小升初奥数：相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

相遇问题 (知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 一、相遇问题的基本概念 相遇问题是指两个物体从两地同时出发，面对面相向而行，经过一段时间，两个物体必然会在途中相遇。这类问题主要研究速度、时间和路程三者之间的关系。 二、相遇问题的基本公式 1、相遇路程：相遇路程 = 速度和 × 相遇时间 2、相遇时间：相遇时间 = 相遇路程 ÷ 速度和 3、速度和：速度和 = 相遇路程 ÷ 相遇时间 4、甲的路程：甲的路程 = 相遇路程 - 乙的路程 5、甲的速度：甲的速度 = 相遇路程 ÷ 相遇时间 - 乙的速度 三、相遇问题的类型 相遇问题根据数量关系可以分成三种类型：求路程、求相遇时间、求速度。 1、求路程：通常已知速度和相遇时间，利用公式“相遇路程 = 速度和 × 相遇时间”求解。 2、求相遇时间：通常已知相遇路程和速度和，利用公式“相遇时间 = 相遇路程 ÷ 速度和”求解。 3、求速度：已知相遇路程和相遇时间，可以先求出速度和，再根据题目中的其他条件求出某个物体的速度。 四、相遇问题的解题步骤 1、审题：明确题目中的已知条件和所求问题。 2、画图：根据题目描述，画出相遇问题的示意图，帮助理解题目。 3、列式：根据相遇问题的基本公式，列出求解的式子。 4、计算：按照数学运算规则，计算出结果。 4、检验：将计算结果代入原题目中，检验是否符合题目要求。 五、相遇问题的注意事项 1、注意单位：在解题过程中，要注意速度、时间和路程的单位是否一致，必要时进行单位换算。 2、理解题意：要认真理解题目中的条件，特别是“同时出发”、“相向而行”等关键词，确保解题方向正确。 3、画图辅助：画图可以帮助我们更直观地理解题目，找到解题的关键信息。 【典例1】甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车在距离A地30千米处与乙车相遇。相遇后两车继续前行，分别到达B、A两地后立即返回，途中在距离B地21千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】69千米 【分析】第一次相遇时，两车共行了一个A、B两地间的距离，其中从A地出发的甲车行了30千米，即每行一个A、B两地间的距离，从A地出发的甲车就行30千米；第二次相遇时，两车共行了三个A、B两地间的距离，则从A地出发的甲车行了（30×3）千米，这时甲车行驶了一个A、B两地间的距离多21千米，所以A、B两地间的距离是（90－21）千米。 【详解】30×3－21 ＝90－21 ＝69（千米） 答：A、B两地相距69千米。 【典例2】一辆货车和客车同时从甲乙两地相对开出，货车每小时行60千米，客车的速度是货车的1.4倍，经过3小时后两车交错而过相距25千米，甲乙两地相距多少千米？ 【答案】407千米 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，客车速度＝货车速度×1.4，两车速度和×经过时间＝路程和，两车交错而过相距25千米，两车路程和－相距距离＝甲乙两地距离，据此列式解答。 【详解】（60＋60×1.4）×3－25 ＝（60＋84）×3－25 ＝144×3－25 ＝432－25 ＝407（千米） 答：甲乙两地相距407千米。 【名师点评】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，掌握小数乘法的计算方法。 【典例3】A、B两地间的公路全长375千米。甲、乙两辆货车从A、B两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。如果甲货车每小时行驶65千米，乙货车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 【答案】60千米 【分析】根据题意可得等量关系式：速度和×相遇时间＝路程，甲货车每小时行驶65千米，假设乙货车每小时行驶x千米，代入未知数然后列方程求解即可。 【详解】解：设乙货车每小时行驶x千米。 （65＋x）×3＝375 65＋x＝375÷3 65＋x＝125 x＝125－65 x＝60 答：乙货车每小时行驶60千米。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量关系及应用，即速度和×相遇时间＝路程。 