湖南省部分学校2025届高三一轮复习中期联考数学试题

( 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高三年级一轮复习中期质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：解答题按高考范围，其他题侧重考查集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（ ） A.3.5小时 B.246分钟 C.4小时 D.250分钟 4.在梯形中，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 5.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6.已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7.若，，则的最小值为（ ） A. B.0 C. D. 8.若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若与分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 10.如图，在中，，，点，分别边，上，点，均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（ ） A.内切圆的半径为 B. C.先增后减 D.的最大值为 11.已知向量，，满足，，，，则（ ） A. B.的最大值为 C.的最小值为 D.的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.________. 13.将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则________. 14.已知函数，，若与的零点构成的集合的元素个数为3，则的取值范围是________. ( 学校：_____________________ 班级：_____________________ 姓名：_____________________ 考号：_____________________ 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高三数学 第 1 页 共 4 页 高三数学 第 2 页 共 4 页 高三数学 第 3 页 共 6 页 高三数学 第 4 页 共 6 页 高三数学 第 1 页 共 10 页 高三数学 第 2 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7. （1）若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； （2）若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率. 16.（15分） 设数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17.（15分） 如图，在体积为的三棱柱中，平面平面，，。 （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18.（17分） 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中，均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）判断曲线为何种圆锥曲线. （2）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. （3）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于，两个不同的点.若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 19.（17分） 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点. （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一. （2）对任意，，函数，都满足. ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点. ②若，证明：当时，. 参考数据：，. 高三数学 第 3 页 共 4 页 高三数学 第 4 页 共 4 页 高三数学 第 1 页 共 10 页 高三数学 第 2 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$高三年级一轮复习中期质量检测 数学参考答案 1.C因为A={xlx2-4≤0}=[-2,2]，B={x1-x>0}=(-o∞，1)，所以A∩B=[-2,1). 2.B若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必不属于六畜；若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一 定不是马.故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件 3.C依题意可得，小张从11月1日开始，第1天、第2天、…、第15天的运动时长依次成等 差数列，且首项为2，公差为2，所以从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为15×2十 15×14×2=240分钟=4小时. 2 A因为成-市.