第二章圆锥曲线单元测试-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 单元测试 一、单选题 1．已知为双曲线右支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线的斜率分别为，，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则（    ） A．14 B．12 C．16 D．18 3．已知，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，，则的渐近线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，是直线上一点,且，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 8．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 二、多选题 9．椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为4 C．椭圆上不存在点，使得 D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点的最大距离为3 10．已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 11．已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．三角形的周长是12 B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为 C．若，则的位置不唯一 D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 三、填空题 12．已知双曲线C：，点，、分别为双曲线的左右焦点，线段交双曲线左支于点P，点关于的对称点为Q，则的周长为 . 13．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 14．已知圆，抛物线.若对于上任意一点，使得对圆上的任意两点A，B，总有，则的取值范围是 . 四、解答题 15．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 16．已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离. (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值. 17．圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由． 18．已知圆，圆，动圆P与圆内切，与圆外切，动圆圆心P的运动轨迹记为C； (1)求C方程； (2)若，直线过圆的圆心且与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值． 19．已知动点满足：. (1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； (2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 参考答案 1．B 【分析】设点，得，以为直径的圆经过点，得，得．又，，得，，又，得即可解决. 【详解】设点，则，得  ①． 因为以为直径的圆经过点， 所以，所以，即． 由题意得，，所以，， 所以，又， 所以②． 由①②得， 所以. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：找到等价转化的桥梁，即根据直线斜率间的关系得到，并能想到将化为的形式，从而得到． 2．A 【分析】将代入，得，将代入，得，利用梯形的面积公式得，再利用抛物线的定义即可求解. 【详解】将代入，得，将代入，得， 所以，因为A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18， 所以，解得， 故由抛物线定义知. 故选：A 3．C 【分析】由题意通过几何关系得到，进一步由可得，再结合余弦定理即可得出的关系，进一步即可得解. 【详解】 设为坐标原点.由题意得的渐近线方程为，得，. 由，即是的中位线，得， 则，所以. 由， 得，所以， 所以在中，由余弦定理，得，即， 所以的渐近线的倾斜角为或. 故选：C. 4．B 【分析】先设点坐标，然后利用点到直线距离求解即可. 【详解】因为所求点在抛物线上， 所以设所求点为：， 所以点到直线距离为： ， 当且仅当时，有最小值， 此时， 故选：B. 5．D 【分析】取中点，连接，则，设，由双曲线的定义可知，，，所以，，，由勾股定理，推出、的关系，化简即可得离心率的值． 【详解】解：如图，取中点，连接， 因为，所以，， 设，因为，则， 又，所以，， 所以，，则，所以，， 过点且倾斜角为的直线方程为，，所以，， 在中，由勾股定理可得，即，① 在中，，即，② 联立①②消去化简得，所以，双曲线的离心率． 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 6．B 【分析】根据垂直关系可知点在以原点为圆心，半径为的圆上，设，代入圆的方程可得；利用可构造等式得到，结合可构造关于的齐次方程，结合可解得结果. 【详解】，，点在以原点为圆心，半径为的圆上， 设，则，； ，，解得：， ，即，即， ，解得：或，又，. 故选：B. 7．D 【分析】分焦点在上和焦点在上讨论，利用列方程求. 【详解】焦距为2，即. 当焦点在上时，，得； 当焦点在上时，，得； 综合得或. 故选：D. 8．A 【分析】根据题意，由椭圆的定义即可判断. 【详解】 ， 故， 又， 根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆. 