23.1锐角的三角函数第一课时 课件 2024—2025学年沪科版数学九年级上册

23.1 锐角的三角函数 第1课时 如图，从山脚到山顶，可以选择爬坡面AB，也可以选择爬坡面BC，爬这两段坡面会有什么不同的感受?哪个坡面更陡?你是如何判断的? 情境导入 从图中，我们不难发现，坡面AB与地面AC的夹角∠A小于坡面BC与地面AC的夹角∠B，坡面BC更陡。我们把坡面与水平面的夹角叫做坡角(或者倾斜角)，显然坡角越大，坡面就越陡. 坡角(坡面与水平面的夹角)可以用来描述坡面的倾斜程度 新课探究 刚才我们是利用“角”来描述坡面的倾斜程度，现在我们尝试能不能用“边”来描述呢? 新课探究 过山顶点B向地面AC作垂线段BD 我们把线段BD的长度叫做坡面AB的铅直高度，把线段AD的长度叫做坡面AB的水平长度， 若比较坡面的长度、铅直高度、水平长度三者中的任何一个，可以判断坡面的倾斜程度吗? 比较坡面的长度、铅直高度、水平长度三者中的任何一个都不能判断哪个坡面更陡. 既然只用一边不行，如何改进呢?我们尝试综合考虑两条边. 如图，坡面的长度、铅直高度、水平长度构成了一个直角三角形。两个锐角一样大的直角三角形对应的坡面的倾斜程度是一样的，而这两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，那么能不能利用直角三角形两边的比来描述坡面的倾斜程度呢？ 新课探究 这节课我们先来研究倾斜角所在直角三角形的对边与邻边的比。 如图，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个RtAB1C……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形有什么关系?在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比 有怎样的关系? 新课探究 在Rt△ABC中，当锐角∠A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与∠A的邻边的比值总是唯一确定的。所以倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度. 由此你能得出什么结论？ 上面的结论告诉我们，直角三角形中锐角和锐角的对边与邻边的比的关系：直角三角形中锐角固定，那么这个锐角的对边与邻边的比也固定。如果锐角变化了呢?这个比值会怎样呢?(几何画板演示) 新课探究 我们观察几何画板的演示：Rt△ABC中，∠A大小变化，的值也随之改变。∠A的对边与∠A的邻边的比(即)随∠A的变化而变化，并且对于∠A的每一个值，都有唯一确定的值与之对应。你认为与∠A这两个变量之间是一种什么关系? (函数关系) 新课探究 如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 A B C c a ∠A的邻边b ∠A的对边 斜边 类似地，你认为∠B的正切该如何表示? 归纳 A B C c a ∠A的邻边b ∠A的对边 斜边 tan A是一个完整的符号，tan A不表示“tan”乘以“∠A”； 它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”，但当用 三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC； tan A没有单位，它表示一个比值，锐角A的对边和邻边的比； 初中阶段仅研究直角三角形中，∠A是锐角的正切；将来遇到 锐角的正切问题，也必须放在直角三角形中去研究. 1 2 3 4 注意 新课探究 如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 (坡度通常写成h∶l的形式) 坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡． 典例精析 A B C 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4， BC=3，求tan A和tan B． 解： A B C 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=25，tanB=，求AC和BC的长度. AC=4k，BC=3k (其中k>0)，则 AB=√AC² + BC²=√(4k)²+(3k)²=5k ∵AB=25， .*.5k=25得:k=5 :.AC=4k=20，BC=3k=15. 解： 如图，tanB=，设AC=4k，BC=3k (其中k>0)，则 AB=+=+=5k ∵AB=25， ∴5k=25解得:k=5 :.AC=4k=20，BC=3k=15. 典例精析 【例3】计算课本第112页图23-3中坡面AB和AB1的坡度，并说明哪一个坡面比较陡? jii 解： 典例精析 解：iAB=== iA1B1=== ∵＜ ∴iAB＜iA1B1 所以坡面A1B1比较陡 课堂练习 1.在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求tanC. 解如图所示，过点A作ADLBC于点D， ∵AB=AC, :.BD=CD=-BC=3 ∴在Rt∧ACD中，AD=√AC2 - CD² =√52-32 =4 tanC==/ 解：如图所示，过点A作ADLBC于点D， ∵AB=AC, ∴BD=CD=BC=3 ∴在Rt△ACD中，AD= - ² =-=4 tanC== 课堂练习 2.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比(坡度)i=1:3，则坡面AB的长为______. 解如图所示，过点A作ADLBC于点D， ∵AB=AC, ∴在Rt∧ACD中，AD=√AC2 -:.BD=CD=-BC=3 CD² =√52-32 =4 tanC==/ 6m 解： ∵ i=1:3== BC = 6 ∴AC=3BC=18 Rt△ACD中，AB= = =6(米) 课堂练习 3. 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) 解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3， B A. B. C. D.6米 ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． . 课堂练习 3. 如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tan B'的值为_______.  A B C C′ B′ 锐角的正切问题，必须放在直角三角形中． 课堂小结 正切 正切： 坡度： 在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 (坡度通常写成h∶l的形式) ． $$