所以AD/C,且E-设-号所以前-君励-君-) 号A市-若A成. 5.A依题意可得fx)=cos(分+g).因为y=了x)的图象关于点(-.0)对称，所以2 ×(-）)十g=受+xk∈D,即9=+kxk∈D,所以g的最小值为弩-2a=子 D因为+】 -1.所以16r2+9y2=(3+)16x2+9y)=25+y+16 ≥25+ /9y216.x2 -0当且仅当学-1g即-子y-号时等号成立放1-16-9y 的最大值为1一49=一48. 7.Ay3十x2-2xy=y3-y2+x2-2xy+y2=y3-y2+(x-y)2≥y3-y2,当且仅当x=y 时，等号成立.设f(x)=x2-x2(x>0),则f'(x)=3x2-2x=x(3x-2),当0<r<3时， 了)<0，当x>号时c)>0,所以f)m-f(号)-高当且仅当y-号时y 十一2取得最小值，且最小值为易 &,B因为sna-cosa=an&-1 2tan 3a-tan 6a,Hsin a cos a sin gfcos a tan g1=tan (a),1tan3 sina十cosa 所以。一子=6a十kx∈刀，所以a=一无-悟(k∈Z.所以e的值可以为 1-tan 3a 20 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 9.AC因为f(x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，所以f(一x)=f(x),g(一x) =一g(x),所以h(一x)=f(一x)g(一x)=一h(x),则h(x)为奇函数，其图象关于原点对 称，故选AC 10.ACD取BC的中点N,连接AN,则AN⊥BC,且AN=v3-1= 2V2,所以△ABC的面积为2×2×22=2,2，则△ABC的内切圆的 2×22_√2 半径为3十2一之，A正确，过C作CH⊥AB,垂足为H,设CH与 心G交于友.由等面积法可得宁B·H=2.期CH-号8器沿得CM CM DG CH:DG_42r,则MH=CH-CM=4y2_4E,所以S(x)=DG·DE=DG·MH AB 3 9 -4x-)-4(x-)》+0<<3).则51=8则s在(o,受)上单 9 调递增，在[号3)上单调递减，所以S(x)的最大值为2，B错误，C,D均正确 1.BC1a-b=√6+1-12c0s牙=√3工，A错误，建立平面直角坐标系xOy,不妨假设a =0i=(6,0.b=0i=(分，）设c=0=(xy则c-a=(x-6y.c-b=(x- 名y-).代入c-a)·c-b)=3整理得(c-1只)+(-)-只所以点C在以 M(只，)为圆心，零为半径的圆上.因为该圆经过坐标原点，所以c的最大值为V,B 正确因为(6-)+(0-气)-到<华，所以点A在圆M内，因为。-e1=AC, 所以a-e的最小值为B。团，a一c的最大值为压士，C正确， AM-31 2 D错误. 12号 9 log:-og8-2log8-只 21 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 18.6-2,3由题可知AD=6,AB=4,sn∠DAB=sin(30+459)=6+2 由SAMm+SAAm=SaAm,可得2AD·AOsin∠DAO+2AB·AOsin.∠BAO=2AD· ABsn∠DAB,则6·A0.受+4·A0·号-5X4x62 4 解得AO=6-23. 14.(0,3)U(层，)令fx)=0,得=m,令gx)=0,得5=m 设h()=二，A'(x)=。,则A(x)在(0，D上单调递增，在1，十o∞)上单调递减，所以 h(x)m=h(I)=。.当x>0时，h(x)>0,所以结合h(x),k(x)=二的图象（图略）及h(2) -6(2)=是<得n的取值范图是(0，)U(侣，》。 15.解：(1)设事件A,B,C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，D表示他 4 买到的红茶是优质品，则依据已知可得P(A)=P(B)=4+4+20.4,P(C)=0.2, P(DA)=0.9,P(DB)=0.8,P(DC)=0.7,…2分 由全概率公式得P(D)=P(A)P(DA)十P(B)P(DB)+P(C)P(DC)…5分 =0.9X0.4十0.8X0.4十0.7X0.2=0.82,…6分 所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82.…7分 (2)设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，则P(E)=0.9×0.8×(1一0.7)+0.9×(1 0.8)×0.7+(1-0.9)×0.8×0.7=0.216+0.126+0.056=0.398.…13分 16.解：(1)由S.1一4S。=8,得S。一4S。-1=8(n≥2)，…1分 两式相减得a中1一4a.=0,即8=4(n≥2).…3分 因为41=8，所以(a1十a2)-41=8,得a2=32,满是丝2=4.…5分 a 所以{an}是首项为8，公比为4的等比数列，an=8X4"-1=22+1.…8分 (2)因为a,=22m+1. 1/1 所以bw= 1 log2aa·log2am+1 (2n+1)(2n+3)2（2n+12n+3 …12分 所以工.-[（分吉）+（信）++（市2十】 }2)-32+ …15分 17.(1)证明：取AB的中点O,连接OB1.由△B1AB为正三角形，得OB1⊥AB.