陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试检测数学试卷

2023级高二第一学期期中考试检测卷 数。学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区城均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章，第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合M={x|x2十x一2≤0}，Q={x∈N|x≤2}，则M∩Q= A.{0,1} B.{-2,-1,0,1}C.[-2,1] D.[0,1] 2.设复数x=5+3i,且iz=a十bi(a,b∈R),则a十b= A.-8 B.8 C.-2 D.2 3.已知直线4：z+2y十5=0与：3x+ay+b=0平行，且4过点(-3,1)，则号- A.-3 B.3 C.-2 D.2 4者na2,则n0的值为 A-是 B-是 c号 D 5.直线y=2x+6被圆(x+2)2+y2=4截得的弦长为 A.√10 B5 a D.2v5 6,如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1=√E,A C, AB=2,则点C到直线AB1的距离为 A B.②3 3 C.30 D.⑤ 3 3 【高二数学第1页（共4页）】 25151B C图扫描全能王 3亿人整在用的扫mAp的 7.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y一1)2=16(a>0)有4条公切线，则实数a的取 值范围是 A.(0,2√2) B.(2√2，+∞) C.(0,2√6) D.(2√6，+o∞) 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C,D1中，P为A,D,的中点，Q为A:B1上任意一点， E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是 D A.点P到平面QEF的距离 B.直线PQ与平面PEF所成的角 C.△QEF的面积 D.三棱锥P-QEF的体积 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知直线y=2x与x十y十a=0交于点P(1,b),则 A.a=-3 B.b=2 C.点P到直线ax+by十3=0的距离为2图 13 D,点P到直线ax十by十3=0的距离为4图 13 10.已知空间向量a=(一3，一1,2)，b=(3,3,1),则下列说法正确的是 A.(3a+2b)∥a B.a⊥(5a+7b) C.|a=√14 D.Ib|=√/1g 11.直线y=2x十m与曲线y=√4一x恰有两个交点，则实数m的值可能是 A号 B贵 C.4 D.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.过点(3,1)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 13.若正实数a,b满足4a十b=ab,则4a+b的最小值是 14.已知圆C:x2十y2=4,从点E(一4,2)出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被圆C 挡住从而到达点F(5,m)(当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住)，则实数m的取值范 围为 【高二数学第2页（共4页）】 25151B C因扫描全能王 3亿人整在用的日mAp的 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的顶点坐标为A(-1,6),B(一3，一1)，C(4,2). (1)若点D是AC边上的中点，求直线BD的方程； (2)求AB边上的高所在的直线方程. 16.(本小题满分15分) 已知圆C过点A(0,1),B(-2,一1)，且圆心C在直线y=x十3上. (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(一4,2)的直线1与圆C相切，求直线l的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B1C中，AB⊥AC,AB=AC=AA1,点E,F分别为棱AB,A1B1 的中点。 (1)求证：AF∥平面B,CE; (2)求直线C,E与直线AF的夹角的余弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 25151B C因扫描全能王 3亿人都在用的扫量AP的 18.