【典例4】在比例尺的地图上，量得甲乙两地之间的距离为4厘米，A、B两辆汽车同时从甲乙两地相对开出，7.5小时两车相遇，A车与B车的速度比是，两车的速度分别是多少千米时？ 【答案】70千米时；90千米时 【分析】甲、乙两地的实际距离图上距离比例尺，A、B两辆汽车的速度和相遇路程相遇时间，把A、B两辆汽车的速度和平均分成（7＋9）份，分别计算出7份和9份是多少千米时。 【详解】4÷＝120000000（厘米） 120000000厘米=1200千米 1200÷7.5＝160（千米时） 160×＝70（千米时） 160×＝90（千米时） 答：A车的速度是70千米时，B车的速度是90千米时。 【名师点评】本题综合考查比例尺、相遇问题、按比例分配知识点，综合运用上述知识点解决实际问题。 【典例5】一辆客车和一辆轿车同时从相距1800千米的两地相向而行，9小时后相遇，客车与轿车的速度比是2：3．相遇时，客车与轿车的速度分别是多少千米？ 【答案】客车的速度是80千米/小时，轿车的速度是120千米/小时． 【详解】试题分析：总路程除以相遇的时间就是两者的速度和，然后把速度和按照客车的速度：轿车的速度=2：3的比例分配即可． 解：1800÷9=200（千米）； 总份数是：3+2=5（份）； 客车速度为：200×=80（千米）， 轿车速度为：200×=120（千米）； 答：客车的速度是80千米/小时，轿车的速度是120千米/小时． 点评：本题考查了相遇问题的数量关系：速度和=路程÷相遇时间，再把速度和按速度比进行分配即可． 1．甲、乙两辆汽车同时从两地出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是4∶5，两车在离中点18千米处相遇。两地相距多少千米？ 2．货车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城，2小时后，客车才以每小时80千米的速度从乙城开往甲城，再经过2.5小时两车相遇。甲、乙两城相距多少千米？ 3．甲乙两辆货车同时从相距1000km的两地相对开出，5小时后两车相遇，甲车每时行95km，乙车每时行多少千米？ 4．客车和货车于14：00同时从相距的甲、乙两地相对开出。客车每时行，货车每时行，两车在什么时刻相遇？ 5．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行55千米，经过2小时相遇。A、B两地相距多少千米？ 6．甲车从A地开往B地需要2小时，乙车从B地开往A地需要3小时，两车同时从两地相对开出，在离中点15千米处相遇。 （1）请在下面线段图上用“▼”标出两车相遇的大致位置。 （2）A、B两地相距多少千米？ 7．长江自西向东横贯泸州市境内，甲、乙两船分别从泸州境内的东、西两地同时相向而行。甲船每小时行20千米，乙船每小时行14千米。经过4时后两船相遇，泸州境内的长江航线有多少千米？ 8．甲乙两辆列车同时从相距1620千米的两城相对开出，经过6小时相遇，已知甲车每小时比乙车快，那么乙车的速度是多少千米？ 9．张家界至长沙的高速路全长约308千米。一辆客车以100千米/时的速度从张家界出发开往长沙，同时有一辆载重货车以75千米/时的速度从长沙出发开往张家界。两车同时出发多少小时后还相距28千米？（用方程法解答） 10．聪聪和佳佳在400米长的跑道上快速步行，聪聪每分钟走60米，佳佳每分钟走40米。 （1）如果两人从同一点出发背向而行，第一次相遇时聪聪比佳佳多走多少米？ （2）如果两人同向而行，经过多少时间，聪聪比佳的多走1圈。 11．甲乙两辆汽车分别从A、B两城同时相向开出，甲车每小时行58千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点30千米处相遇。问A、B两城相距多少千米？ 12．苹苹和壮壮从相距3000米的河滨绿道两端同时相对而行，苹苹每分行55米，壮壮每分行65米，多长时间后两人相距600米？（两人未相遇） 13．西安到重庆大约688千米，甲乙两辆汽车从西安、重庆同时相向开出，4小时后两车相遇，已知甲车每小时行驶82千米，求乙车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 14．客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行，经过12.5小时后两车相遇。已知客车平均每小时行驶48千米，货车与客车速度的比是7∶8，甲、乙两地相距多远？ 