} B．{x|－3≤x≤3} C．{x|x≤－3} D．{x|x≥3} 答案：B 解析：在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足|x|≤3，即－3≤x≤3，因此所求的集合为{x|－3≤x≤3}，故选B. 3．(多选)下列各组集合表示的不是同一集合的是(　　) A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{(x，y)|2x＋y＝1}，N＝{y|2x＋y＝1} C．M＝{1，2}，N＝{2，1} D．M＝{2，4}，N＝{(2，4)} 答案：ABD 解析：对于A，M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}是不同的点构成的集合，故M与N不是同一集合；对于B，M＝{(x，y)|2x＋y＝1}是点集，N＝{y|2x＋y＝1}是数集，故M与N不是同一集合；对于C，M＝{1，2}和N＝{2，1}都是由元素1，2构成的集合，故M与N是同一集合；对于D，M＝{2，4}是数集，N＝{(2，4)}是点集，故M与N不是同一集合．故选ABD. 4．若集合{x∈R|x2＋2ax＋1＝0}中只有一个元素，则实数a的取值集合为________． 答案：{－1，1} 解析：因为集合{x∈R|x2＋2ax＋1＝0}中只有一个元素，所以Δ＝4a2－4＝0，解得a＝±1.所以实数a的取值集合为{－1，1}． 学生用书↓第7页 课时测评2　集合的表示 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是(　　) A．0∈A B．1∉A C．－1∈A D．0∉A 答案：A 解析：因为A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，所以0∈A. 2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　) A．{x∈Z|－3<x<11} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 答案：D 解析：由题意可知，满足题设条件的只有选项D. 3．方程组的解集是(　　) A．{(1，－1)，(－1，1)} B．{(－2，2)，(1，1)} C．{(－2，2)，(1，－1)} D．{(2，－2)，(－2，2)} 答案：C 解析：由得或所以方程组的解集是{(－2，2)，(1，－1)}．故选C. 4．已知集合A＝{－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝(　　) A．{－1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} 答案：C 解析：因为y＝|x|，x∈A，所以当x＝－1，1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝2.因此集合B＝{0，1，2}．故选C. 5．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C.∈{x|x<2} D．{1，2}与{2，1}是同一个集合 答案：AD 解析：{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}, >，所以∉{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．故选AD. 6．(多选)下列说法错误的是(　　) A．在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0} B．方程x2－4＝0的解集为{(－2，2)} C．集合{(x，y)|y＝3x＋1}与{x|y＝3x＋1}是相等的 D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A 答案：BCD 解析：对于选项A，因为xy>0，所以或所以集合{(x，y)|xy>0}表示平面直角坐标系内第一、三象限的点的集合，故A正确；对于选项B，方程x2－4＝0的解集为{2，－2}，故B错误；对于选项C，集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示直线y＝3x＋1上的点，集合{x|y＝3x＋1}表示函数y＝3x＋1中x的取值范围，故集合{(x，y)|y＝3x＋1}与{x|y＝3x＋1}不相等，故C错误；对于选项D，A＝{x∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－1.1∉A，故D错误．故选BCD. 7．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________________． 答案：{(2，4)，(5，2)，(8，0)} 解析：因为2x＋3y＝16，所以3y＝16－2x＝2(8－x)，且x，y∈N，所以y为偶数且0≤y≤5.当y＝4时，x＝2；当y＝2时，x＝5；当y＝0时，x＝8. 8．被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为________． 答案：{x|x＝3k＋1，k∈N} 解析：因为被3除余数等于1的自然数为x＝3k＋1，k∈N，所以其对应的集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋1，k∈N}． 9．若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素，则实数k的值为________． 答案：0或1 解析：集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个实根或有两个相等实根，当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个实根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若集合只有一个元素，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1. 10．(10分)用适当的方法表示下列集合： (1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(3分) (2)大于2且小于6的有理数组成的集合；(3分) (3)图中阴影部分的点(含边界)的集合．(4分) 解：(1)方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}． (2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}． (3)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 答案：A 解析：A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}．当a＝b时，则a－b＝0，当a>b时，a－b＝1或a－b＝2，当a<b时，a－b＝－1或a－b＝－2.所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5个元素．故选A. 12．(多选)下列选项中是集合A＝中的元素的是(　　) A． B． C．(3，4) D．(4，3) 答案：AD 解析：对于A，当x＝，y＝时，由得k＝1，满足题意，故A正确；对于B，当x＝，y＝时，由可知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当x＝3，y＝4时，由可知无解，不满足题意，故C错误；对于D，当x＝4，y＝3时，由得k＝12，满足题意，故D正确．故选AD. 13．(新定义)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，则集合A⊙B的所有元素的平均数为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 答案：A 解析：根据题意，A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，且集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，当x＝0，y＝1或2时，都有z＝0，当x＝3，y＝1时，有z＝3×1×(3＋1)＝12，当x＝3，y＝2时，有z＝3×2×(3＋2)＝30，则A⊙B＝{0，12，30}，其平均数为＝14.故选A. 14．(10分)已知A＝{x|3x2－mx＋2m<0}． (1)若3∈A，求m的取值范围；(4分) (2)若0∈A且1∈A，求m的取值范围．(6分) 解：(1)由3∈A，得27－3m＋2m<0， 解得m>27，所以m的取值范围为{m|m>27}． (2)因为0∈A，且1∈A， 所以解得m<－3， 所以m的取值范围为{m|m<－3}． 15．(5分)(新设问)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集____________． 答案：不是　(答案不唯一) 解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等． 16．(15分)已知集合A＝，B＝，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合． 解：对于集合A，B，因为x∈N，∈N，所以当x＝1时，＝1； 当x＝7时，＝3；当x＝9时，＝9. 所以A＝{1，7，9}，B＝{1，3，9}． 所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}． 学生用书↓第7页 1．2　集合间的基本关系 [学习目标]　1.在具体情境中，了解空集的含义．　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用，培养数学抽象的核心素养． 知识点一　子集的概念 观察下面的几个例子： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)A＝{高一年级的女生}，B＝{高一年级的全体学生}； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 问题1.上述实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？ 提示：都是． 问题2.实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：都是． 1．子集 文字叙述 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 符号表示 记作：A⊆B(或B⊇A)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”) Venn图表示 [微思考]　1.任何两个集合之间是否都有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，1}，这两个集合没有包含关系． 2．符号“∈”与“⊆”有什么不同？ 提示：符号“∈”表示元素与集合之间的关系，“⊆”表示集合与集合之间的关系． 2．集合相等 文字叙述 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 符号表示 若A⊆B且B⊆A，则A＝B Venn图表示 [微提醒]　集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． (链教材P9练习T3)判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (3)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 判断集合间关系的常用方法 学生用书↓第8页 对点练1.(1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　) A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆P C．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P (2)如果集合A＝{x|x∈Z且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，则集合A，B的关系是________． 答案：(1)B　(2)B⊆A 解析：(1)正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，则Q⊆M⊆N⊆P.故选B. (2)因为x∈Z，所以x2∈Z，且x2≥0，因为A＝{x|x∈Z且x≥0}，所以x2∈A.故B⊆A. 知识点二　真子集 观察下面两个例子，回答问题： (1)集合A＝{1，5，6}，B＝{5，6}； (2)集合M＝{x∈R|x2－2x＋2＝0}． 问题3.实例(1)中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：不全是.1∈A，但1∉B；集合B中的元素都是集合A中的元素． 问题4.集合M中有多少个元素？ 提示：集合M中没有元素． 1．真子集 文字叙述 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 符号表示 记作：AB或BA 读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”) Venn图表示 [微提醒]　A是B的真子集的含义：A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 2．集合间关系的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC. 3．空集 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特征 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)若A≠∅，则∅A [微思考]　能不能说空集是任何集合的真子集？ 提示：不能，空集不是空集的真子集，但能说空集是任何非空集合的真子集． (链教材P8例1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 解：子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中真子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． 求集合子集、真子集个数的步骤 [提醒]　(1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)含有n个元素的集合，它的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．　　 对点练2.写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P. 解：由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P有{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}． 学生用书↓第9页 由集合间的关系求参数(范围) (链教材P9习题T5(2))已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|3≤m≤4} 解析：因为A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围为{m|3≤m≤4}． [变式探究]　1.(变条件)将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m<－5} 解析：①当B＝∅时，有m－6>2m－1， 则m<－5，此时B⊆A成立； ②当B≠∅时，B⊆A，此时满足 解得 不等式组的解集为∅. 由①②可知，实数m的取值范围为{m|m<－5}． 2．(变条件)将“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|3≤m≤4} 解析：因为A＝{x|－2<x<5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4. 所以实数m的取值范围为{m|3≤m≤4}． 3．(变条件)将“B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B＝{x|m－6<x<2m－1}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|3<m<4} 解析：因为A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6<x<2m－1}，且A⊆B，所以解得3<m<4. 所以实数m的取值范围为{m|3<m<4}． 由集合间的关系求参数的方法 1．当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． 2．当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． [提醒]　(1)不能忽视集合为∅的情形； (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．　　 对点练3.已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的取值所组成的集合是(　　) A．{－1，2} B．{－2，1} C．{－2，0，1} D．{－1，0，2} 答案：C 解析：因为B⊆A，当a＝0时，B＝∅，满足条件；当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}．故选C. 对点练4.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 解：(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2，所以a的取值范围为{a|a>2}． (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2，所以a的取值范围为{a|1≤a≤2}． 知识归纳 (1)子集、真子集的概念与性质．(2)子集的个数．(3)由集合间的关系求参数范围 方法技巧 分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论 常见误区 (1)在解决问题时，容易遗忘空集，它在集合中有至高的地位．(2)求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论 1．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则下列结论正确的是(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} 答案：ACD 解析：由题意得A＝{0，2}，且空集是任何集合的子集，故A，C，D正确，B错误． 2．(多选)已知集合A＝{x|ax≤4}，B＝{4，}．若B⊆A，则实数a的值可能是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：ABC 解析：因为B⊆A，且B＝{4，}，所以4∈A且∈A，则解得a≤1.因此a的可能取值为－1，1和－2.故选ABC. 3．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝________；若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________． 答案：{－1，0}　{－1，0} 解析：由x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，所以A＝{－1，0}．由于{0}B⊆A，知B＝{－1，0}． 4．已知集合A＝{x|x>4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|2<a≤3} 解析：因为B≠∅，根据题意作出如图所示的数轴， 则解得2<a≤3.故实数a的取值范围为{a|2<a≤3}． 学生用书↓第10页 课时测评3　集合间的基本关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列四个集合中，是空集的是(　　) A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 答案：D 解析：因为x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3<0，方程无解，所以{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅.故选D. 2．已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列结论正确的有(　　) ①3∈A；②{－3}∈A；③∅⊆A；④{3，－3}⊆A. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：B 解析：解方程x2－9＝0得x＝3或x＝－3，所以A＝{－3，3}．故①③④正确．故选B. 3．已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，则两个集合间的关系是(　　) A．M⊆P B．P⊆M C．M＝P D．M，P互不包含 答案：D 解析：由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含．故选D. 4．设集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x－a>0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a>1} C．{a|a<－1} D．{a|a≤－1} 答案：D 解析：化简得集合B＝{x|x>a}，结合数轴可知，要使A⊆B，则只要a≤－1即可，即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．故选D. 5．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是(　　) A．{1，8} B．{2，3} C．{1} D．{2} 答案：AC 解析：因为A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中的元素是集合B，C的公共元素，结合选项可知A，C满足题意．故选AC. 6．(多选)集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值为(　　) A．1 B． C．－1 D．－ 答案：AD 解析：由集合有两个子集可知，该集合是单元素集， 当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－.故选AD. 7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________． 答案：BA 解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA. 8．若集合A{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有________个． 答案：5 解析：若集合A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若集合A中含有两个奇数，则A＝{1，3}． 9．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}． (1)若A＝B，则y的值为________； (2)若A⊆C，则a的取值范围为______________． 答案：(1)1或3　(2){a|3<a<5} 解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2<x<5}，A⊆C，所以所以3<a<5. 10．(10分)已知集合A＝{1，3，－x2}，B＝{x＋2，1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由． 解：存在，理由如下： 由题意知，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x2，则x2＋x＋2＝0无实数根，故不成立． 综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}． (11—13每小题5分，共15分) 11．若集合M＝，集合N＝，则(　　) A．M＝N B．N⊆M C．MN D．以上均不对 答案：C 解析：M＝＝，N＝＝，因为2k＋1(k∈Z)为奇数，k＋2(k∈Z)为整数，所以MN.故选C. 12．(多选)已知集合A＝{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　) A．0 B． C．1 D．2 答案：BD 解析：因为集合A＝{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，所以当m＝0时，可得解得当m≠0时，可得解得所以m＋n＝或m＋n＝2.故选BD. 13．(新角度)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，有下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0.若这三个关系中有且只有一个是正确的，则a＋2b＋3c＝________． 答案：5 解析：假设①正确，②③错误，则a≠2，b≠2，c＝0，与{a，b，c}＝{0，1，2}矛盾，故假设不成立；假设②正确，①③错误，则a＝2，b＝2，c＝0，与{a，b，c}＝{0，1，2}矛盾，故假设不成立；假设③正确，①②错误，则a＝2，b＝0，c＝1，假设成立，所以a＋2b＋3c＝5. 14．(10分)已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}． (1)若∅M，求实数a的取值范围；(4分) (2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解， 所以Δ＝22－4×(－a)≥0，解得a≥－1， 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1}． (2)N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N， 所以当M＝∅时，Δ＝22－4×(－a)<0，解得a<－1； 当M≠∅时，当Δ＝0时，a＝－1， 此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意； 当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素， 若M⊆N，则M＝N，从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解． 综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}． 15．(5分)(多选)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，下列结论正确的是(　　) A．不存在实数a使得A＝B B．存在实数a使得A⊆B C．当0≤a≤4时，B⊆A D．存在实数a使得B⊆A 答案：AD 解析：对于A，由集合相等的概念可得此方程组无解，故不存在实数a使得A＝B，因此A正确；对于B，由A⊆B，得即此不等式组无解，因此B错误；对于C，当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合B⊆A，当a<1时，要使B⊆A，需满足解得2≤a≤4，不满足a<1，故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B⊆A，因此C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数a使得B⊆A，因此D正确．