(本小题满分17分) 已知x,y是实数，且(x一1)2+(y一2)2=4. (1)求3x+4y的最值； (2)求的取值范围； (3)求√x2+y的最值 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=2√E,BC=2,平面PAC⊥平面 ABCD,且PA=PC,点E,F分别是棱AB,PC的中点， (1)求证：DE⊥平面PAC; (2)若直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为， 3 ①求PA的长； ②求平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值， 、 【高二数学第4页（共4页）】 25151B C因扫描全能王 3亿人都在用的扫量真p的 2023级高二第一学期期中考试检测卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由x2十x-2≤0，解得-2≤x≤1，由|x|≤2，解得一2≤x≤2，所以M={x|-2≤x≤1}，Q={0,1,2},所 以M∩Q={0,1},故选A. 2.Diz=-3+5i,.a=-3,b=5,.a+b=2. 3.D因为直线4：x+2y十5=0与直线4：3x十ay+6=0平行，6=-之=一子=-名-子，解 得a=6,直线4：过(-31)，则-9+6+b=0得b=3,经验证4与4不重合心号=2.故选D 4B因为ma=2n器。ae中。一-青一号故选B 5.C圆心(-2.0)到直线的距离为二2X2+61-=后直线被圆截得的弦长为2√一（层-85放法心 √5 √5 5 6.C取AC的中点O,则BO⊥AC,BO=√3，建立如图所示的空间直角坐标系 0-xy,所以A(0,-1,0),B1(W3,0W2),C(0,1,0),所以AB=(W3,1√2).CA= (0,-2,0,所以C在A上的投影的长度为C.A正-二-=5 AB 631 故点C到直线AB,的距离为d=√AC-(号)'=赦选C 7.D根据题意可知，圆C,C2外离，d>n+r2,√a+1>1+4.a2>24,又，a>0, .a>2√6.故选D. 8BA选项中，平面QEF与平面ABCD为同一个平面，点P到平面A,B,CD的距离为号：B选项中，当E F固定时，Q可移动，故直线PQ与平面PEF所成的角不为定值：C选项中，△QEF的面积为定值：D选项 中，△QEF的面积为定值，故Vor为定值. 即根据题意可得{十0二0解得a-3,6=2,则点(1,2)到直线一3江十2y十3=0的距离1= 9.ABD 1-3+4+3L=4√13 V√(-3)2+2213 10.BCD3a十2b=3×(-3,-1,2)+2×(3,3,1)=(-3,3,8),又a=(-3,-1,2),故A错误； 5a+7b=5×(-3,-1,2)+7×(3,3,1)=(6,16,17),则(5a+7b)·a=0,故B正确： 因为a=(一3，一1,2)，b=(3,3,1),所以|a=√9+1+4=√14，b=√9+9+1=√19，故C,D正确.故选 BCD. 11.BC曲线y=√4一x表示圆x2十y2=4在x轴的上半部分，当直线y=2x十m与圆x2十y2=4相切时， 1m=2,解得m=士25，当点(-2,0)在直线y=2x十m上时，m=4,可得4≤m<25. √5 12.x+y一4=0或x一3y=0设在x轴、y轴上的截距均为a,若a=0,即直线过原点，设直线为y=kx,代人 (3,1),可得=子，所以直线方程为y=号x,即x-3y=0:若a≠0，则直线方程为后+亡-1，代人 (3,1),则3+】=1，解得a=4,所以此时直线方程为x十y=4:综上所述：所求直线方程为x十y一4=0 或x-3y=0. 13.16由ab=4a+b≥2√4ab=4√ab(当且仅当b=4a,即a=2,b=8时取等号)，可得ab>≥16，故4a十b的最 小值为16. 【高二数学参考答案第1页（共3页）】 25151B 14.[10,十∞)令从点E(一4,2)出发的光线射到x轴上的入射点为B,反射光线的反 向延长线必过点E(一4，一2)，设直线EB的方程为y=k(x十4)一2，k>0,当直线 EB与圆C:x2十y2=4相交时， 反射光线被圆C挡住不能到达点F(6,m),则不被挡住时，>2，解得≥号， +1 直线EB与直线x=5的交点F(5,m),因此m=9k一2≥10， 所以实数m的取值范围为[10，十∞). 15,解：1)因为点D是AC边上的中点，则D(号4)所以加=一号=号，所以直线BD的方程为y+1= -33 2 0（x十3)，即10.x-9y+21=0:……6分 (2)因为=二号十=子，所以AB边上的高所在的直线的斜率为一号，所以AB边上的高所在的直线方 程为y-2=-号(-40，即2r+7y-22=0.…13分 解：()直线AB的斜率为二二号=1，线段AB的中点坐标为（一1,0），…2 直线AB的垂直平分线的方程为y=一(x十1)，整理为y=一x一1，…………3分 一一1解得/=一2 联立方程/y=x+3 …………………… 由圆C的性质可知，圆心C的坐标为（一2,1），可得圆C的半径为|AC=2,…6分 故圆C的标准方程为(x十2)2十(y1)2=4:……7分 (2)①当直线1的斜率不存在时，直线x=一4正好与圆C相切，故此时直线l的方程为x=一4，…9分 ②当直线（的斜率存在时，设直线1的方程为y一2=k(x十4），整理为kx一y十4k+2=0, 历直线1与圆C相切，有一2火1十4k叶2=2，解得k,………………飞 k2+1 可得直线1的方程为是x-y十5=0.整理为3x-4y+20=0, 故直线l的方程为x=一4或3x一4y十20=0.…… 15分 17.(1)证明：由于三棱柱ABC-A,B,C,是直三棱柱，所以ABLA1B,…2分 因为点E,F分别为棱AB,AB1的中点，所以AELB,F,…4分 则四边形AEB1F是平行四边形，所以AF∥B1E,…6分 又因为AF丈平面BCE,B,EC平面BCE,所以AF∥平面B,CE:…8分 (2)解：因为直三棱柱ABC-A,BC,AB⊥AC,所以以A为原点，AB,AC, AA,所在直线为x轴，y轴，2轴建立如图所示的空间直角坐标系，…10分 不妨设AA,=2,则C(0,2,2),E(1,0,0),F(1,0,2),于是CE=(1,-2,-2),月 AF=(1,0,2),…… ………………………12分 设直线C,E与直线AF的夹角为0，则cos0= 1CE·AF15 1C,E·|AF1 5 ……14分 所以直线GE与直线AF的夹角的余弦值为 5 ………15分 18.解：(1)设3.x十4y=z,化为3x十4y-x=0, 可知直线3.x十4y一之=0与圆(x一1)2十(y2)2=4有交点，…3分 有3+8-≤2，解得1≤≤21. 5 可得3x十4y的最小值为1，最大值为21：………………6分 (2)设k=义，化为kx-y=0, 【高二数学参考答案第2页（共3页）】 25151B 可知直线kx一y=0与圆(x一1)2十(y一2)2=4有交点，………8分 有一2尖≤2，解得k≥0或≤-专 √k2+1 值范围为oo,-[0,十6∞)：…… (3)√π2+y的几何意义为坐标原点到圆(x一1)2十(y一2)2=4上任意一点的距离，…13分 圆(x一1)2十(y一2)2=4的圆心到坐标原点的距离为√12十2=√5，……15分 故2十y的最小值为√5一2，最大值为√5十2.…………………17分 19.I)证明：在矩形ABCD中.AB:BC=巨：1，且E是AB的中点，所以tam∠ADE=an∠CAB= 2, 所以∠ADE=∠CAB,又∠CAB+∠DAC=90°，所以∠ADE+∠DAC=90°，即AC⊥DE,·1分 记BD∩AC=O,连接PO,如图所示，所以O是AC的中点，又PA=PC,所以PO⊥AC,…2分 又平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,POC平面PAC,所以PO⊥平面ABCD,· ………………………………………………………4分 又DEC平面ABCD,所以POLDE,…5分 又AC∩PO=O,AC,PO℃平面PAC,所以DE⊥平面PAC;……7分 (2)解：①以O为坐标原点，OE,OP所在的直线分别为x轴，x轴，建立空间直角 坐标系，如图所示 设OP=a(a>0),所以A(1,-√2,0)，B(1w2,0),D(-1,-√2,0)P(0,0, a),所以AP=(-12,a) 设平面PDB的法向量为n=(x,y,),又DB=(2,2√2,0)，OP=(0,0,a) |n·DB=2.x+22y=0 所以由 ,令x=√2，解得y=一1，=0，所以平面PDB的 n·Op=az=0 法向量为n=(W2,一1,0)，… ……9分 因为直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为气，所以os(a应1=n:A市 |n·IAp 2√2 6 V1+2+2X2+万=3，… …10分 解得a=1,所以AP=|Ap|=个+2+I=2:…11分 @因为E1,0,0),F(-之，号，号)：设平面PDE的一个法向量为m=(~),又市- （-2,-E0市=(-10》所以a·可=-2-=0.令=1，解得=-E=1,所以 m·E驴=-x+=0 平面PDE的一个法向量为n1=（1,一√2,1)，…13分 设平面FDB的一个法向量为m:=(,义D成=(22反0).D市=（号，3要，含），所以 n2·DB=2.x2+2√22=0 ,令x2=√2，解得2=一1,2=2√2，所以平面FDB的一个法向量为 ng=(√2，一1,2V2)，…15分 设平面PDE与平面FDB的夹角为0，所以cos0=|cos(n,m)川=mT=√+2+X√2+1+8 n1·n2 4√2 =2Y厘，即平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值为2厘 11 …………17分 11 3 【高二数学参考答案第3页（共3页）】 25151B