15．一辆客车和一辆货车分别从相距905千米的甲、乙两地同时相对开出，5小时后相遇，客车每小时行驶86千米，货车每小时行驶多少千米？ 16．从昆明到重庆之间的铁路长680千米，一辆高铁和一辆火车同时从两地相对开出，2.5小时相遇，高铁每小时行184千米，火车每小时行驶多少千米？ 17．甲、乙两车同时从相距280千米的两地相对开出，经过2.5小时相遇，甲车每小时行52千米，乙车每小时行多少千米？ 18．甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，经过2.5小时后两车在途中相遇；已知甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是甲车速度的。问A、B两地之间的路程大约是多少千米？ 19．甲乙两艘轮船分别从甲乙两港同时开出，经过5个小时相遇，甲船每小时行45千米，乙船每小时行38千米，甲乙两港相距多少千米？ 20．甲、乙两城间的公路长504千米，客车与货车同时分别从甲、乙两城出发。客车的速度是货车的1.4倍，出发后3.5小时两车相遇。货车每小时行多少千米？ 21．甲乙两城相距600千米，一辆小汽车从甲城去乙城，同时一辆大客车从乙城去甲城。4时后，小汽车行驶了全程的80%，大客车行驶的路程与未行驶的路程的比是3∶1。 （1）4时后，大客车行驶的路程是全程的（    ）%。 （2）此时两车相距多少千米？（写出必要的解答过程） 22．甲、乙两人从山脚下同一点沿一条道路同时出发，进行爬山比赛，他们下山速度都是各自上山速度的2倍，当甲爬到山顶时，乙离山顶还有72米。当甲回到山脚下，乙已返回到半山腰，山下到山顶的路程是多少米？ 23．如图：父子两人同时从A点出发，沿长方形ABCD的操场背向而行，儿子的速度是父亲的，不久，两人在距C点12米的E处相遇，求长方形操场的周长。 24．王老师在离家25千米的乔乐学校上班，到学校后发现昨天带回家批改、今天要讲解的试卷落在了家里，立马通知还在格林郡家中的老公骑电动车送过来，为赶时间，王老师同时开车出发，经过15分钟两人在途中相遇。已知汽车平均每小时比电动车快20千米，求汽车、电动车速度分别是多少千米/时？（列方程解答） 25．甲、乙两车同时从相距660千米的两地相向开出，4小时后相遇，已知甲车每小时行驶80千米。乙车每小时行驶多少千米？（用方程解） 26．甲、乙两车同时从相距351千米的两地相对开出，3小时后相遇。甲、乙两车的速度比是5∶4，甲、乙两车的速度各是多少？ 27．A、B两地相距1200千米，甲乙两车分别A、B从出发，甲车速度是80千米/时，乙车速度是120千米/时，两车同时出发，相遇点离中点多少千米？ 28．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？ 29．两辆货车分别从甲、乙两城同时相对开出，大货车平均每小时行84千米，小货车平均每小时行76千米，5小时后两车在高速服务区相遇。甲、乙两城相距多少千米？（先画图整理信息和问题，再解答） 30．甲、乙两地间相距585千米，客车和货车同时从两地相对开出，已知客车每小时行70千米，货车每小时行60千米，经过几小时两车相遇？（列方程解答） 31．在一幅比例尺为1∶12000000的地图上，量得A、B两地的距离为7.5厘米，甲、乙两车从两地相对开出，经过5小时相遇，已知甲、乙两车的速度比是5∶4，甲车的速度是多少？ 32．在比例尺是1∶2000000的地图上，量得两个城市之间的铁路长是40厘米。甲乙两列火车同时两地出发相对开出，4小时相遇。已知甲车与乙车速度的比是3∶2，甲车每小时行多少千米？ 33．一辆货车和一辆轿车分别从甲城、乙城同时相对开出，3小时相遇。已知货车平均每小时行驶75千米，轿车平均每小时行驶85千米，甲城和乙城相距多少千米？（先画线段图整理条件和问题，再解答。） （1）线段图： （2）列式解答： 34．一辆面包车和一辆轿车分别从乐陵市、威海市同时相对开出，3小时相遇。已知面包车平均每小时行驶80千米，轿车平均每小时行驶100千米，乐陵市和威海市相距多少千米？ 35．在比例尺是的地图上，量得张家口、衡水两地间的距离是6厘米。甲、乙两辆汽车同时分别从张家口、衡水两地开出，相向而行，4小时后相遇。甲车与乙车的速度比是13∶11，甲车每小时比乙车多行多少千米？ 36．A、B两地之间的路程是480千米，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，相向而行，经过4小时相遇。