1.1 第1课时 集合的概念-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　集合的概念 　 第一章　1.1　集合的概念 学习目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，培养数学抽象核心素养．　 2.利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断 元素与集合的关系，培养逻辑推理核心素养．　 3.识记常见数集的表示符号． 知识点一　元素与集合 1 知识点二　集合中元素的特征 2 知识点三　元素与集合的关系 3 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点一　元素与集合 返回 看下面的几个例子： (1)平面内到定点O的距离等于2的所有的点； (2)方程x2－1＝0的所有实数根； (3)1～10之间的所有偶数； (4)2023年杭州第19届亚运会上中国运动员金牌获得者； (5)地球上的四大洋． 问题导思 问题1.以上各语句中所研究的对象分别是什么？ 提示：以上各语句中所研究的对象分别为平面内到定点O的距离等于2的所有的点的轨迹为圆、±1、2，4，6，8，10、2023年杭州第19届亚运会上中国运动员金牌获得者、太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋． 问题2.以上各语句中的研究对象确定吗？研究的对象有相同的吗？ 提示：研究对象确定．研究的对象没有相同的． 新知构建 1．元素 研究对象 2．集合 总体 (1)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义． (2)集合中的元素可以为数、点、图形、人或物等． (3)组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个，含有有限个元素的集合为有限集，含有无限个元素的集合为无限集． 微提醒 (多选)下列各项能组成集合的是 A．抛物线y＝x2＋1上的所有点 B．某个班级中体育好的所有同学 C．2024年新高考数学Ⅰ卷中的所有难题 D．某实验室的全体工作人员 例1 A、D中的元素都是确定的，能组成集合．B、C中的“体育好”“难题”的标准都不明确，不能组成集合．故选AD. √ √ 规律方法 判断一组对象能构成集合的条件 1．能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． 2．任何两个对象都是不同的． 3．对元素出现的顺序没有要求．　　 对点练1.下列元素的全体不能组成集合的是 A．2023年篮球世界杯参赛队伍 B．中国文学四大名著 C．学校里性格开朗的学生 D．我国的直辖市 选项C中“性格开朗”的标准不好确定，不能组成集合．故选C. √ 返回 知识点二　集合中元素的特征 返回 问题3.单词“notebook”中的字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，该集合中有几个元素？ 提示：能组成一个集合．集合中的元素有6个． 问题4.分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？ 提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序． 问题导思 新知构建 1．集合中元素的特征：________、互异性与________． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是_______，则称两个集合相等． 确定性 无序性 一样的 (1)已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 例2 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两互不相等，故选D. √ (2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与集合Q是相等的，则a＝________． ±2 由题意得a2＝4，a＝±2. 变式探究　(变条件、变设问)若将本例(2)条件改为“若集合Q中含有两个元素1和a2”，则a的取值范围为________． a≠±1 由集合中的元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1. 规律方法 判断两个集合相等的注意点 若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．　 　 对点练2. 设a，b是两个实数，集合A中含有0，b， 三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝___． 1 由题意知a＋b＝0，所以 ＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1. 返回 知识点三　元素与集合的关系 返回 李明是高一(1)班的一位同学，刘多多是高一(2)班的一位同学． 问题5.这两名同学与高一(1)班这个班集体之间分别有什么关系？ 提示：因为李明是高一(1)班的同学，所以他属于高一(1)班这个班集体；刘多多是高一(2)班的同学，所以他不属于高一(1)班这个班集体． 问题6.该校的任意一位同学与这个班集体的关系是否明确？ 提示：任意一位同学，要么属于这个班集体，要么不属于这个班集体，他们的关系是明确的． 问题导思 新知构建 1．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A _______ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A _______ a不属于集合A a∈A a∉A 微思考 如果平面直角坐标系内所有的点组成的集合为A，那么2∈A，(1，2)∈A都成立吗？ 提示：不都成立．构成集合A的元素是点，不是数，故2∉A，(1，2)∈A. 2．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 微提醒 集合N与N*或N＋有什么区别？ 提示：集合N中的元素是0和正整数，集合N*或N＋中的元素是正整数． 微思考 (1)(多选)下列所给关系正确的是 A．π2∈R B． ∉Q C．0∈N* D．|－3|∉N* 例3 0∉N*，|－3|∈N*.故选AB. √ √ (2)设不等式3－2x<0的解集为M，下列判断正确的是 A．0∈M，2∈M B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M 当x＝0时，3－2x＝3>0，0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，2∈M. 故选B. √ 规律方法 判断元素和集合之间关系的方法 1．直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可． 2．推理法：首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．　　 对点练3.用符号“∈”或“∉”填空： (1)设集合B是小于 的所有实数组成的集合，则2 __B，1＋ ___B； ∉ ∈ (2)设集合D是由满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1___D，(－1，1)____D. ∉ ∈ 因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1不是有序实数对，所以－1∉D.因为(－1)2＝1，所以(－1，1)是满足方程y＝x2的有序实数对，所以(－1，1)∈D. 对点练4.已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围是________． a>－4 因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4. 返回 综合应用 返回 集合中元素特征的应用 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为_____． 例4 －1 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素1，所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1. 变式探究　1.(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为集合A中含有两个元素a和a2， 所以a≠a2，即a≠0且a≠1. 2．(变条件)若将本例条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． 解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝ 或a＝－ .经检验符合元素的互异性． 规律方法 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 对点练5.