第七章 概率 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

章末综合提升 　 第七章　概率 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 分层探究 提升能力 返回 探究点一　互斥事件与对立事件 在数学考试中，小王的成绩不小于90分的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，小于60分(不及格)的概率是0.07.求： (1)小王在数学考试中取得不小于80分成绩的概率； 解：设“小王的成绩不小于90分”、“在80～89分”，“小于60分”分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥． 设“小王的成绩不小于80分”为事件D， 则D＝A∪B， 所以P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ＝0.18＋0.51＝0.69. 例1 (2)小王数学考试及格的概率． 解：设“小王的成绩不小于90分”、“在80～89分”，“小于60分”分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥． 设“小王数学考试及格”为事件E，由于事件E与事件C为对立事件， 所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93. 规律方法 求复杂事件的概率常用的两种方法 1．将所求事件转化成彼此互斥的事件的和． 2．先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P( )求解．　　 对点练1.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.求： (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； 解：记A表示事件“该车主购买甲种保险”；B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”． 由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B， 所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 解：记A表示事件“该车主购买甲种保险”；B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”． 因为D与C是对立事件， 所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 探究点二　古典概型 甲、乙两台机床同时生产一种螺钉，现随机抽取这两台机床生产的螺钉各100颗进行重量检测(单位：克)，检测结果统计如下： 例2 重量区间 (99.5，99．7) [99.7，99.9) [99.9，100.1) [100.1，100.3) [100.3，101.5] 甲机床 7 12 45 32 4 乙机床 3 18 45 28 6 等次 四等品 三等品 一等品 二等品 四等品 品质 不合格 合格 不合格 (1)试分别估计甲机床、乙机床生产的螺钉品质为不合格的概率； 重量区间 (99.5，99．7) [99.7，99.9) [99.9，100.1) [100.1，100.3) [100.3，101.5] 甲机床 7 12 45 32 4 乙机床 3 18 45 28 6 等次 四等品 三等品 一等品 二等品 四等品 品质 不合格 合格 不合格 (2)从两台机床生产的品质为合格的螺钉中，按等次采用分层抽样的方法抽取6个螺钉，从这6个中任意抽取3颗，求这3颗中至少有两颗是一等品的概率． 设为a，b，c，则非一等品有6－3＝3颗，设为d，e，f， 重量区间 (99.5，99．7) [99.7，99.9) [99.9，100.1) [100.1，100.3) [100.3，101.5] 甲机床 7 12 45 32 4 乙机床 3 18 45 28 6 等次 四等品 三等品 一等品 二等品 四等品 品质 不合格 合格 不合格 从这6个中任意抽取3颗，有(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种， 其中至少有两颗是一等品有10种， 所以3颗中至少有两颗是一等品的概率为＝ . 规律方法 古典概型概率计算问题的关注点 1．判断：该试验类型是否为古典概型问题． 2．关键：写出样本空间所包含的样本点及所求事件所包含的样本点． 3．注意：(1)弄清“放回”抽取还是“不放回”抽取；(2)灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式．　　 对点练2.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用x表示第一次抛掷出现的点数，用y表示第二次抛掷出的点数，用(x，y)表示这个试验的一个样本点． (1)记A＝“两次点数之和大于9”，B＝“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率； 解：由题意知，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，共有36个样本点， 其中事件A＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即事件A包含6个样本点， 所以事件A的概率为P(A)＝ . 返回 又由事件B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)}， 即事件B中包含11个样本点，所以事件B的概率为P(B)＝ . 返回 (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若xy为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 解：设事件C＝“xy为偶数”，事件D＝{(x，y)|x∈{1，3，5}，y∈{2，4，6}}， 事件E＝{(x，y)|x∈{2，4，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}}， 因为事件D与事件E互斥，且C＝D∪E， 探究点三　频率与概率 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 例3 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； 解：事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 ＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； 解：事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一 年内出险次数大于1且小于4的频率为 ＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 解：由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为 0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 规律方法 频率与概率问题的关注点 1．依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率． 2．频率的计算公式为频率＝ ，其中m是事件出现的频数，n为重复试验次数．　　 对点练3.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． 解：由频率估计概率可得甲获得优秀奖的概率为0.4，乙获得优秀奖的概率为0.5，丙获得优秀奖的概率为0.5，所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为0.4. 返回 (2)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 解：丙夺冠概率估计值最大． 例4 (1)求p的值； (2)求小红不能正确解答本题的概率； 解：若小红不能正确解答本题，则说明小红任何解法都不会， (3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率． 解：记事件H为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对， 规律方法 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 1．