甲车每小时行55千米，乙车每小时行多少千米？ 37．李红把数学书落在学校，王老师从学校帮她送书。李红和王老师分别从家和学校同时出发，相对而行，经过半小时相遇。李红行走的速度是60米/分。王老师行走的速度是90米/分。李红家距离学校多少米？（先画图整理条件和问题，再解答） 38．客车以每小时70千米的速度从甲地开出，3小时后，一辆货车以每小时60千米的速度从乙地开出，5小时后与客车相遇，甲，乙两地相距多少千米？ 39．王叔叔和刘叔叔同时从相距437km的两地相对开车出发，王叔叔每小时行60km，刘叔叔每小时的速度是王叔叔的，几小时后两车还相距59km？ 40．甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行82千米，乙车每小时行76千米，两车出发后4.8小时相遇，两地之间的公路长多少千米？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．324千米 【分析】因为两车同时出发，相遇时间一定，所以，路程比等于速度比，即相遇时甲、乙两车行驶的路程比为4∶5；然后由“距中点18千米处相遇”可以知道，相遇时乙车比甲车多行（18×2）千米；用多行的距离除以乙车比甲车多的（5－4）份，求出一份数；再用一份数乘总份数（4＋5）份，即可求出两地的距离。 【详解】18×2÷（5－4） ＝36÷1 ＝36（千米） 36×（4＋5） ＝36×9 ＝324（千米） 答：两地相距324千米。 【名师点评】明确在行程问题中，时间一定时，路程比等于速度比，关键是掌握比的应用的解题方法。 2．470千米 【分析】根据速度×时间＝路程，2小时后，货车已走2×60＝120（千米），此时客车才以每小时80km的速度从乙城开往甲城，再经过2.5小时两车相遇，根据速度×时间＝路程，2.5小时两车所走的路程为（60＋80）×2.5，把它们的路程相加即可作答。 【详解】60×2＋（60＋80）×2.5 ＝60×2＋140×2.5 ＝120＋350 ＝470（千米） 答：甲、乙两城相距470千米。 3．105千米 【分析】根据题意，5小时两车共行了1000km，然后求出两车的速度和，再减去甲车的速度，就是乙车的速度，即知道乙车每时行多少千米。 【详解】1000÷5－95 ＝200－95 ＝105（km） 答：乙车每时行105千米。 【名师点评】此题解答的关键在于求得两车的速度和。 4．20∶30 【分析】这是简单的相遇问题，已知两地相距637km，客车每小时行48km，货车每小时行50km，可以利用相遇问题的公式直接求出相遇时间，再用出发时间加上两车相遇时间即为两车最终相遇的时刻。 【详解】637÷（48＋50） ＝637÷98 ＝6.5（时） 14时＋6小时30分＝20时30分 答：两车在20∶30相遇 【名师点评】本题主要考查学生对于相遇问题的理解及运用，求出相遇时间是解答本题的关键。 5．345千米 【分析】甲车每小时行60千米，乙车每小时行55千米，根据速度×时间＝路程，用两车的速度之和乘相遇用的时间，求出A、B两地相距多少千米，列式解答即可。 【详解】（60＋55）×2 ＝115×3 ＝345（千米） 答：A、B两地相距345千米。 【名师点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程三者的关系，即速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间。 6．（1）见详解；（2）150千米 【分析】（1）把AB两地之间的路程看作单位“1”，由于甲的速度比乙的速度快，所以相遇时甲行驶的路程超过中点15千米，据此作图即可。 （2）根据速度＝路程÷时间，把AB两地之间的路程看作单位“1”，甲、乙速度的比为∶＝3∶2；根据时间相同，路程和速度成正比例，所以时间相同，路程比＝速度比，因为相遇时所花的时间相同，所以可以求出甲、乙行驶路程的比为3∶2，甲行驶了全程的，乙行驶了全程的；相遇时甲车比乙车多行驶了（15×2）千米，由此可以求出（15×2）千米占全程的几分之几，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】（1）如图： （2）甲、乙速度的比为∶＝3∶2 时间相同，路程比＝速度比 所以甲、乙行驶路程的比为3∶2，甲行驶了全程的，乙行驶了全程的； （15×2）÷（－） ＝30÷ ＝150（千米） 答：A、B两地相距150千米。