故选AD. 16．(15分)(开放题)已知集合A＝{x|－1≤x≤a，a>－1且a∈R}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．是否存在实数a，使得C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：假设存在这样的实数a. 对于集合B，因为y＝2x－1，且x∈A， 即－1≤x≤a， 所以－3≤y≤2a－1. 对于集合C，因为z＝x2，且x∈A， 所以当－1<a≤0时，a2≤z≤1； 当0<a≤1时，0≤z≤1；当a>1时，0≤z≤a2. 当－1<a≤0时，要使C⊆B，则2a－1≥1，即a≥1，矛盾． 当0<a≤1时，要使C⊆B，则有2a－1≥1，即a＝1. 当a>1时，要使C⊆B，则有a2≤2a－1， 即(a－1)2≤0，无解． 综上所述，存在a＝1，使得C⊆B. 学生用书↓第10页 1．3　集合的基本运算 第1课时　集合的并集与交集运算 [学习目标]　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．　2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算，培养数学抽象及数学运算核心素养． 知识点一　并集 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种． 问题1.通过观察，你能用集合C表示两次一共进货的品种吗？ 提示：A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔，火腿肠}． 问题2.集合C中元素的个数等于集合A，B中元素的个数和吗？ 提示：不等于． 1．并集 2．并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A. [微提醒]　(1)A∪B仍是一个集合，A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成． (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．可用图形表示： [微思考]　集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 提示：不等于． (链教材P10例1)(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0}，N＝{x|x2－2x＝0}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} (2)设集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|－1<x<2}，则A∪B＝________． 答案：(1)D　(2){x|－1<x<3} 解析：(1)M＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}．故选D. (2)在同一条数轴上分别作出集合A，B. 由图可知A∪B＝{x|－1<x<3}． 求集合并集的两种基本方法 1．定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． 2．数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．　　 对点练1.(1)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3，或x>5} (2)(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是(　　) A．{5} B．{1，5} C．{1，3} D．{1，3，5} 答案：(1)A　(2)ABD 解析：(1)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A. (2)由{1，3}∪A＝{1，3，5}，知A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5.故选ABD. 学生用书↓第11页 知识点二　交集 观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，回答下面的问题： 问题3.集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ 提示：有公共元素．它们组成的集合是{2，3}． 问题4.集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 提示：集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B. 1．交集 2．交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B. [微提醒]　(1)A∩B仍是一个集合，A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素，同时A与B的公共元素都属于A∩B.(2)“且”字的意义：A∩B中的元素既属于A，又属于B. [微思考]　如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？ 提示：A∩B＝∅. (链教材P12练习T2)(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} (2)已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|－2<x<1}，则M∩N＝________． 答案：(1)A　(2){x|－1<x<1} 解析：(1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．故选A. (2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示． 由图知M∩N＝{x|－1<x<1}． 求两个集合交集的方法 1．对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． 2．对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　 对点练2.(1)已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x∈Z|－2<x<2}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{x|0≤x<2} C．{0，1} D．{0，1，2} (2)若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________________________________________________________________________. 答案：(1)C　(2)R　{x|4≤x<5} 解析：(1)因为B＝{x∈Z|－2<x<2}＝{－1，0，1}，A＝{x|x≥0}，所以A∩B＝{0，1}，故选C. (2)如图，借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}． 根据并集与交集运算求参数范围 已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|3≤a<4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≤－1} D．{a|a<－1} 答案：C 解析：利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.故选C. [变式探究]　1.(变条件)将本例中“A∪B＝R”变成“A∪B＝A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：当a≥4时，集合B为空集，满足题意；当a<4时，若要满足A∪B＝A，必有a≥3，则3≤a<4. 综上，实数a的取值范围是{a|a≥3}． 学生用书↓第12页 2．(变条件)将本例中集合B变为“B＝{x|a<x≤4－a}”，且“A∪B＝R”变为“A∩B＝∅”，求实数a的取值范围． 解：当a≥4－a，即a≥2时，集合B为空集，满足题意；当a<2时，则有a≥－1且4－a<3，故有1<a<2.综上，实数a的取值范围是{a|a>1}． 利用集合间的关系求参数范围的一般步骤 第一步：若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； 第二步：将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集； 第三步：解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围．　　 对点练3.(1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝(　　) A．{0，2} B．{0，5} C．{0，2，2，5} D．{0，2，5} (2)设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}．若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________． 答案：(1)D　(2){t|t≤2} 解析：(1)若A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}．故选D. (2)由M∩N＝N，得N⊆M. 故当N＝∅，即2t＋1≤2－t，即t≤时，M∩N＝N成立；当N≠∅时，由图得 解得<t≤2.综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}． 知识归纳 (1)并集的概念及运算．(2)交集的概念及运算．(3)根据集合间的运算求参数范围 方法技巧 观察法、图示法、数形结合、分类讨论 常见误区 在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一特殊情况 1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 答案：C 解析：由x－1≥0得x≥1，所以A∩B＝{1，2}．故选C. 2．已知集合A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x≥2}，则A∪B＝(　　) A．{x|x>0} B．{x|2≤x<3} C．{x|x≥2} D．{x|x<3} 答案：A 解析：由A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x≥2}得A∪B＝{x|0<x<3}∪{x|x≥2}＝{x|x>0}．故选A. 3．若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≥－1} 解析：A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠∅，得a≥－1. 4．若集合A＝{x|－3≤x<1}，B＝{x|x≤a}，且A∪B＝{x|x<1}，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|－3≤a<1} 解析：因为A＝{x|－3≤x<1}，B＝{x|x≤a}，A∪B＝{x|x<1}，所以－3≤a<1. 课时测评4　集合的并集与交集运算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝(　　) A．{x|1<x≤3} B．{x|0≤x<4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0<x<4} 答案：B 解析：由A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，得A∪B＝{x|0≤x<4}．故选B. 2．设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，则实数m＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 答案：A 解析：因为A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，所以－1∈B，所以m＝－1.故选A. 3．设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B＝(　　) A．∅ B. C． D． 答案：C 解析：由得所以A∩B＝.故选C. 4．已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x>－2}，C＝{x|x>－1}，则(A∩B)∪C＝(　　) A．{x|－1<x<0} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<0} D．{x|x>－2} 答案：D 解析：由A＝{x|x<0}，B＝{x|x>－2}，得A∩B＝{x|－2<x<0}，所以(A∩B)∪C＝{x|x>－2}．故选D. 5．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝N B．M∪N＝N C．(M∩N)⊆N D．N⊆(M∩N) 答案：BC 解析：因为M⊆N，所以M∩N＝M，M∪N＝N，(M∩N)⊆N.故选BC. 6．(多选)集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 答案：CD 解析：因为M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，所以M∩N＝{1，3}．故选CD. 7．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝______________． 答案：{x|3≤x<5} 解析：因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{x|3≤x<5}． 8．已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________． 答案：6 解析：由已知得，B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A∪B中元素的个数为6. 9．设集合M＝{x|－4<x<3}，N＝{x|t＋2<x<2t－1，t∈R}．若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________． 答案：{t|t≤3} 解析：由M∩N＝N，得N⊆M.故当N＝∅，即t＋2≥2t－1，即t≤3时，M∩N＝N成立； 当N≠∅时，由图得无解． 综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}． 10．(10分)设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}． (1)求a，b的值及A，B；(4分) (2)求(A∪B)∩C.(6分) 解：(1)因为A∩B＝{2}，所以2∈A，且2∈B， 故4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0， 即a＝－8，b＝－5， 所以A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}． (2)因为A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}， 所以(A∪B)∩C＝{2}． (11—13每小题5分，共15分) 11．已知a∈R，集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}．若M∪N有三个元素，则M∩N＝(　　) A．{0，1} B．{0，－1} C．{0} D．{1} 答案：C 解析：因为集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}，若M∪N有三个元素，则a2＝a且a≠±1，解得a＝0.此时M∩N＝{0}．故选C. 12．(多选)设集合M＝{x|a<x<3＋a}，N＝{x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是(　　) A．若a<－1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆N C．若M∪N＝R，则1<a<2 D．若M∩N≠∅，则1<a<2 答案：ABC 解析：对于A，若a<－1，则3＋a<2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a>4，显然对于任意x∈M，x>4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N＝R，则解得1<a<2，故C正确；对于D，若M∩N＝∅，则不等式无解，故若M∩N≠∅，则a∈R，故D错误．故选ABC. 13．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有________人，同时参加数学和化学小组的有________人． 答案：5　8 解析：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组． 因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理小组的有15－6－4＝5(人)． 设同时参加数学和化学小组的人数为x， 则只参加数学小组的人数为26－6－x＝20－x， 只参加化学小组的人数为13－4－x＝9－x. 又总人数为36， 即20－x＋x＋6＋4＋5＋9－x＝36， 所以44－x＝36，解得x＝8， 即同时参加数学和化学小组的有8人． 14．(10分)已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|m<x<m＋9}． (1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；(4分) (2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．(6分) 解：(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以解得－6≤m≤－2， 所以实数m的取值范围是{m|－6≤m≤－2}． (2)当A∩B＝∅时，3≤m或m＋9≤－2， 解得m≥3或m≤－11， 所以A∩B≠∅时，－11<m<3， 所以实数m的取值范围是{m|－11<m<3}． 15．(5分)已知集合A＝{x|0<x<2}，集合B＝{x|－1<x<1}，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|－2≤m≤1} B． C． D． 答案：B 解析：易得A∪B＝{x|－1<x<2}．①当m<0时，集合C＝，若(A∪B)⊆C，则－≥2，解得－≤m<0.②当m＝0时，集合C＝R，满足题意．③当m>0时，集合C＝，若(A∪B)⊆C，则－≤－1，解得0<m≤1.综上所述，实数m的取值范围是.故选B. 16．(15分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}． (1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；(5分) (2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求实数a的值．(10分) 解：由已知，得B＝{2，3}，C＝{2，－4}． (1)因为A∩B＝A∪B，所以A＝B. 于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数的关系知解得a＝5. (2)由A∩B∅⇒A∩B≠∅，又A∩C＝∅，得3∈A，2∉A，－4∉A. 由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2. 当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，与2∉A矛盾； 当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意． 所以a＝－2. 第2课时　全集、补集及综合应用 [学习目标]　1.了解全集的含义及其符号表示．　2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．　3.会用Venn图、数轴进行集合的综合运算，培养数学抽象和数学运算核心素养． U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}． 问题1.集合U，A，B三者有何关系？ 提示：U＝A∪B. 问题2.集合B中元素与U和A有何关系？ 提示：B中元素都在U中， 但都不在A中． 1．全集 (1)概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：通常记作U． [微思考]　全集一定是实数集吗？ 提示：不一定． 学生用书↓第13页 2．补集 [微提醒]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，所选的全集不同，得到的补集也不同． (链教材P13例5)(1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则∁UA＝(　　) A．{1，3} B．{1，3，6} C．{2，3，6} D．{2，3，5} (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________________． 答案：(1)B　(2){x|x<－3，或x＝5} 解析：(1)因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，所以∁UA＝{1，3，6}．故选B. (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上， 如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}． 求集合的补集的方法 1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． 2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． 3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．　　 对点练1.(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5} 答案：A 解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪∁UM＝{2，3，5}．故选A. 对点练2.若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U分别取下列集合时，求∁UA. (1)U＝R； (2)U＝{x|x≤2}； (3)U＝{x|－4≤x≤1}． 解：(1)把集合A表示在数轴上，如图所示．又U＝R， 由图知∁UA＝{x|x<－1，或x≥1}． (2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|x<－1，或1≤x≤2}． (3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}． 应用一　集合交、并、补的综合运算 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 解：如图所示． 因为A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， 所以∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}， A∪B＝{x|－3≤x<3}． 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　　 对点练3.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} 答案：A 解析：由题意M∪N＝{1，2，3，4}，又全集U＝{1，2，3，4，5}，因此∁U(M∪N)＝{5}．故选A. 学生用书↓第14页 对点练4.已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}． 求：(1)(∁SA)∩(∁SB)；(2)∁S(A∩B)． 解：如图所示， 可得A∩B＝{x|3≤x<5}， ∁SA＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}， ∁SB＝{x|1<x<3，或x＝7}． (1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2，或x＝7}． (2)∁S(A∩B)＝{x|1<x<3，或5≤x≤7}． 应用二　与补集有关的参数范围问题 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示集合B，∁UA如图． 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}． [变式探究]　1.(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ 解：由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅， 所以－m>－2，解得m<2. 故m的取值范围为{m|m<2}． 2．(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ 解：由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R， 所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为{m|m≥2}． 由集合的补集求解参数的方法 1．如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定义并结合相关知识求解． 2.如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴求解．　　 对点练5.(1)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________． (2)已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________． 答案：(1)－3　(2)2 解析：(1)因为U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，又A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0，－m}，故m＝－3. (2)因为∁UA＝{x|x<1，或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2. 知识归纳 (1)全集与补集及性质．(2)交、并、补集的综合运算．(3)利用集合间的关系求参数范围 方法技巧 观察法、分析法、数形结合、分类讨论 常见误区 (1)自然数集容易遗漏元素0.(2)解决含参的集合运算时要注意空集这一特殊情况 1．已知全集U＝{－3<x<3}，集合A＝{－2<x≤1}，则∁UA＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|－3<x<－2，或1≤x<3} C．{x|－2≤x<1} D．{x|－3<x≤－2，或1<x<3} 答案：D 解析：由补集定义可知：∁UA＝{x|－3<x≤－2，或1<x<3}．故选D. 2．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 答案：A 解析：由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误．