已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值 为________． － 或1 因为集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1，且0∈P，所以2a＋1＝0或a2 －1＝0，解得a＝－ 或a＝±1.当a＝－ 时，a2－1＝－ ，符合题意； 当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足集 合中元素的互异性，舍去．综上，实数a的值为－ 或1. 返回 课堂小结 知识归纳 (1)元素与集合的概念．(2)集合中元素的特征．(3)元素与集合的关系． (4)常用数集的记法 方法技巧 直接法、推理法、分类讨论 常见误区 自然数集N中易遗忘元素0 随堂演练 返回 A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 024，1)与(1，2 024)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．故选BC. √ 1．(多选)下列各组对象能构成集合的有 A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．(2 024，1)与(1，2 024) D．未来世界的高科技产品 √ 对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B， 是不可约分数， 即有 ∉N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错误； 对于D，π是无理数，即有π∉Q，故D错误． √ 2．下列表示正确的是 A．0∈N B． ∈N C．－3∉Z D．π∈Q 3．方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素． √ 返回 4．已知集合A中的元素为1，x，y，集合B中的元素为1，x2，2y，若集合A 与集合B相等，则x－y＝______． 课时测评 返回 √ 1．下列说法不正确的是 A．我国近代著名的数学家不能构成一个集合 B．(2 024，2 025)和(2 025，2 024)可以构成一个集合 C．由1，2，3，4，5和5，4，3，2，1分别组成的集合是相等的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 “著名”的标准不确定，故不能构成集合，A中说法正确；(2 024， 2 025)和(2 025，2 024)表示两点，且其坐标不一样，能构成一个集合，B中说法正确；元素1，2，3，4，5和5，4，3，2，1相同，故它们组成的集合相等，C中说法正确；1，0.5， ，中含有相同的 数，不符合集合中元素的互异性，D中说法错误．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是 A．P是由元素1， ，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－ |构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．已知集合A中的元素x满足x－1< ，则下列各式正确的是 A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈A C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A 因为3－1＝2> ，所以3∉A.又－3－1＝－4< ，所以－3∈A.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故－1∈M.故选C. √ 4．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是 A．1∈M B．0∈M C．－1∈M D．－2∈M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，所以a的取值不可能是1，2与－2.故选ABD. √ 5．(多选)由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是 A．1 B．－2 C．－1 D．2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6．(多选)下列说法正确的是 A．N*中最小的数是1 B．若－a∉N*，则a∈N* C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对于B，若a＝ ，则满足 －a∉N*，但a∉N*，故B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以解集中只有1个元素，故D错误．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．若x∈N，且 ∈N，则x＝___． 1 因为x∈N，且 ∈N，则x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．下列说法中，不正确的有________．(填序号) ①单词Chinese的所有字母组成的集合的元素共有7个； ②由－1，0，1， ，3，－3组成的集合中有8个元素； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合． ①②③ ①不正确，Chinese的字母e有重复，共有6个不同字母，元素个数是6； ②不正确， ＝3，由集合中元素的互异性，知这个集合中有6 个元素；③不正确，小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．若由a， ，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 024 ＋b2 024的值为____． 1 由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以 ＝0，所以b＝0，所 以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1.所以a2 024＋b2 024＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合． (1)0是否是集合A中的元素？(4分) 解：将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的 元素． (2)若－5∈A，求实数a的值．(6分) 解：若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，解得a＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11．由实数x，－x，|x|， 所组成的集合，其元素的个数最多为 A．2 B．3 C．4 D．5 有2个元素．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是 A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知集合A中元素满足2x－a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为________． 2≤a<4 因为1∉A，2∈A，所以 即2≤a<4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)(开放题)集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值；若不能，则说明理由． 解：因为9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0， －4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9， －2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 或“∉”) ∈ ∉ ∈ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)设A是实数集，满足若a∈A，则 ∈A，a≠1，且1∉A. (1)若2∈A，则集合A中至少还有几个元素？求出这几个元素．(5分) 返回 因此A中至少还有两个元素－1和 . (2)集合A中能否只含有一个元素？请说明理由．(10分) 解：不能．如果集合A中只含有一个元素，则a＝ ，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解， 故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 ，，， ，， ＝， ，－ 15．(5分)集合A中的元素x满足x＝m＋n(m，n∈Z)．x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系分别为x1____A，x2___A，x3__A(填“∈” $$