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，关键是求出相遇时甲比乙多行驶的路程占全程的几分之几。 7．136千米 【分析】根据路程＝速度×时间，先用甲船每小时行驶的路程乘4小时，求出甲船行驶的路程，同理，再求出乙船行驶的路程，然后相加就是总路程，也就是泸州境内的长江航线的长度。据此解答即可。 【详解】20×4＋14×4 ＝（20＋14）×4 ＝34×4 ＝136（千米） 答：泸州境内的长江航线有136千米。 8．120千米 【分析】由题意可知，设乙车的速度是x千米，则甲车每小时行驶（1＋）x千米，根据相遇问题中的等量关系：速度和×相遇时间＝相遇的路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙车的速度是x千米，则甲车每小时行驶（1＋）x千米。 [x＋（1＋）x]×6＝1620 x×6＝1620 x＝1620 x＝1620÷ x＝120 答：乙车的速度是120千米。 【名师点评】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 9．1.6小时 【分析】由题意可知，设两车同时出发x小时后还相距28千米，根据等量关系：（客车的速度＋货车的速度）×行驶的时间＝308－28，据此列方程解答即可。 【详解】解：设两车同时出发x小时后还相距28千米。 （100＋75）x＝308－28 175x＝280 175x÷175＝280÷175 x＝1.6 答：两车同时出发1.6小时后还相距28千米。 10．（1）80米 （2）20分钟 【分析】根据题意可知聪聪和佳佳在400米长的跑道上快速步行，两人从同一点出发背向而行，就是相遇问题，要求第一次相遇时聪聪比佳佳多走的米数，先求出相遇时的时间，用时间乘速度差。如果两人同向而行，就是追及问题，追及问题要求聪聪比佳的多走1圈，用路程差除以速度差就是经过时间。 【详解】（1）400÷（60＋40）×（60－40） ＝400÷100×20 ＝4×20 ＝80（米） 答：第一次相遇时聪聪比佳佳多走80米。 （2）400÷（60－40） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：经过20分钟，聪聪比佳的多走1圈。 【名师点评】追击问题用到速度差，相遇问题用到速度和，此题考查生活中的实际问题。 11．636千米 【分析】两车在距中点30千米处相遇，说明甲比乙多走2个30千米，再除以甲比乙1小时多走的路程，就等于甲乙两辆汽车走的时间。最后根据“路程＝速度之和×相遇时间”计算出A、B两城的距离即可。 【详解】30×2＝60（千米） 58－48＝10（千米/时） 60÷10＝6（小时） （58＋48）×6 ＝106×6 ＝636（千米） 答：A、B两城相距636千米。 【名师点评】此题考查的是相遇问题的计算，先计算出甲乙两辆汽车走的时间是解答此题的关键。 12．20分钟 【分析】两人行走的路程是（3000－600）米，等量关系：苹苹行走的路程＋壮壮行走的路程＝行走总路程，先设出未知数，再根据等量关系列方程解答即可。 【详解】解：设x分后两人相距600米。   55x＋65x＝3000－600 120x＝2400 x＝20 答：20分钟后两人相距600米。 【名师点评】此题考查了方程解决实际问题，明确两人行走的路程之和是解题关键。 13．90千米 【分析】由题可知，“甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝688千米”，设乙车每小时行驶x千米，根据等量关系列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行驶x千米。 82×4＋4x＝688 328＋4x＝688 4x＝688－328 4x＝360 x＝360÷4 x＝90 答：乙车每小时行驶90千米。 【名师点评】本题主要考查列方程解决实际问题，关键是找出等量关系。 14．1125千米 【分析】因为货车与客车速度的比是7∶8，所以货车速度是客车速度的，根据求一个数的几分之几是多少，用客车速度乘即可求出货车速度；再根据路程＝速度和×相遇时间，即可求出甲、乙两地相距多远。 【详解】7÷8＝ 48×＝42（千米/时） （48＋42）×12.5 ＝90×12.5 ＝1125（千米） 答：甲、乙两地相距1125千米。 【名师点评】解决本题的关键是能根据货车与客车的速度比，先求出货车的速度，再根据速度和×相遇时间＝总路程，即可求解。 15．