故选A. 3．(多选)设集合P＝{1，2，3}，Q＝{x|2≤x≤3}，则下列结论中正确的有(　　) A．P⊆Q B．P∩Q＝P C．(P∩Q)⊆P D．(∁RQ)∩P≠∅ 答案：CD 解析：集合P中1∉Q，故A错误；P∩Q＝{2，3}，故B错误，C正确；∁RQ＝{x|x<2或x>3}，(∁RQ)∩P＝{1}≠∅.故D正确． 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m≥6} 解析：因为A＝{x|x≤－2，或x≥3}，所以∁UA＝{x|－2<x<3}，因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)． 当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B.当B≠∅时，则无解．故实数m的取值范围是{m|m≥6}． 学生用书↓第14页 课时测评5　全集、补集及综合应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1} 答案：C 解析：因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．故选C. 2．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，∁AB＝{1，3，5}，则集合B＝(　　) A．{2，4} B．{0，2，4} C．{0，1，3} D．{2，3，4} 答案：B 解析：根据题意，集合A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，若∁AB＝{1，3，5}，则B＝∁A(∁AB)＝{0，2，4}．故选B. 3．已知集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x≤2}，则集合{x|x≤－2，或x≥1}＝(　　) A．A∪B B．A∩B C．∁R(A∪B) D．∁R(A∩B) 答案：D 解析：因为A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x≤2}，所以A∪B＝{x|x≤2}，A∩B＝{x|－2<x<1}，所以∁R(A∪B)＝{x|x>2}，∁R(A∩B)＝{x|x≤－2，或x≥1}．故选D. 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3} 答案：D 解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．故选D. 5．(多选)能正确表示图中阴影部分的是(　　) A．B∩(∁UA) B．A∩(∁UB) C．∁ (A∪B)A D．∁B(A∩B) 答案：ACD 解析：由韦恩图知，选项A，C，D表示的阴影部分正确．故选ACD. 6．(多选)下列选项可以推出A⊆B的是(　　) A．A∩B＝A B．A∩(∁UB)＝∅ C．A∪B＝A D．B⊆∁UA 答案：AB 解析：由集合关系中“交小并大”原则知A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝A⇒B⊆A，故可以推出A，而不可以推出C；当A∩(∁UB)＝∅时，如图①所示，A⊆B；当B⊆∁UA时，如图②所示，A∩B＝∅，故可以推出B，不可以推出D.故选AB. 7．设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁UA)∩(∁UB)＝________． 答案：{x|x是直角三角形} 解析：根据三角形的分类可知，∁UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x是直角三角形}． 8．已知全集为R，集合A＝{x|2<x<6}，B＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是____________． 答案：{a|a≥10或a≤－2} 解析：由题可知∁RB＝{x|x<a－4，或x>a＋4}．因为A⊆∁RB，所以6≤a－4，或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2. 9．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________． 答案：2 解析：因为A＝{x|1≤x<a}，∁UA＝{x|2≤x≤5}，所以A∪(∁UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(∁UA)＝∅，所以a＝2. 10．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求：(1)A∩B(2分)；(2)A∪B(2分)；(3)A∪(∁UB)(2分)；(4)B∩(∁UA)(2分)；(5)(∁UA)∩(∁UB)(2分)． 解：如图①. (1)A∩B＝{x|0≤x<5}． (2)A∪B＝{x|－5<x<7}． (3)如图②. ∁UB＝{x|x<0，或x≥7}， 所以A∪(∁UB)＝{x|x<5，或x≥7}． (4)如图③. ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥5}， B∩(∁UA)＝{x|5≤x<7}． (5)因为∁UB＝{x|x<0，或x≥7}， ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，所以如图④. (∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤－5，或x≥7}． (11—13每小题5分，共15分) 11．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% 答案：C 解析：设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C. 12．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3，或4<x<6}，集合B＝{x|2≤x<5}，下列集合运算正确的是(　　) A．∁UA＝{x|x<1，或3<x<4，或x>6} B．∁UB＝{x|x<2，或x≥5} C．A∩∁UB)＝{x|1≤x<2，或5≤x<6} D．(∁UA)∪B＝{x|x<1，或2<x<5，或x>6} 答案：BC 解析：依题意，∁UA＝{x|x<1，或3<x≤4，或x≥6}，故A不正确；∁UB＝{x|x<2，或x≥5}，故B正确；A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2，或5≤x<6}，故C正确；(∁UA)∪B＝{x|x<1，或2≤x<5，或x≥6}，故D不正确．故选BC. 13．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝________． 答案：{3} 解析：因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以∁UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁UB)＝{3}． 14．(10分)(开放题)已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(∁AB)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由． 解：假设存在实数x，使B∪(∁AB)＝A， 所以BA. (1)若x＋2＝3，则x＝1，符合题意． (2)若x＋2＝－x，则x＝－1，不满足集合A或B中元素的互异性，不符合题意． 所以存在x＝1，使B∪(∁AB)＝A， 此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}． 15．(5分)如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x<3}，B＝{y|y>2}，则A*B＝(　　) A．{x|x>3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2<x<3} D．{x|x≥3} 答案：D 解析：由韦恩图可得A*B＝∁B(A∩B)，因为A＝{x|0≤x<3}，B＝{y|y>2}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以∁B(A∩B)＝{x|x≥3}．故选D. 16．(15分)(新定义)我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}． 据此，回答以下问题： (1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁UA；(4分) (2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(4分) (3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？(7分) 解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，∁UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}． (2)阴影部分如下图所示． (3)若A－B＝∅，则A⊆B. 学生用书↓第15页 1．4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 [学习目标]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．　2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养逻辑推理核心素养． 知识点一　命题 阅读以下四个语句： (1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (2)同位角相等； (3)两个面积相等的三角形全等； (4)同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行． 问题1.以上四个语句的表述形式有什么特点？ 提示：两个特点：①均是陈述句；②能够判断真假． 问题2.你能判断这些语句的真假吗？ 提示：(1)(4)为真；(2)(3)为假． 1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题． 3．结构形式：“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． [微提醒]　(1)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．(2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断．(3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题． 判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3>x2成立； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆． 解：(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立． (3)真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0， 所以方程x2－2x＋m＝0无实数根． (4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． 判断命题真假的方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断．而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．　　 对点练1.给出下面四个命题： ①若xy＝1，则x，y互为倒数； ②平面内，四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形； ④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________． 答案：①④ 解析：①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形． 学生用书↓第16页 知识点二　充分条件与必要条件 给出下列命题： (1)若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数． (2)若ab＝0，则a＝0. 问题3.你能判断这两个命题的真假吗？ 提示：(1)是真命题；(2)是假命题． 问题4.命题(1)中的条件和结论有什么关系？命题(2)中的呢？ 提示：命题(1)中只要满足条件“整数a是6的倍数”，必有结论“整数a是2和3的倍数”；命题(2)中满足条件“ab＝0”，不一定有结论“a＝0”，还可能“b＝0”． 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇒/ q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 [微提醒]　(1)一般地，如果p⇒q且q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件．(2)如果p⇒/ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(3)如果p⇒/ q且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件． [微思考]　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 提示：不唯一．例如q：“x>0”的充分条件p可以是“x>2”“x>3”“2<x<3”等，是不唯一的． (链教材P18例1，P19例2)给出下面四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件． 解：(1)因为两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， 所以p是q的必要条件但不是充分条件． (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形， 所以q⇒/ p. 所以p是q的充分条件但不是必要条件． (3)因为p⇒q且q⇒p， 所以p既是q的充分条件，又是q的必要条件． (4)因为p⇒/ q，且q⇒/ p， 所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 充分、必要条件的判断方法 1．定义法：判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． 2．集合法：利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件．　　 对点练2.指出下列各题中，p是q的什么条件： (1)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除； (2)p：“x>2且y>3”，q：“x＋y>5”； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． 解：(1)实数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q，q⇒/ p， 所以p是q的充分不必要条件． (2)x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定成立，如x＝0，y＝6， 所以p是q的充分不必要条件． (3)在△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即p⇒/ q，且q⇒p， 所以p是q的必要不充分条件． 学生用书↓第17页 根据充分(必要)条件求参数 已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 解：由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集． 当3m－2＞5m＋2，即m＜－2时，Q＝∅，满足题意； 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得解得0＜m＜. 综上，m的取值范围是. [变式探究]　(变设问)本例条件不变，是否存在实数m使P的必要条件为Q? 解：由题意得，P是Q的子集，即P⊆Q， 则解得m∈∅， 所以不存在实数m使P的必要条件为Q. 充分条件与必要条件的应用技巧 1．应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．　　 2．求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　 对点练3.已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是____________． 答案：{a|－1≤a≤5} 解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以即所以－1≤a≤5. 知识归纳 (1)充分条件、必要条件的概念．(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(3)充分条件、必要条件的判断．(4)充分条件与必要条件的应用 方法技巧 等价转化 常见误区 (1)充分条件、必要条件不唯一．(2)求参数范围时能否取到端点值 1．俗语云：“好人有好报”．这句话中“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 答案：A 解析：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选A. 2．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分条件，也是必要条件 D．既不充分条件，也不必要条件 答案：B 解析：由a∈M∪N⇒/ a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p⇒/ q，但q⇒p.故选B. 3．(多选)使x>1成立的一个必要条件可以是(　　) A．x>0 B．x>－1 C．x>2 D．x<2 答案：AB 解析：只有x>1⇒x>0，x>1⇒x>－1，其他选项均不可由x>1推出．故选AB. 4．若“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≤1} 解析：因为“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件，所以{x|－1<x<3}是{x|x>2a－3}的真子集，则2a－3≤－1，解得a≤1. 课时测评6　充分条件与必要条件 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 答案：B 解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，所以p⇒/ q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．故选B. 2．下列选项中，p是q的必要条件的是(　　) A．p：a＝－1，q：|a|＝1 B．p：－1<a<1，q：a<1 C．p：a<b，q：a<b＋1 D．p：a>b，q：a>b＋1 答案：D 解析：要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒p：a>b符合题意．故选D. 3．已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．无法判断 D．既不充分条件也不必要条件 答案：A 解析：若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件，不是必要条件．故选A. 4．已知P＝{x|m－2<x<m＋3}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A．0<m<3 B．0<m≤3 C．0≤m<3 D．0≤m≤3 答案：D 解析：若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则Q⊆P，所以即所以0≤m≤3.故选D. 5．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：整数a能被4整除，q：a的个位数字为偶数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形的对角线相等 C．p：x>2，q：x≥1 D．p：a>b，q：ac2>bc2 答案：ABC 解析：选项A中，若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位数字为偶数，所以p⇒q，即p是q的充分条件；选项B中，四边形为等腰梯形⇒四边形的对角线相等，所以p⇒q，即p是q的充分条件；选项C中，用数轴表示不等式，如图， 所以p⇒q，即p是q的充分条件；选项D中，当c＝0时，a>b⇒/ ac2>bc2，所以p⇒/ q，即p不是q的充分条件．故选ABC. 6．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　) A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x>5，则x>10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0<x<5，则|x－1|<1 答案：BCD 解析：对于A，两个相似的三角形不一定全等，故A不正确；对于B，x>10能推出x>5，故B正确；对于C，由a＝b，能推出ac＝bc，故C正确；对于D，若|x－1|<1，则0<x<2，能推出0<x<5，故D正确．故选BCD. 7．下列说法中正确的有________(填序号)． ①x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件； ②x>1是x>2的充分条件； ③x＋y>2是x>1，y>1的必要条件． 答案：①③ 解析：①正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0；②错误，因为x>1不能推出x>2；③正确，因为x>1，y>1⇒x＋y>2. 8．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(用“充分”“必要”填空)． 答案：充分 解析：若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件但不是必要条件． 9．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|a≤－9} 解析：因为p是q的必要条件，所以q⇒p，所以解得a≤－9. 10．(10分)指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件： (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝；(3分) (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3分) (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.(4分) 解：(1)因为x2＝2x＋1⇒/ x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件． (2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒/ a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件． (3)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，(x－1)(y－2)＝0⇒/ (x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分条件． (11—13每小题5分，共15分) 11．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 答案：B 解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．故选B. 12．(多选)下列式子：①x<1；②0<x<1；③－1<x<；④－1<x<0.其中，可以是－1<x<1的一个充分条件的序号为(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：BCD 解析：因为－1<x<1，所以②③④是－1<x<1的充分条件． 13．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} 答案：C 解析：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}．因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1， 即－2<b<2.故选C. 14．(10分)已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围． 解：由于p：－1<x<3， 又由－a<x－1<a，得1－a<x<1＋a， 依题意，得{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}， 所以解得a≥2， 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}． 15．(5分)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A. 16．(15分)(开放题)(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？(5分) (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？(10分) 解：(1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1，或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1，或x>3的必要条件． 学生用书↓第18页 1．4.2　充要条件 [学习目标]　通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系，培养逻辑推理核心素养． 给出以下两个“若p，则q”形式的命题： (1)若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等． (2)若m≤，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根． 问题1.你能判断这两个命题的真假吗？ 提示：(1)、(2)都是真命题． 问题2.你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？ 提示：(1)逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是真命题． (2)逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根，则m≤，是真命题． 问题3.以上两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？ 提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件．“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q)，p是q的充要条件． 1．逆命题 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． [微提醒]　对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件． [微思考]　若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则集合A与集合B有什么关系？ 提示：A＝B. (链教材P21例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； (2)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B； (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B. 解：(1)当|x|＝|y|时，x＝±y⇒/ x3＝y3， 但x3＝y3⇒x＝y⇒|x|＝|y|， 故p不是q的充要条件(p是q的必要不充分条件)． (2)在△ABC中，大边对大角， 则AB>AC⇔∠C>∠B， 则p是q的充要条件． (3)若A⊆B，则A∪B＝B， 反之若A∪B＝B，则A⊆B， 所以p是q的充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 1．定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． 2．集合法：即利用集合的包含关系判断． 3．等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 对点练1.(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 (2)以下选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5 B．p：a>2，b<2，q：a>b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D. (2)对于A，p：x>1，q：x<1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/ q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．故选D. 学生用书↓第19页 应用一　 充要条件的证明 (链教材P22例4)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三边边长) 证明：　必要性： 因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性： 由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立． 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 充要条件的证明策略 1．要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． 2．在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，即证明p与q的解集相同． [提醒]　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．　　 对点练3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b， 所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 应用二 　充分、必要、充要条件的应用 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． [变式探究]　1.(变条件)若将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB. 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m|m≥9}． 2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 若p是q的充要条件，则m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 充分条件与必要条件的应用与求解 1．应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． 2．求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　 对点练4.已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2. (1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ (2)当a为何值时，p是q的充要条件？ 解析：(1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|1≤x≤a}{x|1≤x≤2}，又a≥1，所以1≤a<2.所以当1≤a<2时，p是q的充分不必要条件． (2)因为p是q的充要条件，所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件． 知识归纳 (1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 方法技巧 等价转化 常见误区 条件和结论辨别不清 学生用书↓第20页 1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．故选C. 2．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由q：“x－2＝”，解得x＝1(舍去)或x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．所以p是q的充要条件．故选C. 3．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∩B＝A B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆( ∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 答案：BCD 解析：由Venn图可知，B，C，D都是B⊆A的充要条件．故选BCD. 4．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 答案：m＝－2 解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．课时测评7　充要条件 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由x2＋(y－2)2＝0，得x＝0且y＝2，x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故选B. 2．“x<2”是“<0”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由<0，得x－2<0，x<2，即“x<2”是“<0”的充要条件．故选A. 3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B. 4．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件．故选B. 5．(多选)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是(　　) A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件 C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 答案：ABD 解析：A正确．Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；B正确．Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；C错误．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇒/ Δ＝b2－4ac>0；D正确．Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根．故选ABD. 6．(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是(　　) A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤0或x>2 答案：BC 解析：从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意． 7．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 答案：充要 解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件． 8．“x＝3或x＝4”是“x－3＝”的________条件． 答案：充要 解析：由x－3＝，得x＝3或x＝4.显然x＝3或x＝4时，x－3＝，故“x＝3或x＝4”是“x－3＝”的充要条件． 9．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的____________； (2)“x<2 025”是“x<2 024”的____________． 答案：(1)充要条件　(2)必要不充分条件 解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x<2 025}，B＝{x|x<2 024}，因为BA，所以“x<2 025”是“x<2 024”的必要不充分条件． 10．(10分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：　充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. (11—13每小题5分，共15分) 11．“m≤5”是“m2－4m－5≤0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：m2－4m－5≤0⇔－1≤m≤5.所以“m≤5”是“m2－4m－5≤0”的必要而不充分条件．故选B. 12．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是(　　) A．“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<6”是“a<4”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 答案：CD 解析：对于A，因为当a2＝b2时，a2c2＝b2c2成立，而当c2＝0，a2c2＝b2c2时，a2＝b2不一定成立，所以“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充分不必要条件，故A错误；对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2<b2；当a＝－2，b＝1时，a2>b2，但a<b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，由a<4⇒a<6，所以“a<6”是“a<4”的必要条件，故C正确；显然“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D正确．故选CD. 13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合的条件，用序号填空： (1)“使a，b都为0”的必要条件是____________； (2)“使a，b都不为0”的充分条件是________； (3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是____________． 答案：(1)①②③　(2)④　(3)① 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或④ab>0⇔或则a，b都不为0. 14．(10分)已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}． (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(4分) (2)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．(6分) 解：(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤5}． (2)若a＝－5，显然M∩P＝{x|－5≤x<－3或5<x≤8}，则a＝－5是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．结合数轴可知a<－3时符合题意，则实数a的取值范围是{a|a<－3}． 15．(5分)(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　) 答案：BD 解析：由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD. 16．(15分)(开放题)在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由． 问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？ 解：由题意知A＝{x|0≤x≤4}， 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得a≥3， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}． 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得0<a≤1， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|0<a≤1}． 若选③，则A＝B， 所以1－a＝0且1＋a＝4， 又a>0，方程组无解， 所以不存在满足条件的a. 1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 [学习目标]　1.理解全称量词、全称量词命题的定义．　2.理解存在量词、存在量词命题的定义．　3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假，提升逻辑推理和数学运算核心素养． 知识点一　全称量词与全称量词命题 　给出下列四个语句： (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 问题1.以上四个语句都是命题吗？ 提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题． 问题2.比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 提示：语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句． 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量词 命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立 符号表示 ∀x∈M，p(x) [微提醒]　(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题．(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 学生用书↓第21页 (链教材P27例1)下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)∀x∈R，x2>0； (3)矩形的对角线相等． 解析：(1)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． (2)是，有全称量词“∀”，假命题． (3)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． 1．全称量词命题的判断方法 (1)看该命题是否含有全称量词． (2)看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，先把全称量词补充出来再判断． 2．全称量词命题真假的判断方法 判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．　　 对点练1.下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．有无数个x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，都有x2>3 D．不存在x∈R，使得x2<3 答案：C 解析：“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，应表述为“任选一个x∈R，都有x2>3”．故选C. 对点练2.判断下列全称量词命题的真假： (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (3)∀x∈R，x2－1＝0. 解：(1)因为面积相等的三角形不一定相似，所以该命题是假命题． (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，该命题是真命题． (3)只有当x＝±1时，x2－1＝0才成立，所以该命题是假命题． 知识点二　存在量词与存在量词命题 给出以下4个语句： (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 问题3.以上4个语句都是命题吗？ 提示：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题． 问题4.比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 提示：语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句． 存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量 词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立 符号表示 ∃x∈M，p(x) [微提醒]　(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题．(2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． 学生用书↓第22页 (链教材P28例2)判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假： (1)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (2)某个四边形不是平行四边形； (3)方程3x－2y＝10有整数解； (4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0. 解析：(1)是存在量词命题，可表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．真命题． (2)是存在量词命题，可表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．真命题． (3)是存在量词命题，可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．真命题． (4)是存在量词命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实数根．假命题． 1．存在量词命题的判断方法 (1)看该命题是否含有存在量词． (2)看该命题是否为省去存在量词的命题，如果是，先把存在量词补充出来再判断． 2．存在量词命题真假的判断方法 判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题．　　 对点练3.(1)下列命题是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．所有的二次函数的图象都是轴对称图形 B．平行四边形的对角线相等 C．有些实数是无限不循环小数 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________________________________________________________________． 答案：(1)C　(2)∃x<0，使得(1＋x)(1－9x)>0 解析：(1) A × 命题中含有全称量词“所有”，为全称量词命题；所有的二次函数的图象都是轴对称图形，为真命题. B × 命题中省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；平行四边形的对角线不一定相等，为假命题. C √ 命题中含有存在量词“有些”，为存在量词命题；π是实数，且是无限不循环小数，为真命题. D × 命题中省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；由几何关系知D是真命题. (2)“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述． 由含量词命题的真假求参数范围 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围． 解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m|2≤m≤3}． [变式探究]　1.(变条件)把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围． 解：由于命题p：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，即m≥2. 所以或 解得2≤m≤4. 2．(变条件)把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题， 则A⊆B，B≠∅， 所以无解， 所以不存在实数m，使命题p是真命题． 依据含量词命题的真假求参数范围的方法步骤 1．根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意． 2．根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围问题．　　 学生用书↓第23页 对点练4.若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题， 所以方程x2－4x＋a＝0存在实数根， 则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 即实数a的取值范围为{a|a≤4}． 知识归纳 (1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念．(2)含量词的命题的真假判断．(3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围 方法技巧 定义法、转化法 常见误区 (1)有些命题省略了量词．(2)全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分” 1．下列命题的形式不同于其他三个的是(　　) A．∀x∈Z，x2－9<x2 B．∃x∈R，x2－2x＋1≠0 C．每一个正数的倒数都大于0 D．∀x<2，x－3<0 答案：B 解析：A、C、D均为全称量词命题，B为存在量词命题． 2．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，x3＝3 B．∃x∈R，3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z 答案：AB 解析：A是真命题，由x3＝3得x＝，是无理数，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，|x|<3；D是假命题，如x＝，x2∉Z.故选AB. 3．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题． (1)有的实数不能写成小数形式：____________________________________ ____________________________________； (2)菱形的对角线垂直：________________． 答案：(1)∃x∈R，x不能写成小数形式；(2)∀x∈{x|x是菱形}，x的对角线垂直 4．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≤1} 解析：由p为真命题，知a≤x.又1≤x≤3，因此a≤1. 课时测评8　全称量词与存在量词 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2≤0 C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 答案：B 解析：A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件，C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题．故选B. 2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 答案：B 解析：因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，如图，所以A错误；B正确；C错误；D错误．故选B. 3．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R，2x－10＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0 答案：C 解析：当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题． 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 答案：B 解析：A是全称量词命题．B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．因为＋(－)＝0，所以C为假命题．对于任意一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B. 5．(多选)已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，则以下命题为真命题的是(　　) A．∃x∈A，x∉B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∈B D．∀x∈B，x∈A 答案：AD 解析：因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集．所以∃x∈A，x∉B，故A为真命题，C为假命题；因为BA，所以∀x∈B，x∈A，故B为假命题，D为真命题．故选AD. 6．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 答案：CD 解析：当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确．故选CD. 7．下列命题中正确的序号是________． ①∃x∈R，x≤0； ②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数． 答案：①②③ 解析：①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确． 8．