将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和． 2．将彼此互斥的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． 3．代入概率的积、和公式求解．　　 (1)求第3回合由乙发球的概率； 解：由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；第1回合乙赢，第2回合乙赢， (2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率． 解：前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3， 教考衔接 明确考向 返回 (2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为 √ 记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4 个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝ .故选D. 真题 1 (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： √ 　乙 甲　 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 真题 2 共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6个，因此甲、乙两位参赛 同学抽到不同主题的结果有30个，概率P＝ .故选A. (2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4， 8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝ .故选D. √ 真题 3 (2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2， 4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)6种情况，故概率为＝ .故选C. √ 真题 4 [多选题](2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)． A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 √ √ √ 真题 5 对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)·β·(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所求的概率为C β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，D正确．故选ABD. (2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为____；将 三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为____． 设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n，4n，6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n；乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n；丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑 球”为事件A，所以P(A)＝0.4×0.25×0.5＝0.05；记“将三个盒子中的球混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有2n＋n＋3n＝6n个，白球共有9n个，所以P(B)＝ . 0.05 真题 6 (2022·新高考Ⅱ卷节选)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： 估计该地区一位这种疾病患者的年龄在区间[20，70)的概率． 解：设A＝{一位这种疾病患者的年龄在区间[20，70)}， 所以P(A)＝1－P( )＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. 真题 7 单元检测卷 返回 1．在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是 A．3件都是正品 B．至少有1件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为0，1，2，正品的个数分别为3，2，1，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，A、B、C三个选项中的事件都有可能不发生．故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组(每位学生限报一个项目)的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是 A ．10人 B．9人 C．8人 D．7人 √ 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.25 参加科技小组的频率是0.25，则本班报名参加科技小组的人数是0.25×40＝10人．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．在试验“抛掷两枚质地均匀的硬币”中，事件A＝“至少有一枚硬币正面朝上”，事件B＝“两枚硬币正面均朝上”，事件C＝“两枚硬币正面均朝下”，则 A．A与B互斥 B．A与C对立 C．B与C不互斥 D．B与C对立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有(正反)，(正正)，(反 正)，(反反)，共4种情况，其中满足事件A的共有(正反)，(反正)和(正 正)；满足事件B的是(正正)一种情况，满足事件C的是(反反)一种情况，对于A，则显然事件A和事件B可能同时发生，即(正正)这种情况，故A错误；对于B，事件A与事件C为互斥事件，且两者构成了所有的发生情况，即A，C必有一个发生，则A与C对立，故B正确；对于C，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故C错误；对于D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生(正反)或(反正)的情况，故D错误．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．某大学外语系有6名志愿者，其中志愿者A1，A2，C只通晓英语，志愿者B1，B2，B3只通晓俄语．现从这6名志愿者中选出2名，组成一个能通晓两种语言的小组，则C被选中的概率为 从这6名志愿者中选出2名组成通晓两种语言的小组的样本点为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(C，B1)，(C，B2)，(C，B3)，共有9个．其中C被选中的样本点有(C，B1)，(C，B2)，(C，B3)，共3个，所以所求概率为＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变史，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节 气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列事件中 概率为 的是 A．恰有1件一等品 B．至少有1件一等品 C．至多有1件一等品 D．都不是一等品 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大 A．方案一 B．方案二 C．相等 D．无法比较 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9．已知某养老院75岁及以上的老人占60%.75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%.如果从该养老院随机抽取一位老人，则以下结论中，正确的是 A．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35% B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22% C．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4% D．