95千米 【分析】根据速度和＝路程÷相遇时间，求出两车的速度和，再减去客车的速度，就是货车的速度，据此解答即可。 【详解】905÷5－86 ＝181－86 ＝95（千米/小时） 答：货车每小时行驶95千米。 【名师点评】本题的关键是根据速度＝路程÷时间，求出两车的速度和，再根据减法的意义列式解答。 16．88千米 【分析】根据路程＝速度和×时间，可知火车的速度＝路程÷时间－高铁的速度。代入数值进行计算即可。 【详解】680÷2.5－184 ＝272－184 ＝88（千米） 答：火车每小时行驶88千米。 【名师点评】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 17．60千米 【分析】已知甲、乙两车同时从相距280千米的两地相对开出，经过2.5小时相遇，根据相遇问题中“路程÷相遇时间＝速度和”，求出两车的速度之和，再用速度之和减去甲车的速度，即可求出乙车的速度。 【详解】280÷2.5－52 ＝112－52 ＝60（千米） 答：乙车每小时行60千米。 18．405千米 【分析】根据题意，乙车的速度是每小时90×＝72（千米），然后求出两车的速度和，用速度和乘相遇时间，即可解决问题。 【详解】（90＋90×）×2.5 ＝（90＋72）×2.5 ＝162×2.5 ＝405（千米） 答：A、B两地之间的路程大约是405千米。 【名师点评】此题解答的关键在于求出速度和，运用关系式：速度和×相遇时间＝路程，解决问题。 19．415千米 【分析】先将两艘轮船的速度相加，再根据路程＝速度×时间，用速度和乘行驶的时间，求出甲乙两港的距离。 【详解】（45＋38）×5 ＝83×5 ＝415（千米） 答：甲乙两港相距415千米。 20．60千米 【分析】用路程和÷相遇时间，先求出速度和，将货车速度看作1，客车速度是1.4，共1＋1.4，用速度和÷倍数和，求出一倍数，就是货车速度。 【详解】 答：货车每小时行60千米。 【名师点评】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，掌握和倍问题的解题方法，求出一倍数。 21．（1）75；（2）330千米；解题过程见详解 【分析】（1）把甲、乙两城的距离看作单位“1”，由“大客车行驶的路程与未行驶的路程的比是3∶1”可知，大客车行了全程的，化成百分数即可。 （2）根据百分数乘法的意义，用甲、乙两城的距离乘小汽车、大客车所驶全程的百分率的和减1，也就是“600×（80%＋75%－1）”，就是此时两车相距的距离。 【详解】（1）＝＝0.75＝75% 所以，4时后，大客车行驶的路程是全程的75%。 （2）600×（80%＋75%－1） ＝600×55% ＝330（千米） 答：此时两车相距330千米。 【名师点评】此题主要考查了百分数乘法的意义及应用。求一个数的百分之几是多少，用这个数乘百分率。关键明白：用甲、乙两城的距离乘小汽车、大客车所驶全程的百分率的和减1，就是此时两车相距的路程。 22．432米 【分析】根据题意，我们可以先把山顶到山下的距离看作是单位“1”，同时假设甲乙两人到达山顶后继续上行；由题意可知，他们下山速度都是各自上山的2倍，所以甲下山的路程相当于上山路程的，同理可知，乙下山至半山腰相当于上山路程的；由甲乙两人行走的时间相同，我们可以得出甲乙两人的路程比，继而得到乙行的路程是甲的，结合“甲爬到山顶沿原路返回与乙相遇时，乙离山顶还有72米”可得算式72÷（1－），计算可得到答案。 【详解】1÷2＝ ÷2＝ 甲乙的路程比为（1＋）∶（1＋）＝6∶5 即乙行的路程是甲的 72÷（1－） ＝72÷ ＝432（米） 答：山下到山顶的路程是432米。 【名师点评】关键点：①利用甲乙二人下山的速度都是各自上山的2倍，求出甲乙二人的路程比；②把山顶到山下的距离看作是单位“1”，用分数除法计算求得答案。 23．200米 【分析】由题意可知，儿子的速度∶父亲的速度＝11∶14，时间相同时，路程比等于速度比，则儿子行驶的路程∶父亲行驶的路程＝11∶14，相遇时父亲比儿子多行驶（12×2）米，最后根据“量÷对应的分率”求出操场的周长，据此解答。 【详解】12×2÷（－） ＝12×2÷ ＝24÷ ＝200（米） 答：长方形操场的周长是200米。 【名师点评】本题主要考查分数除法的应用，求出量和对应的分率是解答题目的关键。 24．60千米/时；40千米/时 【分析】王老师取书和其老公送书的过程是相遇问题，设电动车速度为x千米/时，则汽车的速度为（x＋20）千米/时。根据“路程＝相遇时间×速度和”列方程解出x即可求出电动车的速度，进而求出汽车的速度。 