第09讲 双曲线-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第09讲 双曲线 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解双曲线的定义 2．掌握双曲线的标准方程及性质 3．掌握双曲线渐近线方程及其应用 4．掌握求双曲线离心率的值或范围的技巧 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M│||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. (1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤﹣a或x≥a，y∈R y≤﹣a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(﹣a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，﹣a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 3．求双曲线标准方程的2种方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值． 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 类型一 双曲线的标准方程 例1．已知双曲线的一个焦点与圆x2＋y2－4y＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为x±y＝0，则该双曲线的标准方程为(　　) A．－y2＝1　　　　　 　B．－x2＝1 C．－＝1 D．－＝1 例2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是(　　) A．－y2＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 练习 1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，且离心率等于，则该双曲线的标准方程为 ；渐近线方程为 ． 2．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 ． 类型二 双曲线的定义 例3．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　) A．48　　　　　　　　　　　 　B．24 C．12 D．6 练习 1．平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|－|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（　　） A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知点A（1，0），B（﹣1，0）．动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是（　　） A．y＝0（﹣1≤x≤1） B．y＝0（x≥1） C．y＝0（x≤﹣1） D．y＝0（|x|≥1） 3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　) A．　　　　　　　　　 　B． C． D． 4．已知△ABC的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左、右焦点，顶点C在双曲线上，则的值为 ． 类型三 双曲线的几何性质 角度一：求双曲线的离心率(或范围) 例4．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是 ． 角度二：求双曲线的渐近线方程 例5．以椭圆＋y2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 ． 角度三：求双曲线方程 例6．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　) A．－＝1　　　　　　 　B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 练习 1．已知l为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，l与圆F：(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2)相交于A，B两点，若△ABF为等腰直角三角形，则C的离心率为(　　) A．2 B． C． D． 2．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 ． 3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P，与坐标原点O、右焦点F2构成正三角形，则双曲线的离心率为 ． 4．已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点F到渐近线的距离的取值范围是 ． 类型四 直线与双曲线的位置关系 例7．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 练习 1．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(﹣7,5)，B(﹣1，﹣1)两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l：y＝x＋m交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求实数m，n的值． 1．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　) A．(﹣，0)，(，0)　　　 　B．(﹣2,0)，(2,0) C．(0，﹣)，(0，) D．(0，﹣2)，(0,2) 2．已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0 3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且AF1＝4BF1，则双曲线C的离心率为(　　) A．＋1 B． C．＋1 D． 4．设F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，P在双曲线的右支上，且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝ ；S△F1PF2＝ ． 5．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为 ． 第09讲 双曲线 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B．2 C．6 D．4 2．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝(　　) A．1 B． C． D． 3． 如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF2|＝2|F2Q|，PQ⊥F1Q，则双曲线C的离心率是(　　) A． B． C． D． 4．已知点F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，直线y＝kx(k＞0)与E交于M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．[，＋] B．[2，＋1] C．[2，＋] D．[，＋1] 5．已知双曲线的一个焦点F(0，)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为 ；其离心率为 ． 6．若点P是以A(﹣3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝ ． 7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MF＝FN，则双曲线C的离心率e＝ ． 8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，﹣)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求证：·＝0； (3)求△F1MF2的面积． 9．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|． 答案 第09讲 双曲线 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．B　 2．C　 3．－＝1　y＝±x 4．－＝1 例3．B　 练习 1．B． 2．C． 3．C　 4．. 例4．2 例5．y＝±x 例6．A 练习 1．D　 2．y＝±x 3．＋1 4．(0,2) 例7． (1)由题意知a＝2， ∵一条渐近线为y ＝x，即bx－ay＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为， 得＝. 又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3， ∴双曲线的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得 x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16， y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12. ∴解得 ∴t＝4，点D的坐标为(4，3)． 练习 1.(1)设双曲线C的方程是λx2＋μy2＝1， 依题意有 解得 所以所求双曲线的方程是2y2－x2＝1. (2)将l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1， 得x2＋4mx＋(2m2－1)＝0，① Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋4＞0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)， 则x1＋x2＝－4m，x1x2＝2m2－1， 所以x0＝＝－2m，y0＝x0＋m＝－m， 所以P(－2m，－m)． 又圆心E(6,0)，依题意kPE＝－1， 故＝－1，即m＝－2. 将m＝－2代入①得x2－8x＋7＝0， 解得x1＝1，x2＝7， 所以|MN|＝|x1－x2|＝6. 故直线l截圆E所得弦长为|MN|＝2. 又E(6,0)到直线l的距离d＝2， 所以圆E的半径R＝ ＝， 所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0. 所以m＝－2，n＝26. 1．B　 2．A　 3． D　 4．　16 5．x2－＝1 1．D　 2．B　 3．D　 4．D　 5．－x2＝1　 6．2 7．. 8． (1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ. ∵双曲线过点(4，－)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：设＝(－2－3，－m)， ＝(2－3，－m)． ∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， ∵M点在双曲线上， ∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴·＝0. (3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4. 由(2)知m＝±. ∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝×4×＝6. 9． (1)∵双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，∴解得c＝3，b＝，∴双曲线的方程为－＝1. (2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)， ∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)． 联立得5x2＋6x－27＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－. 所以|AB|＝× ＝. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$