精品解析：浙江省杭州十三中集团2024-2025学年九年级上学期数学期中试题卷

九年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2. 在 所在平面内有一点P，， 半径为 ，则点 与 位置关系是（ ） A. 在 上 B. 在 外 C. 在 内 D. 不能确定 3. 从甲、乙、丙三位同学中任选一人参加初中生数学竞赛，甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 绕点 顺时针旋转到 的位置，已知，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 如图，四边形 内接于 ，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于 、 、 、 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（ 是常数， ），下列结论正确的是（ ） A. 当 时，函数图象过点 B. 函数图象与 轴必有两个交点 C. 不论 取何值，函数图象都经过点 D. 若，则当 时， 随 的增大而减小 10. 已知 为 的外接圆， ．过 作 的垂线交 延长线于点 ，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为________（精确到0.01）． 12. 如图在平面直角坐标系中，过格点 ， ， 作一圆弧，圆心坐标是_____． 13. 一只盒子中有红球 个，白球 个，黑球 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么 与 的和是_____． 14. 已知二次函数．当时，则 的取值范围__________． 15. 如图，四边形 内接于 ，对角线 是 的直径，E为 内一点，满足 且 ．若， ，则弦 的长为________． 16. 二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的对称轴是直线 ，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ① ；②；③方程有两个不相等的实数根；④（ 为任意实数）．其中正确的是_____．（填写序号） 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．） 17. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 18. 如图， 是 的直径，点 是 上一点，连接 ， ， 于 ，交 于点 ． （1）求证：； （2）若 ， ，求 的半径． 19. 作图题，根据要求作出以下图形： （1）在图1网格中直接画出 绕点 逆时针旋转的图形； （2）在图2中，已知线段 ，尺规作图作出经过 ， 两点的所有圆中最小的圆．（要求保留作图痕迹） 20. 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育电点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间单位：小时 A B C D E （1）扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 21. 某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量 （件）与每件销售价 （元）的关系数据如下： 30 32 34 36 40 36 32 28 （1）已知 与 满足一次函数关系，根据上表，求出 与 之间的关系式； （2）设该商店每天销售这种商品所获利润为 （元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？ 22. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离 称跨度，桥面最高点到 的距离 称拱高，当 和 确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度 米，拱高 米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 23. 已知二次函数（ 是常数，且） （1）证明：不论 取何值时，该二次函数图象总与 轴有两个交点； （2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； （3）若二次函数图象与 轴两个交点的横坐标分别为，（其中）， 是关于 的函数．且，当时，求 的取值范围． 24. 如图，在 中，， 是 的直径， 与边 交于点 ， 为的中点，连接 ，与 交于点 ． （1）若，求的大小； （2）求证：； （3）若 ，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于 ，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 2. 在 所在平面内有一点P，， 半径为 ，则点 与 位置关系是（ ） A. 在 上 B. 在 外 C. 在 内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点 到圆心 的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， 的半径 ，且 ， ∴点 在 外， 故选： ． 3. 从甲、乙、丙三位同学中任选一人参加初中生数学竞赛，甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用概率公式计算简单事件的概率，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵从甲、乙、丙三位同学中任选一人参加初中生数学竞赛，共有3种等可能情况， ∴甲被选中的概率为． 故选：A 4. 如图， 绕点 顺时针旋转到 的位置，已知，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 绕点 顺时针旋转到 的位置， ∴， ∴， 故选： ． 5. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性即可得到函数图象的对称轴． 【详解】解： ， 令 ，则 或 ， 函数图象与x轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：D． 6. 如图，四边形 内接于 ，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形 内接于 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 二次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由知二次函数的a=b=m＜0，,通过二次函数的性质判断开口方向，对称轴确定答案 【详解】∵ ∴二次函数的a=b=m＜0；c=0. a＜0，开口向下；a，b同号对称轴在y轴左边；c=0过原点；故选A 【点睛】判断二次函数图像主要通过开口方向，对称轴及与y轴的交点判断，所以本题先要通过解析式来确定二次函数中a，b，c与0的大小关系，从而判断二次函数的图像． 8. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于 、 、 、 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出 ， 的长，设，由勾股定理得到，求出 的值，得到 的长，由勾股定理求出 长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心 ，过点O作 于N，交 于点M，连接 ， ， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 9. 已知函数（ 是常数， ），下列结论正确的是（ ） A. 当 时，函数图象过点 B. 函数图象与 轴必有两个交点 C. 不论 取何值，函数图象都经过点 D. 若，则当 时， 随 的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的图象性质，利用数形结合的思想解答． 