【详解】解：设电动车速度为x千米/时，则汽车的速度为（x＋20）千米/时。 15÷60＝0.25（小时） 0.25×（x＋x＋20）＝25 0.25×（2x＋20）＝25 0.5x＋5＝25 0.5x＋5－5＝25－5 0.5x＝20 0.5x÷0.5＝20÷0.5 x＝40 40＋20＝60（千米/时） 答：汽车速度是60千米/时，电动车速度是40千米/时。 25．85千米 【分析】已知甲的速度是每小时80千米，4小时后两车相遇，路程和为660千米，根据速度和×相遇时间＝路程和，设乙车每小时行驶x千米，然后据此列出方程（80＋x）×4＝660，然后求出x的值即可。 【详解】解：设乙车每小时行驶x千米。 （80＋x）×4＝660 （80＋x）×4÷4＝660÷4 80＋x＝165 80＋x－80＝165－80 x＝85 答：乙车每小时行驶85千米。 【名师点评】本题主要考查了相遇问题，关键在于用速度和×相遇时间＝路程和列方程解决问题。 26．甲车的速度为65千米/时，乙车的速度为52千米/时。 【分析】根据速度和＝总路程÷相遇时间，先求出甲、乙两车的速度和，再根据两车的速度比，按比例分配即可求出各自的速度。 【详解】351÷3＝117（千米） 117×＝65（千米/时） 117×＝52（千米/时） 答：甲车的速度为65千米/时，乙车的速度为52千米/时。 【名师点评】此题考查了相遇问题与按比例分配的综合应用，先求出两车的速度之和是解题关键。 27．120千米 【分析】根据“相遇时间＝路程÷速度和”，求出两车的相遇时间；然后根据“路程＝速度×时间”，求出相遇时甲车行的路程；最后用全程的一半即中点减去甲车行的路程，就是相遇点离中点的距离。 【详解】两车的相遇时间： 1200÷（80＋120） ＝1200÷200 ＝6（小时） 甲车相遇时行了：80×6＝480（千米） 全程的中点：1200÷2＝600（千米） 相遇点离中点：600－480＝120（千米） 答：相遇点离中点120千米。 【名师点评】本题考查相遇问题，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 28．7.5千米 【分析】根据“甲的速度每小时比乙慢3千米”，可以设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。 根据题意可知，相遇时甲行了（90－15）千米，乙行了（90＋15）千米；相遇时两人行驶的时间一样，根据路程÷速度＝时间，可得等量关系：＝，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。 （90＋15）＝（90－15）×（＋3） 105＝75（＋3） 105＝75＋225 105－75＝75＋225－75 30＝225 30÷30＝225÷30 ＝7.5 答：甲每小时行7.5千米。 【名师点评】本题考查列比例方程解决问题，关键是明确两人相遇时行驶的时间一样，然后根据速度、时间、路程之间的关系，得出等量关系，根据等量关系列出方程。 29．见详解；800千米 【分析】先结合题目要求画图； 速度和×相遇时间＝相遇路程，代数解答。 【详解】如图： ； （84＋76）×5 ＝160×5 ＝800（千米） 答： 甲、乙两城相距800千米。 【名师点评】本题主要是计算相遇问题，要熟记相遇问题求解公式，进行解答。 30．4.5小时 【分析】把两车相遇时间设为未知数，等量关系式：（客车速度＋货车速度）×相遇时间＝甲乙两地之间的总路程，据此解答。 【详解】解：设经过x小时两车相遇。 （70＋60）x＝585 130x＝585 x＝585÷130 x＝4.5 答：经过4.5小时两车相遇。 【名师点评】根据相遇问题的计算公式找出等量关系式是解答题目的关键。 31．100千米/时 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出A、B两地的实际距离，再根据“速度和＝总路程÷相遇时间”求出甲、乙两车的速度和，甲车的速度占甲、乙两车速度和的，最后用分数乘法求出甲车的速度，据此解答。 【详解】7.5÷ ＝7.5×12000000 ＝90000000（厘米） 90000000厘米＝900千米 900÷5＝180（千米/时） 180× ＝180× ＝100（千米/时） 答：甲车的速度是100千米/时。 【名师点评】本题主要考查比例尺和比的应用，掌握图上距离和实际距离换算的方法以及相遇问题的计算公式是解答题目的关键。 