第一章直线与圆单元测试-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 单元测试 一、单选题 1．若直线l斜率为k，向量在直线l上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，则该直线的斜率k的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与圆：（）交于A，两点，且线段关于圆心对称，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．已知点，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线与圆交于，两点，点为线段的中点，且点的坐标为．当时，，则（    ） A． B．的最小值为 C．存在点，使 D．存在，使 10．下列说法正确的是（    ） A．已知直线过点，且在轴上截距等于轴上截距2倍，则直线的方程为 B．直线没有倾斜角 C．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．已知直线的斜率满足，则它的倾斜角的取值范围是或 11．已知直线l∶x+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可以是（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2. 三、填空题 12．已知斜率均为负的直线与直线平行，则两条直线之间的距离为 ． 13．已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 . 14．过点，且与直线垂直的直线方程是 ． 四、解答题 15．圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 16．圆过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 17．已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 参考答案 1．D 【分析】设出，求出向量在和方向上的投影的模，从而得到，求出直线斜率. 【详解】设， 则向量在方向上的投影的模为， 向量在方向上的投影的模为， 则， 故该直线的斜率. 故选：D 2．C 【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案. 【详解】由题意得，，则的中点的坐标为， 直线的斜率. 由圆与圆关于对称，得的斜率. 因为的中点在上，所以，即. 故选：C. 3．D 【分析】先求得圆心的坐标，进而列出关于的方程，解之即可求得的值. 【详解】圆：的圆心， 由圆心在直线上，可得， 解之得. 故选：D 4．D 【分析】先设出，得到的方程为：，由得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，求出的最小值即可． 【详解】设，由在上，得：，即， 由得：，化简得， 依题意，线段与圆，至多有一个公共点， 故到直线的距离不小于，即，解得：或， 是使恒成立的最小正整数，由于， 故选：D 5．B 【分析】先求得直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案. 【详解】直线， 即，由解得， 所以直线过定点， 所以的最大值为. 故选：B 6．B 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 7．B 【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案. 【详解】的外接圆设为， ，解得， 外接圆方程为，即， 易知外接圆在处切线方程为， 又，令得，，， 在处切线方程为， 又，令得，， 则三角形的线的方程为，即 故选：B. 8．D 【分析】根据直线的两点式方程运算求解. 【详解】因为，则线l的方程为，整理得， 所以直线l的方程为. 故选：D. 9．AD 【分析】利用圆的弦长公式判断A、B；假设存在点，求出直线方程，判断与圆的位置关系，判断C，求出点的轨迹方程，可判断D. 【详解】当时，直线， 圆心到直线的距离， 又，解得，A正确； 由上可知圆， 圆心到直线的距离， 则，B错误； 若，则直线斜率为， 从而直线：， 此时圆心到直线的距离， 则直线与圆相离，即不存在点，使，C错误； 设点，因为直线过定点， 则，即， 化简为，为点的轨迹方程， 若，则， 即，得， 故存在存在，使，D正确. 故选：AD. 10．CD 【分析】根据截距的概念可判定A，根据倾斜角的定义可判定B，利用两直线垂直的位置关系可判定C，根据倾斜角与斜率的关系可判定D. 【详解】对于A，当直线在两个坐标轴的截距都是0时，显然直线方程为，故A错误； 对于B，直线倾斜角是，故B错误； 对于C，若直线与直线垂直，则有或，所以不满足充分性， 反之时，此时两直线垂直，满足必要性，故C正确； 对于D，由直线的斜率与倾斜角的关系知：满足的直线， 则它的倾斜角的取值范围是或，故D正确. 故选：CD 11．ABCD 【分析】求出两坐标轴上的截距，进而判断的可能取值． 【详解】令y＝0，得到直线在x轴上的截距是， 令x＝0，得到直线在y轴上的截距为2＋a， ∴不论a为何值，直线l在x轴和y轴上的截距总相等. 故选：ABCD. 12．/ 【分析】利用斜率为负的两直线平行，找到，表示出直线，利用两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】因为斜率均为负的直线与直线平行， 所以同号，且，解得：， 所以直线与直线， 所以这两条直线之间的距离为. 故答案为：. 13． 【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 14． 【分析】根据垂直求出斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜截式为， 故斜率是，所以所求直线的斜率是， 所以所求直线方程是， 即. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； （2）因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 16．(1) (2)，， 【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可； （2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解. 【详解】（1）解：两点，的中垂线方程为：， 联立，解得圆心， 则， 故圆的方程为：； （2）由直线且被圆截得的弦长为6， 故圆心到直线的距离为， A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：， ，此时直线的方程为： A．若直线不过原点，设直线为：， ， 此时直线的方程为：， 综上：直线的方程为：，，. 17．(1) (2) (3)7 【分析】（1），根据两点间的距离公式化简可得方程； （2），法一：换元后与圆的方程联立，利用判别式法求解最小值；法二：几何法，利用直线与圆的位置关系列不等式求出最小值；法三：三角换元，结合辅助角公式利用余弦函数的性质求解最小值； （3），根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值. 【详解】（1）由已知得， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为：； （2）法一：设，得， 代入轨迹的方程消去并整理得， ∴，即， 解得，故的最小值为； 法二：设，即， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆， 由题意可知，直线和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离不大于半径，即， 解得，故的最小值为； 法三：由（1）可设，， 则， 因为，所以当时，的最小值为； （3）i）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆． 到直线AB的距离，所以， 同理，， 所以． ， ⅱ）若AB、CD两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0， 此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、），所以． 综上所述，当且仅当，即时，四边形ACBD的面积取得最大值，最大值为7． 学科网（北京）股份有限公司 $$