根据函数解析式和二次函数的图象性质，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、当 时，函数解析式为， 当 时， ， ∴函数图象不过点，故此选项不符合题意； B、∵ ∴ 当时， ，函数图象与 轴有两个交点； 当时，，函数图象与 轴没有交点；故此选项不符合题意； C、当 时，， ∴不论 取何值，函数图象都经过点，故此选项符合题意； D、∵函数， ∴抛物线对称轴为， 又∵， ∴当 时， 随 的增大而增大，故此选项不符合题意； 故选：C． 10. 已知 为 的外接圆， ．过 作 的垂线交 延长线于点 ，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，连接 ，根据 得到 垂直平分 ，据此逐个判断即可． 【详解】解：连接 交 于 ，延长 交 于 ，连接 ， ∵ ， ∴，， ∴ 垂直平分 ， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴当时成立，故A选项不一定成立； ∵过 作 的垂线交 延长线于点 ， ∴， ， ∴，，， ∴，故B选项一定成立； ∵所对圆周角，对圆周角， 与大小不确定， ∴与大小不确定，即 与大小不确定，故C选项不一定成立， ∵ 中， ∴， ∵中， ∴，故D选项一定不成立， 综上所述，选项一定成立的是B， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为________（精确到0.01）． 【答案】0.90 【解析】 【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.90左右，从而得到结论． 【详解】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.90左右， ∴该植物的种子发芽的概率为0.90， 故答案为：0.90． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 如图在平面直角坐标系中，过格点 ， ， 作一圆弧，圆心坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理的推论，掌握垂径定理的推论，坐标与图形的关系是解题的关键． 根据垂径定理的推理“垂直平分弦的直线经过圆心”，分别连接 ，并作 的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ，分别作 的垂直平分线 交于点 ， ∴， 故答案为： ． 13. 一只盒子中有红球 个，白球 个，黑球 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么 与 的和是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：红球 个，白球 个，黑球 个， ∴取出白球的概率为，取出的不是白球的概率为， ∵取得白球的概率与不是白球的概率相同， ∴， ∴， 当时，原分式方程有意义， ∴ 与 的和是 ， 故答案为：  ． 14. 已知二次函数．当时，则 的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，已知自变量的值求函数值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．将二次函数的解析式化为顶点式，得到二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上，再分别计算出当 时，当 时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：， ∴二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上， 当 时， ； 当 时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 15. 如图，四边形 内接于 ，对角线 是 的直径，E为 内一点，满足 且 ．若， ，则弦 的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 延长 交 于M，延长 交 于N，先由圆周角定理的推论证明 ，再证明四边形 是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：延长 交 于M，延长 交 于N， ∵ ， ， ∴， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴证明四边形 是平行四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的对称轴是直线 ，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ① ；②；③方程有两个不相等的实数根；④（ 为任意实数）．其中正确的是_____．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象的开口，与轴的交点，对称轴直线 是函数值最大，由此分析即可，掌握二次函数图象确定二次函数系数的符号是解题的关键． 根据图象开口，与轴的交点可得，当 时，，可判定①②；根据一元二次方程根据与系数的关系可判定③；根据对称轴直线 是函数值最大，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，图象开口向下，与 轴交于正半轴， ∴， ∵图象的对称轴是直线 ， ∴，则， ∴，故①正确； 根据图示，当 时，， ∵，则， ∴，整理得，， ∴，故②错误； 方程中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 当 时，是二次函数的最大值， ∴（ 为任意实数）, ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．） 17. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】（1） （2）点在这条抛物线的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出 的值即可； （2）计算 时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得 ， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：把 代入，得， ∴点在这条抛物线的图象上． 18. 如图， 是 的直径，点 是 上一点，连接 ， ， 于 ，交 于点 ． （1）求证：； （2）若 ， ，求 的半径． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，掌握直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）根据垂径定理可得，，设 的半径为 ，则，在 中，由勾股定理得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设 的半径为 ， ∵ ， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ， ∴ 的半径为 ． 19. 作图题，根据要求作出以下图形： （1）在图1网格中直接画出 绕点 逆时针旋转的图形； （2）在图2中，已知线段 ，尺规作图作出经过 ， 两点的所有圆中最小的圆．（要求保留作图痕迹） 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转变换，垂径定理推论的运用，理解旋转的概率及性质，垂直平分弦的直线经过圆心，掌握旋转的性质，垂径定理的推论是解题的关键． （1）根据旋转的性质， 绕点 逆时针旋转 的图形，对应边相互垂直，由此即可作图； （2）根据垂直平分弦的直线经过圆心，即圆心在线段 的垂直平分线上，当线段 是直径时，圆最小，由此即可作图． 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下， ∴即为所求图形； 【小问2详解】 解：根据垂直平分弦的直线经过圆心， 分别以点 为圆心，以大于的长为半径画弧交于点 ； 连接 与 交于点 ，并向两边无限延伸 ； 以点 为圆心，以 画圆，得 与直线 交于点，此时直径为 ； 以点为圆心，以 画圆，得与直线 交于点，此时半径为 ，且； 以此类推，作图如下， ∴当线段 是直径时，圆最小． 