若命题“∃x>1，使ax－3<0”是真命题，则实数a的取值范围是____________． 答案：{a|a<3} 解析：当a≤0时，显然存在x>1，使ax－3<0；当a>0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3<0，得a<3，故0<a<3.综上所述，实数a的取值范围是{a|a<3}． 9．若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝(－3)2－4×9a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围是. 10．(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性． (1)对所有的正实数t, 为正且 <t；(2分) (2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；(2分) (3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；(2分) (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(4分) 解：(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则<t不成立． (2)为存在量词命题，且为真命题， 因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0， 所以存在实数x，使得x2－3x－4＝0. (3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x－4y－5>0成立． (4)为全称量词命题，且为真命题． (11—13每小题5分，共15分) 11．(多选)下列命题正确的是(　　) A．存在x<0，使|x|>x B．对于一切x<0，都有|x|>x C．不存在实数x，使x2＋2x＋2＝0 D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅ 答案：ABC 解析：A、B显然为真命题，故A、B正确；由于对于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，故C为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故D为假命题． 12．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，m>x”和“∃x∈{x|0≤x≤2}，n>x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是(　　) A．m>0，n>0 B．m>0，n>2 C．m>2，n>0 D．m>2，n>2 答案：C 解析：由“∀x∈{x|0≤x≤2}，m>x”是真命题，可得m>2；由“∃x∈{x|0≤x≤2}，n>x”是真命题，可得n>0.故选C. 13．使“∀x∈{x|3≤x≤4}，x－a<0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a>4 B．a>5 C．a>3 D．a≥4 答案：B 解析：依题意，全称量词命题：∀x∈{x|3≤x≤4}，x－a<0为真命题，所以a>x在x∈{x|3≤x≤4}时恒成立，所以a>4，所以使“∀x∈{x|3≤x≤4}，x－a<0”为真命题的一个充分不必要条件是a>5. 14．(10分)用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)实数都能写成小数形式；(2分) (2)有的有理数没有倒数；(2分) (3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；(2分) (4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.(4分) 解析：(1)∀a∈R，a都能写成小数形式．此命题是真命题． (2)∃x∈Q，x没有倒数．有理数0没有倒数，故此命题是真命题． (3)∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根． 当m＝－1时，方程无实根，故此命题是假命题． (4)∃x∈R，使x2＋x＋4≤0.x2＋x＋4＝＋>0恒成立，所以此命题为假命题． 15．(5分)(开放题)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 答案：(2，4)(答案不唯一) 解析：由a2－ab＋b＝0，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，则b＝(a≠1)．当a＝2，b＝4时，能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题． 16．(15分)已知M＝{x|a≤x≤a＋1}． (1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)∀x∈M，x＋1＞0是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是{a|a＞－1}． (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a|a＞－2}． 1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习目标]　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，培养数学抽象核心素养．　2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，培养逻辑推理核心素养． 知识点一　全称量词命题的否定 问题1.写出下列命题的否定： (1)所有的正比例函数都是一次函数； (2)每一个有理数都能写成分数形式． 提示：(1)并非所有的正比例函数都是一次函数． (2)并非每一个有理数都能写成分数形式． 问题2.能否用存在量词改写问题1中的两个命题的否定？如何改写？ 提示：能　(1)存在一个正比例函数不是一次函数． (2)存在一个有理数不能写成分数形式． 问题3.上述两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题． 1．全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 [微提醒]　写出一个全称量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． 学生用书↓第24页 [微思考]　如果p(x)的否定是¬p(x)，那么p(x)与¬p(x)可以同真同假吗？ 提示：不能同真同假，只能一真一假． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 (链教材P29例3)写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数； (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根． 解析：(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数． (2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上． (3)该命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根． 全称量词命题否定的关注点 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)． 2．全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题要补上量词后进行否定． 对点练1.命题“∀x>0，x2＋2x≥0”的否定是(　　) A．∃x≤0，x2＋2x<0 B．∀x>0，x2＋2x<0 C．∃x>0，x2＋2x≥0 D．∃x>0，x2＋2x<0 答案：D 解析：“∀x>0，x2＋2x≥0”的否定为“∃x>0，x2＋2x<0”．故选D. 对点练2.写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 解：(1)∃n∈Z，n∉Q. (2)存在一个奇数的平方不是奇数． (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 知识点二　存在量词命题的否定 问题4.写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 问题5.以上命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． [微提醒]　对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． (链教材P30例4)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； (3)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3. 解：(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． (2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． (3)该命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3. 当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 学生用书↓第25页 存在量词命题否定的关注点 1．存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)． 2．存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题要补上量词后进行否定． 对点练3.命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－2x＋2≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋2>0 C．∀x∈R，x2－2x＋2>0 D．∀x∈R，x2－2x＋2≤0 答案：C 解析：“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2>0”．故选C. 对点练4.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有的素数是偶数； (2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0. 解：(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数． 由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题． (2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0. 因为当a＝b＝0时，a2＋b2＝0， 所以命题的否定是假命题． 根据命题的否定求参数范围 命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a， 所以2＋a≥3， 所以a≥1. 所以实数a的取值范围为{a|a≥1}． [变式探究]　(变条件)若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 解：由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，故有>1，所以a<1. 所以实数a的取值范围为{a|a<1}． 由命题的否定求参数范围的两个关注点 1．命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． 2．求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围．　　 对点练5.已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且其否定是假命题，求实数a的取值范围． 解：命题p的否定是假命题，即p是真命题， 即∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}成立， 所以 解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a|－3≤a≤1}． 知识归纳 (1)全称量词命题、存在量词命题的否定． (2)命题真假的判断．(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用 方法技巧 转化法 常见误区 否定不唯一；命题与其否定的真假性相反 学生用书↓第26页 1．命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x≥0，x3＋x<0 B．∀x<0，x3＋x≥0 C．∃x≥0，x3＋x<0 D．∃x≥0，x3＋x≥0 答案：C 解析：命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是“∃x≥0，x3＋x<0”．故选C. 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案：A 解析：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选A. 3．(多选)下列四个命题中，其命题的否定是假命题的有(　　) A．有理数是实数 B．有些四边形不是菱形 C．∀x∈R，x2－2x>0 D．∃x∈R，2x＋1为奇数 答案：ABD 解析：由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题；有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题；∀x∈R，x2－2x>0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题；∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题．故选ABD. 4．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≤4} 解析：因为命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，所以“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”是真命题，所以方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 课时测评9　全称量词命题和存在量词命题的否定 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．命题“∀x∈R，x2－2x＋4<0”的否定为(　　) A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋4≥0 C．∀x∉R，x2－2x＋4≥0 D．∃x∉R，x2－2x＋4≥0 答案：B 解析：命题为全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，则命题的否定：∃x∈R，x2－2x＋4≥0.故选B. 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 答案：C 解析：由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，再否定命题结论．故选C. 3．下列命题的否定是真命题的为(　　) A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：全等三角形的周长相等 D．p4：所有的无理数都是实数 答案：A 解析：若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反．因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以p1的否定是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2的否定，p3的否定，p4的否定均为假命题．故选A. 4．已知命题p：∀x∈R，x<|x|<x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是(　　) A．p，q B．¬p，q C．p，¬q D．¬p，¬q 答案：B 解析：对于命题p，采用特殊值法，取x＝1，可知p为假命题，则¬p为真命题；命题q：当x0＝1时，x－5x0＋4＝0成立，故q为真命题，则¬q为假命题．故选B. 5．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B．p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，其否定是假命题 D．p是假命题，其否定是真命题 答案：AC 解析：命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”，所以p是真命题，其否定是假命题．故选AC. 6．(多选)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|>0 答案：BD 解析：对于A，p的否定：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．对于B，q的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．对于C，r的否定：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，是假命题．对于D，s的否定：存在实数a，使|a|≤0，是真命题．故选BD. 7．“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是__________________，是______命题(填“真”或“假”)． 答案：任意平行四边形的对角线相等　假 解析：“有一个平行四边形”中含有存在量词，因此这是一个存在量词命题，其否定应是全称量词命题，原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题． 8．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________(填“是”或“否”) 答案：是 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的． 9．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是________． 答案：5 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5. 10．(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(3分) (2)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；(3分) (3)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.(4分) 解：(1)该命题的否定：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．命题的否定为真命题． (2)该命题的否定：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.命题的否定为真命题． (3)该命题的否定：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.命题的否定为真命题． (11—13每小题5分，共15分) 11．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<1} B．{a|a≤1} C．{a|a>1} D．{a|a≥1} 答案：D 解析：因为p为假命题，所以该命题的否定为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即∀x>0，x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.故选D. 12．(多选)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2<－1” B．命题“∃x∈{x|x>－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>－3}，x2>9” C．“x2>y2”是“x>y”的必要不充分条件 D．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 答案：BD 解析：命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“∃x∈{x|x>－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>－3}，x2>9”，故B正确；x2>y2⇔|x|>|y|，|x|>|y|不能推出x>y，x>y也不能推出|x|>|y|，所以“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔⇔m<0，所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，故D正确．故选BD. 13．下列命题是真命题的是________(填序号)． ①方程3x－y＝5有整数解； ②∃x∈R，x≤0的否定为∀x∈R，x≤0； ③∃x∈N*，使得n能被11整除； ④∀x∈N，x2≥1的否定是∃x∈R，x2<1. 答案：①③ 解析：对于①，在3x－y＝5中，令x＝0，则y＝－5，即3x－y＝5存在整数解x＝0，y＝－5，故①为真命题；对于②，∃x∈R，x≤0的否定为∀x∈R，x>0，故②为假命题；对于③，当n＝11，22，33，…时，n均能被11整除，所以∃n∈N*，使得n能被11整除，故③为真命题；对于④，∀x∈N，x2≥1的否定是∃x∈N，x2<1，故④为假命题． 14．(10分)已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题q的否定为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1. 因为命题p，q同时为真命题，所以 解得m≥3，故实数m的取值范围是{m|m≥3}． 15．(5分)运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌．王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”，如果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙分别获得________牌、________牌、________牌． 答案：铜　金　银 解析：先设王老师猜对的是“甲得金牌”，则“乙不得金牌”是错的，故乙也得金牌，产生矛盾．再设“乙不得金牌”是对的，则“甲得金牌”是错的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得铜牌”是错的，故丙得铜牌，产生矛盾．故猜对的是“丙不得铜牌”，此时甲、乙、丙分别获得铜牌、金牌、银牌． 16．(15分)命题p是“对任意实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数． (1)写出命题p的否定；(5分) (2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？(10分) 解：(1)命题p的否定：对某些实数x，有x－a≤0且x－b>0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集， 通过画数轴，如图，可看出，a，b应满足的条件是b<a. 章末综合提升 学生用书↓第27页 探究点一　集合的基本概念 已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 答案：C 解析：①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个．故选C. 解决集合的概念问题应关注两点 1．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． 2．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．　　 对点练1.已知集合M＝{a，|a|，a－2}．若2∈M，则实数a的值为(　　) A．－2 B．±2 C．2或4 D．±2或4 答案：A 解析：由2∈M得a＝2或|a|＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A. 探究点二　集合间的基本关系 (1)设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________________________________________________________________________． 答案：(1)D　(2){m|m≤4} 解析：(1)易知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，因为∁U(∁UP)＝P，所以存在一个∁UP，则有一个相应的P.由于S＝{－2，1，3}，且(∁UP)⊆S，则集合S的子集∁UP共有8个，所以集合P也有8个． (2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则解得2<m≤4.综上，m的取值范围为{m|m≤4}． 处理集合间关系问题的关键点 1．判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． 2．利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用．　　 对点练2.已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为____________． 答案： 解析：因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅.画数轴如图所示． 由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1，解得a<－2或a≥.由已知a<1，所以a<－2或≤a<1，故a的取值范围是. 探究点三　集合的基本运算 (多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A．A∩B＝ B．A∩(∁RB)＝ C．A∪B＝ D．(∁RA)∪B＝R 答案：AB 解析：因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝，所以A∩B＝，A∩(∁RB)＝，A∪B＝{x|x<2}，(∁RA)∪B＝.故选AB. 集合基本运算的方法 1．定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解． 2．数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解．　　 对点练3.已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R. (1)A∩M＝________； (2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________． 答案：(1){x|－3<x<5}　(2){b|－2≤b<－1} 解析：(1)因为A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，所以A∩M＝{x|－3<x<5}． (2)因为M＝{x|－4≤x<5}，所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R，所以解得－2≤b<－1.所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}． 探究点四　集合中的新定义问题 若集合A具有以下性质： (1)0∈A，1∈A； (2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) 学生用书↓第28页 ①集合B＝{－1，0，1}是“好集”； ②有理数集Q是“好集”； ③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.②③正确，故选C. 解决以集合为背景的新定义问题的两个关键点 1．紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合难点问题的关键所在． 2．用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．　　 对点练4.(多选)当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合相交．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝，若M与N相交，则a的值可能为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：AD 解析：依题意得M＝，显然集合M，N都含有两个元素，由两个集合相交的定义可得集合M，N恰有一个公共元素，则＝或＝1，解得a＝4或a＝1.故选AD. 探究点五　充分条件与必要条件 (1)设a∈R，则“a＝1”是“a2＝a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)由a2＝a得a＝1或a＝0，反之，由a＝1得a2＝a，则“a＝1”是“a2＝a”的充分不必要条件．故选A. (2)因为q是p的充分不必要条件，所以BA，所以或解得a≤－4或－≤a<0，所以实数a的取值范围为. 判定充分条件与必要条件的常用方法 1．利用定义：判断若p，则q的真假． 2．利用集合间的包含关系判断．　　 对点练5.已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|－1<x<m＋1}． (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值． 解：(1)由题意可得AB，所以m＋1>3，即m>2. 所以实数m的取值范围为{m|m>2}． (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件， 所以A＝B. 所以m＋1＝3，即m＝2.即实数m的值为2. 探究点六　全称量词与存在量词 (1)命题“∀m∈R，方程x2＋x－m＝0没有实数根”的否定为(　　) A．∀m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根 B．∃m∈R，方程x2＋x－m＝0没有实数根 C．∃m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根 D．∀m∉R，方程x2＋x－m＝0没有实数根 (2)(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 答案：(1)C　(2)ABD 解析：(1)易知原命题的否定是“∃m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根”．故选C. (2)A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD. 学生用书↓第29页 1．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．对含有量词命题进行否定：一是改写量词，二是对结论进行否定． 2．根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．解题过程中要注意变量取值范围的限制．　　 对点练6.若对∀x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，求实数a的取值范围． 解：设集合A＝{x|－2<x<4}， B＝{x|1－a<x<3a＋1}， 由题意知，A⊆B， 则有解得a≥3. 故实数a的取值范围为{a|a≥3}. (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．{2} 答案：C 解析：法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C. 法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．故选C. (2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C. D．－1 答案：B 解析：因为A⊆B，则a－2＝0或2a－2＝0，即a＝2或1，若a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述， a＝1.故选B. (2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 答案：A 解析：因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. (2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 答案：A 解析：由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M ∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x>－1}，选项B错误；M∩N ＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1，或x≥1}，选项C错误；∁UN＝{x|x≤－1，或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x<1，或x≥2}，选项D错误．故选A. (2022·天津卷)“x为整数”是“2x＋1为整数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由题意得，若x为整数，则2x＋1为整数，因此充分性成立；当x＝时，2x＋1为整数，但x不为整数，因此必要性不成立；所以“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分不必要条件．故选A. (2021·天津卷)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为a>6⇒a2>36，所以“a>6”是“a2>36”的充分条件．因为a2>36⇒a>6或a<－6，所以“a>6”不是“a2>36”的必要条件．故选A. 单元检测卷(一)　集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设集合P，Q都是实数集R的子集，且P∩(∁RQ)＝∅，则P∩Q＝(　　) A．∅ B．R C．Q D．P 答案：D 解析：由P∩(∁RQ)＝∅知P⊆Q，所以P∩Q＝P.故选D. 2．下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2<0 C．∀x∈Q，x2－2≠0 D．∃x∈Q，x2－2＝0 答案：C 解析：当x＝0时，x2＝0，所以选项A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2<0，因此选项B是假命题；由x2－2＝0⇒x＝±，而±是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题．故选C. 3．“2<x<5”是“3<x<4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若3<x<4，则2<x<5成立，即必要性成立，反之，若2<x<5，则3<x<4不一定成立，即充分性不成立，所以“2<x<5”是“3<x<4”的必要不充分条件．故选B. 4．已知集合A＝{x|x2－7x＋10＝0，x∈R}，B＝{x|1<x<6，x∈N}，则满足条件A⊆CB的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：易知A＝{2，5}，B＝{2，3，4，5}，又A⊆CB，所以2∈C，5∈C，且3，4至多有一个元素在C中，则C＝{2，5}或{2，5，3}或{2，5，4}．故选C. 5．已知命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2>0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<2} B．{a|a>－2} C．{a|－2<a<2} D．{a|a<－2} 答案：C 解析：∀x∈R，x2＋ax＋2>0.恒成立，则Δ＝a2－8<0，即－2<a<2.故选C. 6．某中学计划面向高一学生开设“科技与创新”，“人文与阅读”两类选修课，为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生调查发现，喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均不喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有(　　) A．34名 B．22名 C．12名 D．6名 答案：B 解析：设两类均喜欢的有x名，则46－6＝34＋18－x，解得x＝12，故只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有34－12＝22名．故选B. 7．设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　) A．a，b都为1 B．a，b都不为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 答案：C 解析：由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1，故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C. 8．定义集合的商集运算为＝，已知集合S＝{4，6}，T＝，则集合∪T中的元素个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：A 解析：因为T＝＝{1，2}，所以＝{2，3，4，6}，所以∪T＝{1，2，3，4，6}．所以集合∪T中元素的个数为5.故选A. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．下列命题正确的有(　　) A．∃x∈Z，1<4x<3 B．∃x∈Z，2x2－3x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>0 答案：BD 解析：A选项，由1<4x<3，得<x<，所以不存在x∈Z，使1<4x<3，故A错误；B选项，由2x2－3x＋1＝0得x＝或x＝1，1∈Z，故B正确；C选项，由x2－1＝0得x＝±1，所以只有当x＝±1时，x2－1＝0成立，故C错误；D选项，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，故D正确．故选BD. 10．下列说法中正确的是(　　) A．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B．命题p：∀x∈R，x2＞0，则其否定：∃x∈R，x2＜0 C．命题“若a＞b＞0，则＜”的否定是假命题 D．“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件 答案：AC 解析：对于选项A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2＞0的否定：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选AC. 11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则(　　) A．当x＝，y＝时，z＝1 B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)对应4个式子 C．A⊗B中有4个元素 D．A⊗B的真子集有7个 答案：BD 解析：当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，故A错误；x可取，，y可取1，，则z可取(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，选项B正确；A⊗B＝{0，1，2}，共3个元素，选项C错误；A⊗B的真子集有23－1＝7(个)，选项D正确．故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上．) 12．已知集合A＝{x|－4<x≤5}，B＝{x|x≤－1或x>6}，则A∪B＝________． 答案：{x|x≤5，或x>6} 解析：因为集合A＝{x|－4<x≤5}，B＝{x|x≤－1或x>6}，所以A∪B＝{x|x≤5，或x>6}． 13．已知p：x>2，q：x>m，若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是________． 答案：{m|m>2} 解析：由题意，设p对应的集合为P＝{x|x>2}，q对应的集合为Q＝{x|x>m}，则QP，可知m>2. 14．若集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，则a的值为________；若A的真子集的个数是3个，则a的取值范围是________________．(本题第一空2分，第二空3分) 答案：0或　 解析：由集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，易知a＝0或解得a＝0或a＝.若A的真子集个数是3个，则ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以解得a<0或0<a<.故a的取值范围是. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|0<x＋1≤4}，P＝{x|x≤0，或x≥5}．求： (1)A∩B，∁UB；(5分) (2)(A∩B)∪(∁UP)．(8分) 解：(1)因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|0<x＋1≤4}＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0，或x≥5}，将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示： 所以A∩B＝{x|－1<x<2}， ∁UB＝{x|x≤－1或x>3}． (2)(A∩B)∪(∁UP)＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x<5}＝{x|－1<x<5}． 16．(本小题满分15分)已知p：实数x满足集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤－2，或x≥3}． (1)若a＝－2，求A∩B；(5分) (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)因为a＝－2，所以A＝{x|－3≤x≤－1}，又B＝{x|x≤－2，或x≥3}， 所以A∩B＝{x|－3≤x≤－2}． (2)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，当A＝∅时，a－1>a＋1无解，当A≠∅时，得a＋1≤－2或a－1≥3，解得a≤－3或a≥4， 故实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥4}． 17．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|p－2≤x≤3p＋1}． (1)若U＝R，求∁UA；(5分) (2)若命题“∃x∈A，x∈B”为假命题，求实数p的取值范围．(10分) 解：(1)因为A＝{x|－1<x≤2}， 所以∁UA＝{x|x≤－1或x>2}． (2)由命题“∃x∈A，x∈B”为假命题可知，命题“∀x∈A，x∉B”为真命题，所以A∩B＝∅. ①当B＝∅时，p－2>3p＋1， 解得p<－，符合题意； ②当B≠∅时，需满足或解得－≤p≤－或p>4. 综上所述，实数p的取值范围是. 18．(本小题满分17分)在①B⊆(∁RA)，②(∁RA)∪B＝R，③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}，是否存在实数a，使得________？ 若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：选条件①. 由A＝{x|1<x<4}，得∁RA＝{x|x≤1或x≥4}． 当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2，符合题意； 当B≠∅时，由B⊆(∁RA)， 得或解得a≥3. 综上，存在实数a，使得B⊆(∁RA)，且实数a的取值范围为{a|a≤2，或a≥3}． 选条件②. 由A＝{x|1<x<4}，得∁RA＝{x|x≤1，或x≥4}，由(∁RA)∪B＝R， 得无解． 所以不存在实数a，使得(∁RA)∪B＝R. 选条件③. 由A∩B＝B可知B⊆A. 当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2，符合题意； 当B≠∅时，需满足 解得2<a≤. 综上，存在实数a，使得A∩B＝B，且实数a的取值范围为. 19．(本小题满分17分)已知p：x－2>0，q：ax－4>0，其中a∈R. (1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(7分) (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)设命题p：A＝{x|x－2>0}， 即p：A＝{x|x>2}，命题q：B＝{x|ax－4>0}， 因为p是q的充分不必要条件，所以AB， 即解得a>2. 所以实数a的取值范围为{a|a>2}． (2)由题意得BA. ①当a＝0时，B＝∅，满足题意； ②当a>0时，由BA，得>2，即0<a<2； ③当a<0时，显然不满足题意． 综合①②③得，实数a的取值范围为{a|0≤a<2}． 学生用书↓第30页 第二章　一元二次函数、方程和不等式　[教师用书] 2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 [学习目标]　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，培养数学抽象核心素养．　2.初步学会作差法比较两实数的大小，培养逻辑推理核心素养． 知识点一　不等关系与不等式 生活中的不等关系处处存在，我们经常看到下列标志： 问题1.你知道各图标的标志有何作用？其含义是什么？ 提示：其作用及含义分别为： ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m. 问题2.你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①v≥50 km/h；②m≤10 t；③h≤3.5 m. 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ [微提醒]　不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确． (链教材P40练习T1)(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A．80＋20n≥300 B．80＋20n≤300 C．80＋20(n－1)≤300 D．80＋20(n－1)≥300 (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式(组)表示其中的不等关系是____________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)经过n年后，方案B的投入为80＋20(n－1)，则“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80＋20(n－1)≥300.故选D. (2)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18.这时菜园的另一条边长为＝m，因此菜园的面积S＝x，依题意有S≥96，即x≥96.故该题中的不等关系可用不等式组表示为 用不等式(组)表示不等关系的步骤 1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． 2．适当地设未知数表示变量． 3．用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． [提醒]　此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 学生用书↓第31页 对点练1.(1)下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高可表示为“x<y” C．某变量x至少是a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≥a” (2)李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是________． 答案：(1)C　(2)30x＋60≥400 解析：(1)某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x≤2 000”，所以A错误；小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高可表示为“x>y”，所以B错误；某变量x至少是a可表示为“x≥a”，所以C正确；某变量y不超过a可表示为“y≤a”，所以D错误．故选C. (2)由题意知，x个月后所存的钱数为(30x＋60)元，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x＋60≥400. 知识点二　实数大小比较的基本事实 问题3.对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？ 提示：三种关系：a>b；a＝b；a<b. 问题4.给定两个实数(或代数式)a，b，如何比较它们的大小？ 提示：可作差比较．若a－b>0，则a>b； 若a－b＝0，则a＝b；若a－b<0，则a<b. 实数大小比较的基本事实 (链教材P38例1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1. 作差法比较大小的步骤 [提醒]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　 对点练2.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋. 因为≥0， 所以＋≥>0， 所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， 所以2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 知识点三　重要不等式 如图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，将其抽象成如图②的形式．设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)，那么正方形的边长为. 问题5.你能比较大正方形ABCD的面积与四个相同直角三角形面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？ 提示：大正方形的边长为，这四个直角三角形的面积和为2ab，大正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于四个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab. 问题6.正方形ABCD的面积与四个相同直角三角形面积之和能相等吗？如果相等，应满足什么条件？ 提示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab. 学生用书↓第32页 重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 已知a>0，b>0，证明：a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明：a3＋b3－(ab2＋a2b) ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b) ＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)． 因为a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab， 所以a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 1．比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号． 2．a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”．　　 对点练3.已知a>0，求证：a＋≥2. 证明：法一：利用a2＋b2≥2ab.因为a>0， 所以a＋＝()2＋≥2·＝2， 当且仅当a＝1时，等号成立． 法二：因为a＋－2＝()2＋－2 ＝≥0，所以a＋≥2. 不等式关系的实际应用 为纪念建党103周年，某单位组织员工去瞻仰毛泽东纪念馆，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠 . 解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元． 由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx. 因为y1－y2＝x＋nx－nx ＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1<y2； 当n<5时，y1>y2. 所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．　　 对点练4.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元． 答案：20　330 解析：设开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 知识 (1)用不等式(组)表示不等关系．(2)作差法比较大小．(3)重要不等式 方法 作差法、作商法 常见误区 易忽视实际问题中变量隐含的限制条件 1．某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m 答案：A 解析：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m．故选A. 2．已知a1，a2∈{x|0<x<1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M >N C．M＝N D．不确定 答案：B 解析：由题意得0<a1<1，0<a2<1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，故M>N.故选B. 3．