…1分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 因为平面ABB:A:⊥平面ABC且交于AB,所以OB:⊥平面ABC,即OB,为该三棱柱 的高 因为三棱柱ABC-AB,C1的体积V=S△·OB1=23,且OB,=√3，所以S△=2. …2分 1 因为S△：=2AB·ACsin,∠BAC=2,所以∠BAC=90,即AC⊥AB..3分 由平面ABB1A1⊥平面ABC且交于AB,可得AC⊥平面ABB:A1. 因为AB,C平面ABB1A1,所以AC⊥AB1.因为AC∥A,C1,所以AB,⊥AC1.·5分 在菱形ABB1A,中，AB1⊥AB.因为A,B∩A,C,=A1,所以AB1⊥平面A,BC.… …6分 (2)解：如图，以O为原点，以OB,OB,的方向分别为x,之 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(一1,0,0)，B(1, 0,0),C(-1,2,0),A1(-2,0W3).…8分 B 设平面ABC的法向量为m=(x1,y1·1),因为BA,= (-3,0w3),A1C=(1,2,-3). m·BA=-3x1十3&1=0， 所以 m·A1C=x1+2y1-3x1=0, 令x1=1,得m=(1,1,W5).… ……11分 设平面A1ACC1的法向量为n=(x2,y2,z2), 因为AA1=(-1,03),A1C=(1,2,-√3)， n·AAi=-x2十3x2=0, 所以 n·A1C=x2+2y2-3xg=0, 令x2=√3，得n=(W3,0,1).…14分 因为cos(m,n)》= m·n23_5 Γm川n5×2 5,所以平面A,BC与平面A,ACC,夹角的余弦值 酒 …15分 18.解：设P(x,y),由OP12=A十ud,得x2十y2=入十y2.…1分 (1)当入=7，u=2时，x2+y2=7+2y2,即x2-y2=7,则(7,2)曲线为双曲线.…3分 （2由2+y=号+w2,得2+1-y=号 若（分）曲线为焦点在y轴上的椭圆，则1一>0且1一以≠1，所以x2+(1-以)y2=2可 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 化为行+ 1 1 一=1，所以21—2)>2' 5分 1 2 2(1-u） 则>0，故：的取值范围为(0,1). 6分 (3)证明：由入=9,4=一 得曲线2的方程为。+名三1，则2的右焦点为(1,0).设A y1),B(x2y2). …7分 y=k(x-1), 联立x2 得(9k2十8)x2-18k2x十9k2-72=0,…8分 =1, 8 18k2 x1十x2 9k2+8' 则 …9分 9k2-72 Ti2= 9k2+8 因为点B关于x轴的对称点为点D,所以D(x2,一y:), 则直线AD的方程为y一y1= 十y2(x一x)· 10分 x1一x2 根据对称性可知，直线AD经过的定点必在x轴上.…12分 令)=0，得x=-y,十x,=1十z当 …13分 y+yz y1+y2 _k(1-1)xe十k(x2-1)x1_2kxx2-k(x1十x2) k(x1-1)+k(x2-1) k(x1+x2)-2k ，…14分 18k2-144 18k2 当k≠0时，x= 2.x1x2-(x1十x2) 9k2+8 92+8=一144 (x1+x2)一2 18k2 -16 9,…16分 9k2+8-2 故直线AD过定点(9,0).… …17分 19.证明：(1)由h(-x)=h(x),得-x十(-x)5=x十x, 则2(x十x5)=2x(1十x)=0,… …1分 解得x=0,所以h(x)只有1个偶点，且偶点为0， 所以h(x)=x十x为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，…3分 (2)由题意得f(x)十g(x)一x2=-f(y)+2g(y)十y对xy∈R恒成立，…4分 所以存在常数a,使得f(x)十g(x)一x=一f(y)十2g(y)十y=a.…5分 f(x)十g(x)-x2=a, 令y=x,得 -f(x)+2g(.x)+x=a, 解得g(r)=2-x十2a 3 …6分 @y=2-号+会一号由2-2，得号+0-0， 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 即x2=-2a(x≠0)，则-2a>0,即a<0. 7分 Fx)=g)=-r+2ar,F'r)=3r2-2x+2e 3 3 因为△=4一24a>0,所以F'(x)=0必有两根x1,g(设x1<x2),…8分 当x<x1或x>x2时，F'(x)>0,当x1<x<x2时，F'(x)<0, 所以函数F(x)=xg(x)有2个极值点x1,x2, 9分 @若g3)=6+24=2,则a=0,g)=22， 3 3 …10分 当x>1时，要证gc)>号n-1D.只需证-x>受n(r2-D. 因为x2-x-(3.x-4)=(x-2)2≥0，所以x2-x≥3x-4, 3 所以只需证3x-4>21血(x2-1).… 12分 设函数px)=3x-4-2nx-1D6>1. 则p'(x)=3- 6x_3(x2-t-D(x>10, 2(x2-1)x2-1 当1x<1十5时，p'(x)<0,当x≥125时，p(x)>0,…14分 所以p)=2).(25)2-115 2 所以p(x)n 3+35-42n125、3x2g36-5-2×0.481=0.1325,…16分 2 2 2 所以b(x)>0,从而p(x)=3x-4-多n(2-1)>0, 故当x>1时，g(x)>2nx2-1D. 17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】