故选：A. 9．ABC 【分析】直接求出离心率可判断A；利用椭圆定义可判断B；利用求出的范围可判断C；设，求出点到圆的圆心的距离，根据的范围可判断D. 【详解】由椭圆，可知，即， 对于选项A，离心率，故A错误； 对于选项B，由椭圆定义，可得， 因此的周长为，故B错误； 对于选项C，设，则，且； 又，所以， 因此， 解得，故C错误； 对于选项D，设，则，即， 所以点到圆的圆心的距离， 因为，所以，故D正确. 故选：ABC. 10．CD 【分析】根据题意假设出抛物线方程，再利用点在抛物线上与焦半径公式得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设所求抛物线方程为，则焦点为， 因为在抛物线上，且， 所以，解得 所以. 故选：CD. 11．ACD 【分析】结合双曲线和圆的性质以及点到直线的距离公式可得A正确；由相同渐近线方程设出双曲线方程，再由焦距解出即可得B错误；由椭圆的轨迹和圆的位置关系得到C正确；由双曲线的定义结合点与圆的位置关系得到D正确； 【详解】由题意可得双曲线，，，，，， 圆心坐标，半径， A，，，， 所以三角形的周长是12，故A正确； B，由题意可设双曲线的方程为或， 变形为标准形式或，， 又双曲线的焦距为8，所以， 所以双曲线为或，故B错误； C，，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 所以轨迹方程为， 圆心坐标代入椭圆方程可得， 所以圆心在椭圆上， 又点是圆上点，画出图形可得 所以，的位置不唯一，故C正确； D，由双曲线的定义可得， 所以， 所以， 因为， 所以当三点共线时，取得最小值， 又因为的最小值为， 所以的最小值是，故D正确； 故选：ACD. 12．. 【分析】结合图形，可得.后由双曲线定义，及两点间距离公式可得答案. 【详解】由题可得，，因， 则，.又因点关于的对称点为Q， 则. 故 由双曲线定义，， 又由两点间距离公式有：.则. 故答案为：. 13． 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意得为圆的切线时最大，设直线分别与圆M切于点，设,满足，求解的最小值即可. 【详解】设直线分别与圆M切于点，设，因为对于上任意一点， 使得对圆上的任意两点A，B，总有，所以,即， 所以，即, 设，则， 又， 设，对称轴，， 当，即时，在时当时，此时满足题意， 当时，若时在时不合题意， 所，即，所以时， 在时当时， 即,化简得，解得， 所以， 综上：， 故答案为：.    【点睛】本题关键分析出为圆的切线时最大，设直线分别与圆M切于点，设,满足，转化为求的最值. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 16．(1) (2) 【分析】（1）由离心率可得，由可得，即可得答案；（2）设点到直线的距离为，由题意及韦达定理可得在直线PQ斜率存在或不存在两种情况下的面积表达式，由基本不等式可得面积取最大值时需满足条件，即可得此时的值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意，得，可得.又，解得. 所以椭圆的标准方程为. （2）设点到直线的距离为. ①直线的斜率不存在时. 设直线的方程为，且，则， 所以，当时等号成立.即当时，的面积最大， 此时，. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 由消去并整理可得. 由题意知. 由韦达定理，， 则. 又，所以 ， 当且仅当时，等号成立. 所以当，且）时，的面积最大. 此时 . 综上所述，当的面积最大时，. 【点睛】关键点睛：本题涉及求椭圆中三角形最值及相关斜率问题，关键为分斜率存在与斜率不存在两种情况写出三角形面积表达式，对于求面积最值，基本不等式是很有效的工具. 17．圆与椭圆，当或时没有公共点；当时恰有一个公共点；当或或时恰有二个公共点；当时恰有三个公共点；当或时恰有四个公共点． 【分析】将圆和椭圆的方程联立组成方程组，根据解的个数判断位置关系. 【详解】解方程组得， （一）当时以上方程组的只有一个解，此时解得，则圆与椭圆有两个公共点. （二）当时方程组的有两个不同的解或. 当时，. （1）若或，圆与椭圆没有公共点； （2）若，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若，圆与椭圆恰有二个公共点． 当时，， （1）若或，圆与椭圆没有公共点； （2）若，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若，圆与椭圆恰有二个公共点． 综上所述，圆与椭圆，当或时没有公共点；当时恰有一个公共点；当或或时恰有二个公共点；当时恰有三个公共点；当或时恰有四个公共点． 18．(1) (2)3 【分析】（1）由圆与圆的位置关系得出点轨迹是椭圆，求出后可得轨迹方程； （2）设，，设直线方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由求出面积化为的函数，用换元法求得最大值． 【详解】（1）设动圆P的半径为， ∵动圆P与圆内切，与圆外切， ∴，且. 于是， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆. 圆与内切于点，因此点与点不重合，， 从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设，，设直线方程为， 联立方程组整理得， 则，，． 因为过点，所以 ．令，，， 设，则，即，所以在上单调递增， 则当时，，则的最大值为3． 故面积的最大值为3． 【点睛】方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值． 19．(1)椭圆，的方程是： (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$