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________． 答案：a＝2 解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，所以a＝2. 4．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”) 答案：> 解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0，即a2－ab>ba－b2. 课时测评10　不等关系与不等式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数字关系式可表示为(　　) A．a＋b＋c>130 B．a＋b＋c<130 C．a＋b＋c≥130 D．a＋b＋c≤130 答案：D 解析：根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm可知，a＋b＋c≤130.故选D. 2．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是(　　) A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 答案：C 解析：原不等式可变形为a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，对任意实数都成立．故选C. 3．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 答案：A 解析：因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.故选A. 4．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是(　　) A．M >N B．M ≥N C．M<N D．M≤N 答案：A 解析：因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)·(a－3)＝a2＋a＋1＝＋>0，所以M >N.故选A. 5．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为(　　) A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0” B．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c、b＋c>a且a＋c>b” C．若某天的温度为t，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13 ℃” D．完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20 000元．设木工x人，瓦工y人，则上述问题用数学表达式可表示为“400x＋500y≤20 000” 答案：BCD 解析：对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误；对于B，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以B正确；对于C，最低温度为7℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，所以C正确；对于D，请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元．又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤20 000，所以D正确．故选BCD. 6．(多选)下列不等式，其中恒成立的为(　　) A．a2＋3>2a(a∈R) B．x2＋y2>xy C．a2＋b2>2(a－b－1) D．8xy≤4x2＋8y2 答案：AD 解析：因为a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，所以a2＋3>2a，即A正确；x2＋y2－xy＝＋y2≥0，知B错误；a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，知C错误；4x2＋8y2＝(2x)2＋(2y)2≥2·2x·2y＝8xy，知D正确．故选AD. 7．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是____________． 答案：4.5t<28 000 解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000. 8．已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为________． 答案：P>Q 解析：因为P－Q＝(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.因为a2≥0，所以a2＋2>0，即P－Q>0，所以P>Q. 9．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________________________________________ ______________________________， 当且仅当a＝b＝________时取得最小值． 答案：2　±1 解析：根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立． 10．(10分)有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数． 解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人， 依题意，得 解得<x<. 因为x∈N*，所以x＝10，11或12， 学生人数分别为59，63，67. 故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人． (11—13每小题5分，共15分) 11．已知a1>1，a2>1，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为(　　) A．P>Q B．P<Q C．P＝Q D．不确定 答案：B 解析：P－Q＝－＝－＝＝. 因为a1>1，a2>1，所以a1－1>0，1－a2<0，a1a2>0，所以P－Q＝<0，所以P<Q.故选B. 12．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　) A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 答案：A 解析：根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.故选A. 13．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来：____________． 答案：(a2＋b2)>ab 解析：由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1>S2，即(a2＋b2)>ab. 14．(10分)设a>b>0，试比较与的大小． 解：法一(作差法)：－ ＝ ＝＝， 因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0，a2＋b2>0， 所以>0，所以>. 法二(作商法)：因为a>b>0， 所以>0，>0，2ab>0， 故＝＝＝1＋>1， 所以>. 15．(5分)(新情境)我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　) A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 答案：C 解析：依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)，因为0≤x≤78， 所以⇒⇒≤m≤，根据选项m＝8，x＝30， 所以买大竹子30根，每根8钱．故选C. 16．(15分)有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售．现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾．某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？ 解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元，z元． 依题意，有y＝ z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)． 若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)． 当1≤x≤5，x∈Z时，6－x>0， 所以y－z>0，即y>z. 当x＝6时，y－z＝0，即y＝z. 当7≤x≤10，x∈Z时，6－x<0， 所以y－z<0，即y<z. 若x>10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x. 因为－16x<0，所以y<z. 综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算． 学生用书↓第33页 第2课时　等式性质与不等式性质 [学习目标]　理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用，培养逻辑推理核心素养． 知识点　不等式的性质 问题1.如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？ 提示：甲比丙高．如果a>b，b>c，那么a>c. 问题2.如果某月某公司员工甲比乙的薪水高，公司又给他们发了相同数额的奖金，那么这个月甲和乙谁的收入更高？扣除了相同数额的保险费用后呢？你能提炼出什么不等关系？ 提示：甲比乙的收入高，扣除相同数额的保险费用后仍然是甲比乙的收入高．若a>b，则a－c>b－c. 问题3.若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多．这里反映出的不等关系如何用符号语言表述？ 提示：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d. 不等式的基本性质 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 5 同向 可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N，n≥2) 同正 [微提醒]　(1)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．(2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．(3)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(4)性质7的拓展：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． (链教材P42练习T2)(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．0>a>b⇒a2>b2 B．a2>b2⇒a>b>0 C．若a<b<0，则a2>ab>b2 D．若a>b，>，则a>0，b<0 答案：CD 解析：对于A，由0>a>b可知，0<－a<－b，则由性质7可知，(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故A为假命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得a2>ab.因为所以ab>b2，从而有a2>ab>b2.故C为真命题；对于D，由>，可知－＝>0.因为a>b，所以b－a<0，于是ab<0.又因为a>b，所以a>0，b<0.故D为真命题．故选CD. 利用不等式的性质判断命题真假的2种方法 1．直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可． 2．特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．　　 对点练1.(1)下列命题中，正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a<b C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若<，则a<b (2)(多选)已知<<0，则下列结论正确的是(　　) A．a<b B．ab>a＋b C．|a|<|b| D．ab>b2 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)选项A中，当a>b>0，c>d>0时，ac>bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c<0时，ac>bc可推出a<b.当c>0时，ac>bc可推出a>b，故B不正确；选项C中，由a>b，c>d，令a＝c＝1，b＝0，d＝－1，得a－c<b－d，故C不正确；选项D中，式子<成立，显然c≠0，所以c2>0，根据不等式的性质，不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a<b，故D正确．故选D. (2)由<<0可得b<a<0，显然A不正确；因为b<a<0，所以ab>0，a＋b<0，所以ab>a＋b，故B正确；因为b<a<0，所以|b|>|a|，故C正确；因为b<a<0，所以b<0，a－b>0，可得ab－b2＝b(a－b)<0，ab<b2，故D不正确．故选BC. 学生用书↓第34页 应用一　利用不等式的性质证明不等式 已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0. 又因为a>b>0，所以a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即a－c>b－d>0，所以0<<. 又因为e<0，所以>. 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 1．利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． 2．应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．　　 对点练2.已知a>b>0，求证：>. 证明：因为a>b>0，所以>>0.① 又由a>b>0，两边同乘正数，得>>0.② 由①②得>. 应用二　利用不等式的性质求代数式的取值范围 已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 解：(1)因为－1<x<4，2<y<3， 所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2， 所以x－y的取值范围是－4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18， 所以3x＋2y的取值范围是1<3x＋2y<18. [变式探究]　(变条件)若将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围． 解：因为－1<x<3，－1<y<3， 所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4. 又因为x<y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0， 所以x－y的取值范围是－4<x－y<0. 利用不等式的性质求取值范围的策略 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2．同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．　　 对点练3.已知1<a<4，2<b<8，求的取值范围． 解：因为2<b<8，所以<<. 又1<a<4， 所以1×<a×<4×， 即<<2. 所以的取值范围是<<2. 知识 (1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用 方法 作差比较法、赋值法、不等式性质法 常见误区 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性 学生用书↓第35页 1．与a>b等价的不等式是(　　) A．|a|>|b| B．a2>b2 C．>1 D．a3>b3 答案：D 解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1，故A，B，C都不正确．故选D. 2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B．>⇒a>b C.⇒> D．a>b>0⇒> 答案：C 解析：当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；ab<0，a>b⇒<，即>，C成立；当a>b>0时，<，D不成立．故选C. 3．已知a<b<|a|，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．|b|<－a B．ab>0 C．ab<0 D．|a|<|b| 答案：A 解析：由a<b<|a|，知a<0，所以|a|＝－a，所以a<b<－a.所以|b|<|a|＝－a，故A正确，D错误．b的符号不确定，故B，C错误．故选A. 4．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围是________． 答案：－2<α－β<0 解析：由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.所以－2<α－β<2，又α<β，所以α－β<0，所以－2<α－β<0. 课时测评11　等式性质与不等式性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A．< B．< C．a2<b2 D．|a|>|b| 答案：A 解析：因为a<0，b>0，所以<0，>0，所以<.故选A. 2．设a<b<0，则下列不等式中不一定成立的是(　　) A．> B．ac<bc C．|a|>－b D．> 答案：B 解析：对于A，因为a<b<0，所以>0，将a<b两边同乘，则>，故选项A中不等式一定成立；对于B，只有当c>0时，选项B中不等式成立，其余情况不成立，则选项B中不等式不一定成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C中不等式一定成立；对于D，由－a>－b>0，可得>，则选项D中不等式一定成立．故选B. 3．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 答案：D 解析：取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，a＋b＝－1<0.故A、B、C错误，D正确．故选D. 4．若a，b，m都是正数，则不等式>成立的条件是(　　) A．a>b B．b>a C．a>m D．m>b 答案：B 解析：>⇒－>0⇒－＝>0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a>0，即b>a.故选B. 5．(多选)若a>b>0>c>d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．> B．> C．a－d>b－c D．ac>bd 答案：BC 解析：d<c<0⇒<<0，故A错误；>，故B正确；－d>－c>0，a>b，所以a－d>b－c，故C正确；取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，ac＝bd，故D错误．故选BC. 6．(多选)若x>1>y，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x－1>1－y B．x－1>y－1 C．x－y>1－y D．1－x>y－x 答案：BCD 解析：对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y>0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1>0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y>0，故选项D中不等式成立．故选BCD. 7．不等式a>b和>同时成立的条件是________． 答案：a>0>b 解析：若a，b同号，则a>b⇒<，所以a，b异号，即a>0>b. 8．设x>1，－1<y<0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：____________． 答案：y<－y<x 解析：因为－1<y<0，所以0<－y<1， 所以y<－y，又x>1，所以y<－y<x. 9．(新设问)能够说明“设a，b是任意非零实数，若>1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________． 答案：－1，－2(答案不唯一) 解析：要使“设a，b是任意非零实数，若>1，则b>a”是假命题，只需满足b<a<0即可，可取a＝－1，b＝－2.(答案不唯一．) 10．(10分)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. 证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc. 因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1， 所以≤. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　) A．如果a>b，那么> B．如果ac<bc，那么a<b C．如果a>b，那么< D．如果a>b，那么> 答案：D 解析：利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A、B、C中的前提条件．对于选项A，有<，故A是假命题；对于选项B，有a>b，故B是假命题；对于选项C，有>，故C是假命题；对于选项D，因为c≠0，所以>0，由不等式的性质4知，D是真命题．故选D. 12．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a>b>0，则ac2≥bc2 B．若a>b>0，则a2>ab>b2 C．若a>b>0且c>0，则> D．若a>b且>，则ab<0 答案：ABD 解析：对于A，若a>b>0，则ac2－bc2＝c2(a－b)≥0，即ac2≥bc2，故A正确；对于B，若a>b>0，则a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，若a>b>0且c>0，则－＝＝<0，所以<，故C错误；对于D，若a>b且>，则b－a<0，－＝>0，所以ab<0，故D正确．故选ABD. 13．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题． 答案：3 解析：由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以②③⇒①，①②⇒③，③①⇒②.所以可以组成3个正确命题． 14．(10分)已知：3<a＋b<4，0<b<1，求下列各式的取值范围． (1)a；(3分)(2)a－b；(3分)(3).(4分) 解：(1)因为3<a＋b<4，0<b<1， 所以－1<－b<0， 所以2<a＋b＋(－b)<4，即2<a<4. (2)因为0<b<1，所以－1<－b<0. 又因为2<a<4，所以1<a－b<4. (3)因为0<b<1，所以>1， 又因为2<a<4，所以>2. 15．(5分)(新角度)有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 答案：A 解析：因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.所以b<d.又a＋c<b，所以a<b.综上可得，d>b>a>c.故选A. 16．(15分)(新定义)对于四个正数m，n，p，q，若满足mq<np，则称有序数对(m，n)是(p，q)的“下位序列”． (1)对于2，3，7，11，有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”吗？请简单说明理由；(5分) (2)设a，b，c，d均为正数，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系．(10分) 解：(1)有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”． 因为3×7<11×2， 所以(3，11)是(2，7)的“下位序列”． (2)因为(a，b)是(c，d)的“下位序列”，所以ad<bc， 因为a，b，c，d均为正数， 所以－＝>0，即－>0，所以>， 又－＝<0，所以<. 综上所述，<<. 2．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [学习目标]　1.理解基本不等式≤(a>0，b>0)．　2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，培养数学抽象和数学运算核心素养． 知识点一　基本不等式 问题1.在a>0，b>0的条件下，把a2＋b2≥2ab中a，b分别由，代换，可得到一个什么样的不等式？ 提示：可得a＋b≥2，即≤. 问题2.你在问题1中所得不等式中的“a>0，b>0”是否可以去掉？不等式中“＝”成立的条件是什么？ 提示：不能；“＝”成立的条件是a＝b. 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [微思考]“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b⇒＝；另一方面是仅当a＝b时取等号，即＝⇒a＝b. [微提醒]　基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2.(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)． (1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b (2)若实数a，b满足0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A． B．a2＋b2 C．2ab D．a 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)法一：因为0<a<b，所以a<<b，排除A、C两项． 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项．故选B. 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a<<<b.故选B. (2)由题设知0<a<b，且a＋b＝1， 所以0<a<，<b<1，排除D. 又>＝，故a2＋b2>，知排除A. 由a2＋b2>2ab，所以a2＋b2最大． 学生用书↓第36页 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立．　　 对点练1.(多选)若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　) A．> B．< C．> D．> 答案：ABD 解析：由a>b>0，得<，即>，所以<1，即<，故选项A、B、D均成立． 知识点二　基本不等式与最值 问题3.已知x>0，求x＋的最小值．本题中求最小值的“代数式”有什么特点？是否可以利用基本不等式求x＋的最小值，是否必须说明“当且仅当x＝时，等号成立”？ 提示：代数式是“x与和”的形式，且x·＝1(定值)，x＋≥2 ＝2. 必须说明等号成立，这才表明“2”是“x＋”的一个取值． 