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40% √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 不妨设共有100名老人，则根据题意可作出如下表格： 所以如果从该养老院随机抽取一位老人，抽到的老人年龄在75岁以下的概率为40%，故A错误；抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%，故B正确；抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%，故C正确；抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为42%，故D错误．故选BC. 需要陪同 不需要陪同 合计 75岁及以上 18 42 60 75岁以下 4 36 40 合计 22 78 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件A1＝“x＋y＝5”，事件A2＝“y＝x2”，事件A3＝“x＋2y为奇数”，则 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A＝A1∪A2∪A3表示______________． 至少击中1发 根据并事件的定义可知，A＝A1∪A2∪A3表示A1，A2，A3至少有一个发生，所以A＝A1∪A2∪A3表示至少击中1发． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图形，结构是“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”．其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个“阳数”中随机抽取3个数，则能使 这三个数之和等于15的概率是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 五个“阳数”分别是1，3，5，7，9，任取3个数的样本点有(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)，共10个，其中和为15的有(1， 5，9)，(3，5，7)，共2个，故所求概率为＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．甲、乙两位同学进行五子棋比赛，两人棋艺相当，每局中无平局，为了增加游戏乐趣，两人各出32张三国人物卡片，他们约定，谁先赢四局则获胜，得到全部的卡片，当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止比赛，那么此时甲分____张卡片，乙分___张卡片才算公平． 44　 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15．(本小题满分13分)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： (1)求表中字母a的值；(3分) 解：由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2. 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求至少遇到4个红灯的概率；(3分) 解：设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C， 因为事件A，B，C互斥， 所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33. 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)求至多遇到5个红灯的概率．(7分) 解：设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 ， 则P( )＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97. 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(本小题满分15分)(2024·安徽蚌埠高一学业监测)某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件A为“两枚骰子点数相同”，事件B为“两枚骰子点数相连”，事件C为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”． (1)以事件A，B，C发生的概率大小为依据(概率最小为一等奖，最大为三等奖)，求二等奖所对应的事件；(5分) 解：设两枚骰子的点数分别为x，y，用(x，y)表示投掷结果，则所有可能的结果有36种，即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)． A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}， B＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C＝{(2，4)，(4，2)，(2，6)，(6，2)，(4，6)，(6，4)，(1，3)，(3，1)，(1，5)，(5，1)，(3，5)，(5，3)}， P(A)<P(B)<P(C)，所以二等奖为事件B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率．(10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(本小题满分15分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响． (1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率；(4分) 记“投篮结束时，甲，乙各只投1个球为事件M，则第一次甲投，未投中，第二次乙投，投中了， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求甲获胜的概率；(4分) 记“甲获胜”为事件C， 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率．(7分) 设甲投球次数为X， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(本小题满分17分)在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录．甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p，在每次射击中，甲和乙互不影响．已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98. (1)求p；(7分) 解：设事件M＝“两人各射击一次至少有一人射中十环”， 则 ＝“两人均未射中十环”， 由题意知甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p， 则甲每次未射中十环的概率为0.1，乙每次未射中十环的概率为1－p， 由对立事件的概率公式与相互独立事件的概率乘法公式可得， P(M)＝1－P( )＝1－0.1×(1－p)＝0.98，解得p＝0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次的概率．(10分) 解：设Ai表示事件“甲两次射击恰射中十环i次”，i＝1，2， 设Bi表示事件“乙两次射击恰射中十环i次”，i＝1，2. 则P(A1)＝0.9×0.1＋0.1×0.9＝0.18，P(A2)＝0.92＝0.81， P(B1)＝0.8×0.2＋0.2×0.8＝0.32，P(B2)＝0.82＝0.64. 设A＝“甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次”， 则A＝A1B2∪A2B1，且事件A1B2与A2B1互斥， 则由互斥事件的概率加法公式可得， P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝0.18×0.64＋0.81×0.32＝0.374 4. 故甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次的概率为0.374 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(本小题满分17分)某省从2024年开始，高考不分文理科，实行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的概率；(7分) 解：用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则所有选科组合的样本空间Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}， 所以n(Ω)＝12， 设M＝“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”，则M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，所以n(M)＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的概率．(10分) 解：设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是N1，N2，N3，由题意知事件N1，N2，N3相互独立， 由(1)知P(N1)＝P(N2)＝P(N3)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 解：由表可知，甲机床生产的螺钉为不合格的概率P1＝＝0.11， 乙机床生产的螺钉为不合格的概率P2＝＝0.09. 解：由题意，抽取的一等品有×(45＋45)＝3颗， ＝ ＝ 可得P(D)＝，P(E)＝， 所以P(C)＝P(D)＋P(E)＝＋＝＝. 因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为1－＝， >，故这种游戏规则不公平． 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩．比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利． 探究点四　相互独立事件 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为p，p，，，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为. 解：记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件D，E，F，G，则P(D)＝P(E)＝p，P(F)＝，P(G)＝， 因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为， 于是P(DEFG)＝P(D)P(E)P(F)P(G)＝p2＝，解得p＝，所以p＝. 所以小红不能正确解答本题的概率是×××＝. 则P(H)＝P(DEF)＋P(DEG)＋P(DFG)＋P(EFG) ＝×××＋×××＋×××＋×××＝， 所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为. 对点练4.甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球． 所以第3回合由乙发球的概率为×＋×＝. 甲赢的回合数为3的概率为××＝， 甲赢的回合数为2的概率为××＋××＋××＝， 所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为＋＝. A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． ＝ ＝ A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． 由题意知，基本事件由(立夏，小满)，(立夏，芒种)，(立夏，夏至)，(立夏，小暑)，(立夏，大暑)，(小满，芒种)，(小满，夏至)，(小满，小暑)，(小满，大暑)，(芒种，夏至)，(芒种，小暑)，(芒种，大暑)，(夏至，小暑)，(夏至，大暑)，(小暑，大暑)共15个，其中任取两个在同一个月的有3个，所以P＝＝，故选C. 6．为庆祝我国第40个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 A． B． C． D． 甲、乙每轮猜对分别记作事件A，B，“几何队”至少猜对一个成语为事件C.事件C的对立事件＝“几何队一个成语也没有猜对”，即＝，则P(C)＝1－P()＝1－P()＝1－P()P()＝1－×＝.故选B. 将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件，有10个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中恰有1件一等品的样本点有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，共6个样本点；恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，故恰有2件一等品的概率为P＝，1－P＝，故概率为的事件为“至多有1件一等品”．故选C. 设三门考试课程考试通过的事件为A，B，C，相应的概率为a，b，c，则考试三门课程，至少有两门及格的事件为AB＋AC＋BC＋ABC，其概率为P1＝ab(1－c)＋a(1－b)c＋(1－a)bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc，设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，则P2＝ab＋ac＋bc，又由P1－P2＝ab＋ac＋bc－2abc－＝ab＋ac＋bc－2abc＝(ab＋ac＋bc－3abc)＝[ab(1－c)＋ac(1－b)＋bc(1－a)]>0，所以P1>P2，即用方案一的概率大于用方案二的概率．故选A. 10．一个袋子中有大小和质地相同的5个球(标号为1，2，3，4，5)，从袋中有放回的抽出两球，则下列说法正确的是 A．没有出现数字1的概率为 B．两次出现数字相同的概率为 C．至少出现一次数字1的概率为 D．两个数字之和为6的概率为 没有出现数字1的概率为×＝≠，故A错误；从袋中有放回的抽出两球共有：5×5＝25种结果，两次出现数字相同的有5种结果，故两次出现数字相同的概率为＝，故B正确；从反向思考，至少出现一次数字1的概率为1－＝，故C正确；两个数字之和为6的情况有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，5种，故两个数字之和为6的概率为＝，故D错误．故选BC. A．P(A1)＝ B．P(A2)＝ C．A1与A3相互独立 D．A2与A3相互独立 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，则基本事件总数为36，满足事件A1的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4种，其概率P(A1)＝＝，A正确；满足事件A2的有(1，1)，(2，4)，共2种， 其概率P(A2)＝，B不正确；满足事件A3的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，共18种，其概率P(A3)＝，满足事件A1A3的有(1，4)，(3，2)共2种，所以P(A1A3)＝，则P(A1A3)＝P(A1)P(A3)，所以A1与A3相互独立，C正确；满足事件A2A3的只有(1，1)一种，所以P(A2A3)＝，因为P(A2A3)＝P(A2)P(A3)，所以A2与A3相互独立，D正确．故选ACD. ＝ 由题意得甲、乙两人获胜的概率均为，且最多再赌四局，最少再赌两局，则再赌两局甲获胜的概率为×＝，再赌三局甲获胜的概率为××＋××＝，再赌四局甲获胜的概率为×××＋×××＋×××＝，所以甲获胜的概率为＋＋＝，所以甲应该分×64＝44张卡片，乙分20张卡片才算公平． P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(C)＝＝， 解：投掷一次中奖的概率为＋＋＝， 该活动每位顾客中奖的概率为×＋×＋×＝. 解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3， 所以概率为P(M)＝P(1)P(B1)＝×＝. 解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3， P(C)＝P(A1)＋P(11A2)＋P(1)P(1)P(2)P(2)P(A3)＝＋××＋××＝. 解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3， 则P(X＝2)＝P(11A2)＋P(112B2)＝××＋×＝. 所以P(M)＝＝. . 记N＝“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”，则N＝N1∪N2∪N3，易知事件N1，N2，N3两两互斥， 根据互斥事件概率加法公式得P(N)＝P(N1)＋P(N2)＋P(N3) ＝××＋××＋×× ＝. $$