32．120千米 【分析】由题意可知，在比例尺是1∶2000000的地图上，量得两地间的距离是40cm，由即可求出两地间的实际距离，而甲、乙两车同时从两地相向开出，4小时后相遇，由“路程＝速度×时间”即可求出两车总的速度，再根据甲车与已车的速度比为3∶2，即可求出甲车与乙车各自的速度。 【详解】40÷＝80000000厘米＝800千米 800÷4＝200（千米） 200× ＝200× ＝120（千米） 答：甲车每小时行120千米。 【名师点评】本题主要考查了比与比例尺的应用，解答时要对题意进行正确的分析，找出相应的数量关系。 33．（1）线段图见详解过程 （2）480千米 【分析】（1）先画出一条线段表示甲城和乙城相距的路程，货车平均每小时行驶75千米和轿车平均每小时行驶85千米，同时从左右两侧向中间相对开出，3小时相遇，然后画出两辆车相遇的地方，问题是求甲城和乙城相距多少千米，由此画线段图； （2）先用（85＋75）求出货车和轿车的速度和，再根据总路程＝速度和×相遇时间解答即可。 【详解】（1）线段图：    （2）（85＋75）×3 ＝160×3 ＝480（千米） 答：甲城和乙城相距480千米。 【名师点评】本题考查了相遇问题的数量关系：总路程＝速度和×相遇时间。 34．540千米 【分析】根据题意，两辆车相对开出，先求出面包车3小时行驶的路程，再求出轿车3小时行驶的路程，最后把两个车的行驶距离加在一起即可解答本题。或先把两车的速度相加，然后用求得的和乘行的时间，据此解答。 【详解】（80＋100）×3 ＝180×3 ＝540（千米） 答：乐陵市和威海市相距540千米。 35．10千米 【分析】由线段比例尺可知图上1厘米表示实际80千米，也就是8000000厘米，由此得出实际距离为6×8000000厘米，换算成千米数；再根据速度和＝路程和÷时间求出两车的速度和；又甲车与乙车的速度比是13∶11，则甲车占速度和的，乙车占速度和的，用速度和分别乘两车所占的分率求出两车的速度，最后求速度差即可。 【详解】80千米＝8000000千米 6×8000000＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 480÷4＝120（千米） 120×－120× ＝120×－120× ＝65－55 ＝10（千米） 答：甲车每小时比乙车多行10千米。 【名师点评】本题考查图上距离与实际距离的换算、按比例分配问题及简单的相遇问题。 36．65千米 【分析】根据速度和＝路程÷相遇时间，求出甲、乙两车的速度和，然后用速度和减去甲的速度，求出的结果就是乙车的速度。 【详解】480÷4－55 ＝120－55 ＝65（千米/时） 答：乙车每小时行65千米。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量关系及应用，即速度和＝路程÷相遇时间。 37．图见详解；4500米 【分析】根据总路程＝（李红行走的速度＋王老师行走的速度）×相遇时间，先用加法求速度和，再乘相遇时间即可。 【详解】如图： （60＋90）×30 ＝150×30 ＝4500（米） 答：李红家距离学校4500米。 38．860千米 【分析】根据题意知道，甲乙两地的距离就是客车（3＋5）小时行驶的路程加上货车5小时行驶的路程。根据路程＝速度×时间，列式计算即可。 【详解】70×（3＋5）＋60×5 ＝70×8＋300 ＝560＋300 ＝860（千米） 答：甲，乙两地相距860千米。 【名师点评】本题考查相遇问题，要分别明确甲、乙行驶的时间，再根据路程、速度和时间的关系列式解答。 39．3.5小时 【分析】分析可知，行驶的总路程是437km减去59km，根据刘叔叔每小时的速度是王叔叔的，可知刘叔叔的速度用60乘。根据公式“总路程＝时间×速度和”，列式即可。 【详解】（437－59）÷（60＋60×） ＝378÷（60＋48） ＝378÷108 ＝3.5（小时） 答：3.5小时后两车还相距59千米。 【名师点评】解决本题的关键是对于公式（总路程＝时间×速度和）的灵活运用。 40．758.4千米 【分析】两地的公路长＝（甲车速度＋乙车速度）×相遇时间，据此代入数据解答。 【详解】（82＋76）×4.8 ＝158×4.8 ＝758.4（千米） 答：两地之间的公路长758.4千米。 【名师点评】此题考查了相遇问题，明确路程＝速度和×相遇时间，并要掌握小数乘法的计算法则。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$