问题4.你能尝试说明满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？ 提示：关键看代数式是否具备：(1)转化为两个正数的和或积的形式；(2)和或积是否是一个定值；(3)不等式中的等号是否能取到． 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 简记为：积定和最小，和定积最大． [微提醒]　利用基本不等式求最值的三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (链教材P45例1、例2)(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解：(1)因为x>0，所以>0，4x>0， 所以＋4x≥2 ＝8， 当且仅当＝4x，即x＝时，取等号， 所以当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)因为x<0，所以－x>0， 则＋(－4x)≥2 ＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号， 所以＋4x≤－8. 所以当x<0时，＋4x的最大值为－8. (3)因为x>0，a>0，所以4x>0，>0， 4x＋≥2 ＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， 所以a＝36. 利用基本不等式求最值时要注意三点 1．各项均为正． 2．寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)． 3．考虑等号成立的条件是否具备．　　 对点练2.(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 (2)已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.故选C. (2)由题意知1－2x>0，则y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．所以y的最大值为. 学生用书↓第37页 变形应用基本不等式求最值 方法 一　配凑法求最值 (1)已知x>3，求y＝2x＋的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． 解：(1)因为x>3，所以2x－6>0， 所以y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号． 所以y＝2x＋的最小值是10. (2)因为0<x<，所以1－3x>0， 所以y＝×3x(1－3x)≤×＝×＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． 所以y＝x(1－3x)的最大值为. 配凑法的应用技巧 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．　　 对点练3.若0<x<4，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 答案：8 解析：因为0<x<4，所以8－2x>0，所以y＝x(8－2x)＝·2x(8－2x)≤·＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号．所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 方法二　拆裂项求最值 若x>1，求函数y＝的最小值． 解：因为x>1，即x－1>0，所以y＝＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，所以y＝的最小值为4. 拆项与裂项的应用技巧 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值．　　 对点练4.已知t>0，则y＝的最小值为________________________________________ ________________________________． 答案：－2 解析：依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时须t＝，即t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2. 方法三　常数代换法求最值 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解：因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋. 因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6， 当且仅当＝，即y＝3x时，取等号． 因为＋＝1， 所以当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 常数代换法的应用技巧 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．　　 对点练5.正实数x，y满足xy＝4x＋y，则x＋y的最小值为________． 答案：9 解析：由已知可得＝＋＝1，且x，y为正实数，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当y＝2x，即x＝3，y＝6时，等号成立，因此x＋y的最小值为9. 知识 (1)基本不等式的推导与证明．(2)求简单代数式的最值．(3)最值定理 方法 配凑法、折裂项法、常数代换法 常见误区 利用基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”缺一不可 学生用书↓第38页 1．(多选)下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) 答案：BC 解析：对于A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；对于B，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以B一定成立；对于C，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；对于D，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．故选BC. 2．已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B. 3．若a，b都是正数，则的最小值为________． 答案：9 解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号． 4．函数f(x)＝x＋(x>1)的最小值为________． 答案：3 解析：因为x>1，所以x－1>0，由基本不等式可得f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取得最小值3. 课时测评12　基本不等式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 答案：D 解析：若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确．故选D. 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝40，则xy的最大值是(　　) A．200 B．300 C．400 D．600 答案：C 解析：因为≤(x>0，y>0)，所以xy≤＝＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立．故选C. 3．3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 答案：D 解析：3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立．故选D. 4．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案：B 解析：(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.故选B. 5．(多选)下列说法中，正确的为(　　) A．因为a，b为正实数，所以＋≥2 ＝2 B．因为x∈R＋，所以>1 C．因为a<0，所以＋a≥2 ＝4 D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2 答案：AD 解析：对于A，因为a，b为正实数，所以>0，>0，故＋≥2 ＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选项A正确．对于B，因为x∈R＋，x2>0，所以x2＋1>1，则0<<1，故选项B错误．对于C，当a<0时，＋a<0，故选项C错误．对于D，因为xy<0，所以－>0，－>0，所以＋＝－≤－2 ＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时取等号，D正确．故选AD. 6．(多选)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的有(　　) A．ab≤1 B．＋≤ C．a2＋b2≥2 D．＋≥2 答案：ACD 解析：因为ab≤＝1，所以A正确．因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，所以B不正确．a2＋b2≥＝2，所以C正确.＋＝＝≥2，所以D正确．故选ACD. 7．已知m，n>0，且m＋n＝16，则mn的最大值为________． 答案：32 解析：因为m，n>0，且m＋n＝16，所以mn≤＝＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.所以mn的最大值为32. 8．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________． 答案：x<y 解析：x2＝，y2＝a＋b＝.因为a＋b>2(a≠b)，所以x2<y2，因为x，y>0，所以x<y. 9．若0<x<1，则 的最大值为________． 答案： 解析：由0<x<1知3－2x>0，故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，等号成立．所以的最大值为. 10．(10分)(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值；(4分) (2)已知x<，求y＝2x－1＋的最大值．(6分) 解：(1)因为x>0，所以x＋≥2＝4， 所以y＝2－≤2－4＝－2. 当且仅当x＝(x>0)，即x＝2时取等号，所以ymax＝－2. (2)因为x<，所以2x－5<0， 所以y＝2x－1＋＝2x－5＋＋4＝－＋4≤－2＋4＝2， 当且仅当5－2x＝，即x＝2时等号成立． 所以y＝2x－1＋的最大值为2. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为(　　) A．16 B．9 C．4 D．36 答案：B 解析：(1＋x)(1＋2y)≤＝＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，故所求最大值为9.故选B. 12．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．＋的最小值为4 B．的最小值为 C．＋的最大值为 D．a2＋b2的最大值为 答案：AC 解析：对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0<≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，所以0<＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D错误．故选AC. 13．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为________． 答案：4 解析：实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立． 14．(10分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(4分) (2)x＋y的最小值．(6分) 解：(1)由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1，又x>0，y>0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 15．(5分)已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为________． 答案：2 解析：因为x，y为正实数，3x＋2y＝10，所以W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立，所以W≤2，即W的最大值为2. 16．(15分)(开放题)是否存在正实数a和b，同时满足下列条件： ①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． 解：因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18. 由得或 故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件． 第2课时　基本不等式的应用 [学习目标]　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用．　2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．　3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题，培养数学建模核心素养． 题型一　应用基本不等式证明不等式 已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证： ≥8. 证明：　因为a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． [变式探究](变设问)保持本例条件不变，试证明：＋＋≥9. 证明：＋＋ ＝＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 利用基本不等式证明不等式的关键点及注意事项 1．借助基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必有“和式”或“积式”，然后利用不等式的性质与基本不等式进行转化，达到放缩的效果． 2．注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立．(2)巧用“1”的代换证明不等式．(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创造使用基本不等式的条件再使用．　　 对点练1.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. 证明：因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0， 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以等号不能取得， 故a＋b＋c>＋＋. 题型二　基本不等式的实际应用 (链教材P47例4)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 法一：由题意可知xy＝16， 由≥ ，可知x＋y≥2＝8， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 法二：由题意可知xy＝16，故y＝， 所以2(x＋y)＝2≥2×2 ＝16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 学生用书↓第39页 [变式探究]　(变条件，变设问)如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解：由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy，由≤＝＝3，可得xy≤9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立． 因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 利用基本不等式解决实际问题的步骤 第一步：理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； 第二步：构造定值．利用基本不等式求最值； 第三步：检验．检验等号成立的条件是否满足题意； 第四步：得出结论．　　 对点练2.某工厂拟建一个平面图为矩形、占地面积为200平方米、高度为1米的三段污水处理池(如图)，由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知池的外壁的建造费为400元/平方米，池中两道隔墙(与宽边平行)的建造费为248元/平方米，池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为x米，总造价为y元． (1)求y的表达式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？求出这个最低总造价． 解：(1)因为污水处理池的长为x米，所以宽为米． 由题意可得解得≤x≤18. y＝400×1＋248×2××1＋80×200＝800＋16 000. (2)由(1)得y＝800＋16 000≥1 600×＋16 000＝44 800， 当且仅当x＝，即x＝18时，取等号，此时＝，经验证符合实际． 因此，当污水处理池长18米，宽米时，其总造价最低，最低总造价为44 800元． 题型三　基本不等式在几何中的应用 (链教材P49T8)如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值． 解：(1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24， 因为AB＝x，所以AD＝－x＝12－x， 因为AB>BC＝AD，得x>12－x，所以6<x<12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′， 所以AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，所以DP＝12－(6<x<12)． (2)在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6<x<12)． 因为6<x<12，所以6x＋≥2 ＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立． 所以S△ADP＝108－≤108－72， 所以当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．　　 对点练3.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝________时，矩形花坛AMPN的面积最小． 答案：4米 解析：设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM得＝，解得ND＝，所以矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2 ＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．所以当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小． 知识 (1)基本不等式在生活中的应用．(2)基本不等式在几何中的应用 方法 配凑法 常见误区 生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围 学生用书↓第40页 1．∃x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a≥2 C．a<2 D．a≤2 答案：B 解析：∃x>0，使得＋x－a≤0，等价于x>0时a≥，因为x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.故选B. 2．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 答案：C 解析：设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C. 3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 答案：B 解析：由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，因为(1＋a)(1＋b)≤，所以1＋x≤＝1＋，所以x≤，当且仅当a＝b时取等号．故选B. 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为________． 答案：400解析：由题意设矩形花园的长为x(x>0)，宽为y(y>0)，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以＝，又因为AG＝BC＝40， 所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 课时测评13　基本不等式的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　) A．最小长度为8 B．最小长度为4 C．最大长度为8 D．最大长度为4 答案：B 解析：设BC＝a，CD＝b，因为矩形的面积为4，所以ab＝4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋≥2 ＝4，当且仅当2a＝，即a＝时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4.故选B. 2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案合适 B．采用第二种方案合适 C．两种方案一样 D．无法确定 答案：B 解析：假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.所以无论油价如何变化，第二种方案都更合适．故选B. 3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 答案：C 解析：设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号)，故该容器的最低总造价是160元．故选C. 4．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m 答案：C 解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)，当且仅当a＝b＝2时等号成立．故C既够用，浪费也最少．故选C. 5．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则下列结论正确的是(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 答案：AD 解析：设甲、乙两地之间的距离为s.因为a<b，所以v＝＝<＝.又v－a＝－a＝＝>0，所以v>a，所以a<v<，故选AD. 6．(多选)某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是(　　) A．车辆运营年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 答案：BC 解析：由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．故选BC. 7．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 答案：32 解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 8．为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：min)的变化关系为C＝，则经过________min后室内消毒液浓度达到最大． 答案：5 解析：由题意可得t>0，C＝＝≤＝2，当且仅当t＝，即t＝5时取等号． 9．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2. 答案：56 解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2 ＝56(dm2)，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立．即四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 10．(10分)已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋＋－3. 因为a，b，c为正数， 所以＋≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)； ＋≥2(当且仅当a＝c时，等号成立)； ＋≥2(当且仅当b＝c时，等号成立)． 从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)． 所以＋＋－3≥3，即＋＋≥3. (11—13每小题5分，共15分) 11．设x>0，y>0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是(　　) A． B． C．2 D．2 答案：B 解析：由≥，得＋≤2＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以a≥.故选B. 12．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________． 答案： 解析：设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC＝1，S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号． 13．(新情境)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为________． 答案：3 解析：由题意知，p＝7，S＝＝≤·＝3，当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，因此三角形面积的最大值为3. 14．(10分)为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米)． (1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；(4分) (2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值．(6分) 解：(1)因为AB＝x，所以AD＝， EF＝x－2，FG＝－1， 所以S＝(x－2)＝102－－x. 因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20， 所以S＝102－－x，5≤x≤20. (2)S＝102－－x≤102－2 ＝102－20，当且仅当x＝10时，等号成立，经验证，符合题意， 即当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为(102－20)平方米． 15．(5分)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是(　　) A．大于10 g B．大$$