20. 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育电点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间单位：小时 A B C D E （1）扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图表，利用树状图法求概率，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1） 类学生人数除以所占的比例求出总人数，360度乘以 类学生所占的比例求出圆心角的度数； （2）求出D类的人数，补全条形图即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：； 【小问2详解】 D类的人数为（人）， 补全条形统计图，如图， 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种． 21. 某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量 （件）与每件销售价 （元）的关系数据如下： 30 32 34 36 40 36 32 28 （1）已知 与 满足一次函数关系，根据上表，求出 与 之间的关系式； （2）设该商店每天销售这种商品所获利润为 （元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售单价为35元时，获得利润最大，最大利润是450元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是找到题中的等量关系并列出函数解析式． （1）待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据题意得，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为 ，根据题意，得： ， 解得 ， ∴y与x之间的关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， ∵， ∴当时，w的值最大， ，符合题意， ∴当销售单价为35元时，获得利润最大，最大利润是450元． 22. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离 称跨度，桥面最高点到 的距离 称拱高，当 和 确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度 米，拱高 米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】（1） （2）12.5米 （3） ①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥； 理由：①若设计成抛物线型时，当 时，， 米 米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设 米， 过点 作 交弧 于点 ，过点 作 交于 点，连接 ， 米， 在 中，， ， 米， 米， 米， 米 米， 货船能顺利通过该桥． 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为 ，将点 代入，求出 的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为 ，连接 交 于 点，连接 ，在 中，，解得 ，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当 时，，由米 米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设 米，过点 作 交弧 于点 ，过点 作 交于 点，连接 ，在 中，，求出 米，可得 米，再由2.5米 米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， 设抛物线的解析式为 ， ， 解得， 抛物线的解析式为 ， 即 ； 【小问2详解】 解：设圆心为 ，连接 交 于 点，连接 ， ， ， ， ， 在 中，， ， 解得 ， 该圆弧所在圆的半径12.5米； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 23. 已知二次函数（ 是常数，且） （1）证明：不论 取何值时，该二次函数图象总与 轴有两个交点； （2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； （3）若二次函数图象与 轴两个交点的横坐标分别为，（其中）， 是关于 的函数．且，当时，求 的取值范围． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） （3） 或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与 轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与 轴交点的判定方法“，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键． （1）根据二次函数与 轴交点的判定方法进行判定即可； （2）当时，点 是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出 的值，代入即可求解； （3）分别用含 的式子表示出，再代入，得到 是关于 的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 证明：在二次函数中， ∵， ∴不论 取何值时，该二次函数图象总与 轴有两个交点； 【小问2详解】 解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点， ∴当时，点 是二次函数上关于对称轴对称的两个点， ∴二次函数对称轴为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； 【小问3详解】 解：令 ，则， ∵， ∴， ∵， 解得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，， 解得，， ∴当时， 或． 24. 如图，在 中，， 是 的直径， 与边 交于点 ， 为的中点，连接 ，与 交于点 ． （1）若，求的大小； （2）求证：； （3）若 ，，求的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，圆周角定理及其推论，直角三角形两锐角互余求解即可； （2）根据圆周角定理及其推论，三角形外角的性质证明，即可得出结论； （3）连接 ，设，则，，证明，得，即，解得，又由勾股定理，得，即，解得：，则， ， ，由勾股定理，得，得到，继而可求得，由（2）知，得出，然后根据三角形中线性质由求解即可． 【小问1详解】 解：连接 ，如图， ， ∴ ， ∴，， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∵ 为的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图， ， ∴ ∵ 是 的直径， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵ 为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ． 【小问3详解】 解：连接 ，如图， ∵ 是 的直径， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵ 为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ，即， ∴ 由勾股定理，得，即 解得：， ∴， ， ， 由勾股定理，得， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $