7.4 事件的独立性-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

§4　事件的独立性 　 第七章　概率 知识目标 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义，会 对事件的独立性进行判断．　 2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式 解决一些简单的实际问题. 素养目标 通过对事件独立性概念的学习，培养数学抽象素养；通过计算相互独立事件的概率，培养数学运算素养.楷体 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}．由古典 概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝ ，P(AB)＝ ，于是P(AB)＝P(A)P(B)． 问题导思 相互独立事件 新知构建 没有影响 P(A)P(B) A B (1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？ 提示：对于n个事件A1，A2，···，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，···，An相互独立． (2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？ 提示：公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，···，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2 ··· An)＝P(A1)P(A2)···P(An)． 微思考 角度1　相互独立事件的判断 [多选题]下列各对事件中，为相互独立事件的是 A．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生” B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球” C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球” D．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”，事件N“出现3点或6点” 例1 √ √ √ 规律方法 两个事件是否相互独立的判断 1．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． 2．定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．　　 对点练1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目 标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A. √ 角度2　相互独立事件同时发生的概率 (链教材P215例1)甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； 则2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72. 例2 (2)2人中恰有1人射中目标的概率； 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26. (3)2人至少有1人射中目标的概率； 解：“2人至少有1人射中目标”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况， (4)2人至多有1人射中目标的概率． 解：“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 第一步：首先确定各事件之间是相互独立的； 第二步：求出每个事件的概率，再求积； 第三步：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．　　 (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ 解：设事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”， 事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”， (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 解：设C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”， 因此“两人中至少有一人赢得比赛”的概率为 返回 综合应用 返回 相互独立事件概率的综合应用 第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展．本次亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮 琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．亚运期间，篮球比赛间隙安排了机器人吉祥物表演，由后台志愿者操控A，B，C三个开关，分别可操控“琮琮”、“莲 莲”和“宸宸”，当A闭合时“琮琮”、“莲莲”表演；当B闭合时“莲莲”和“宸宸”表演；当C闭合时“琮琮”和“宸宸”表演，若A，B，C 三个开关闭合的概率分别为 ，且相互独立．求： 例3 (1)机器人“琮琮”表演的概率； 解：(1)设P(A)，P(B)，P(C)分别为开关A，B，C闭合的概率， 记“机器人‘琮琮’表演”为事件M，则M发生需要A，C两个开关至少一个闭合， 所以P(M)＝P(A∪C)，由于开关闭合相互独立，则 所以机器人“琮琮”表演的概率为 . (2)机器人“莲莲”和“宸宸”都表演的概率． 解：记“机器人‘莲莲’和‘宸宸’都表演”为事件N，分为两类情况：B开关闭合，或者B开关不闭合，A，C同时闭合，则 所以机器人“莲莲”和“宸宸”都表演的概率为 . 规律方法 求较复杂事件的概率的方法 1．列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． 2．理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式． 3．根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． 4．当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．　　 (1)乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； 解：记“甲回答正确这道题”，“乙回答正确这道题”，“丙回答正确这 道题”分别为事件A，B，C，所以P(A)＝ ， (2)甲、乙、丙三个家庭中不少于1个家庭回答正确这道题的概率． 所以甲、乙、丙三个家庭中不少于1个家庭回答正确这道题的概率为1－P0 ＝ . 返回 课堂小结 知识 1.相互独立事件的概念及判断. 2.相互独立事件同时发生的概率及其应用 方法 转化法 易错误区 把互斥事件与相互独立事件混淆 随堂演练 返回 1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是 A与是对立事件．故选A. √ 2．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3.假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为 A．0.24 B．0.14 C．0.06 D．0.01 由题意知，两地都降雨的概率为0.2×0.3＝0.06.故选C. √ √ 4．甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为____． 该靶子被击中的概率P＝0.6×(1－0.7)＋0.7×(1－0.6)＋0.6×0.7＝0.88. 0.88 返回 课时测评 返回 1．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为 A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A，B可以同时发生，所以A，B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．[多选题]甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是 A．事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件 B．事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C．事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件 D．事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，则事件A与B_____(填“是”或“不是”)相互独立事件． 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是_____． 0.92 由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是0.2×0.4＝0.08.那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1－0.08＝0.92. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设A＝“甲答对”，B＝“乙答对”， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设C＝“丙答对”，则P(C)＝p，P( )＝1－p， 设D＝“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，由(1)知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则 A．C与D相互独立 B．A与D相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．[多选题]伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件M＝“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是 A．若n＝2，则M与N不互斥 B．若n＝2，则M与N相互独立 C．若n＝3，则M与N互斥 D．若n＝3，则M与N相互独立 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.如图所示，由X到Y的电路中有4个元件，分别为A，B，C，D，若A， B，C，D能正常工作的概率都是 ，记N＝“X到Y的电路是通路”，则 P(N)＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为该选手进入第三轮才被淘汰指前两轮均通过，第三轮淘汰， 所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)该选手至多进入第二轮考核的概率．(10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)设样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}含有等可能的样本点，且事件A＝{1，2，3，4}，事件B＝{1，2，3，5}，事件C＝{1，m，n，8}，使得P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，且满足A，B，C两两不独立，则m＋n＝____． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件是否互相独立，并给出证明． ①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个0.(10分) 解：事件A与事件B不互相独立，证明如下： 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不互相独立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 概 率 返回 相互独立事件 相关内容 定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率__________，这样的两个事件叫作相互独立事件 两个相互独立事件同时发生的概率公式 P(AB)＝______________ 性质 若事件A与B相互独立，那么____与，与____，与也都相互独立 对于A，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立的，故A正确；对于B，由于第1次摸到球有放回，因此不会对第2次摸到球的概率产生影响，因此是相互独立事件，故B正确；对于C，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；对于D，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件MN＝{6}，所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，即P(MN)＝P(M)P(N)．故事件M与N相互独立，故D正确．故选ABD. 解：设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件． 解：“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件A与B互斥， P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B) 其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98. 故所求概率为P＝P()＋P(A)＋P(B) ＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 对点练2.某学校组织杭州亚运会知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．求： 则A1A2表示“甲赢得比赛”，P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝， B1B2表示“乙赢得比赛”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝， 因为>，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大． P()＝1－P(A1A2)＝，P()＝1－P(B1B2)＝， 1－P()＝1－P()P()＝1－×＝. ，， 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＋P(AC) ＝P(A)P()＋P()P(C)＋P(A)P(C)＝×＋×＋×＝， P(N)＝P(B)＋P()P(A∩C)＝P(B)＋[1－P(B)]P(AC)＝＋××＝， 对点练3.某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．求： 且有 即 所以P(B)＝，P(C)＝. 解：有0家回答正确的概率为P0＝P()＝P()P()P()＝××＝， A．A与 B．A与 C．与B D．与 3．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是 A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 因为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，所以事件 A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立．故选C. 2．甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别为，，若甲、乙分别去完成这项任务且相互之间不受影响，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为 A． B． C． D． 由题意知，甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为×＝.故选A. 3．若P(A)＝，P()＝，则P(A∩B)＝是事件A与事件B相互独立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由P()＝，得P(B)＝，因此P(A∩B)＝×＝P(A)P(B)，即事件A与事件B相互独立，反之亦然，所以P(A∩B)＝是事件A与事件B相互独立的充要条件．故选C. 4．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则等于 A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 记“从甲、乙袋中摸出一个红球”分别为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝.由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据对应事件可知C正确．故选C. 对于A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，故A正确；对于B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，故B错误；对于C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，故C正确；对于D，记至少有一人投得1点的事件为M，则P(M)＝1－×＝，记甲投得1点且乙没投得2点事件为N，则P(N)＝×＝，P(MN)＝P(N)＝，P(MN)≠P(M)P(N)，故D错误．故选AC. P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立． 8．某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立．某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n＝____． 设该新生“进入篮球社团”为事件A，“进入电子竞技社团”为事件B，“进入国学社团”为事件C，则“三个社团他都能进入”的概率为P(ABC)＝＝，“至少进入一个社团”的概率为1－P()＝1－(1－m)××(1－n)＝，整理得到故m＋n＝. 9．(10分)(2024·安徽皖北高一六校联考)与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，p，且三人答题互不影响． (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；(4分) 则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝， “甲、乙两位同学恰有一个人答对”的事件为A∪B，且A与B互斥， 由三人答题互不影响，知A，B相互独立，则A与，与B，与均相互独立， 则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝， 所以甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率为. (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求p的值．(6分) P(D)＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－××(1－p)＝，解得p＝， 所以p的值为. 由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，P(CD)＝0≠P(C)P(D)，所以C与D不相互独立，P(AD)＝0≠P(A)P(D)，所以A与D不相互独立，P(BD)＝≠P(B)P(D)，所以B与D不相互独立，P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立．故选D. 当n＝2时，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，其中(正，反)和(反，正)这两种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，故A正确；P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)≠P(M)P(N)，则M与N不相互独立，故B错误；当n＝3时，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种，其中(正，正，反)、(正，反，正)和(反，正，正)这三种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，故C错误；P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，则M与N相互独立，故D正确．故选AD. 设N1＝“D正常工作”，N2＝“D没有正常工作，A正常工作，且B，C中至少有一个正常工作”，由于“X到Y的电路是通路”等价于“D正常工作”或“D没有正常工作，A正常工作，且B，C中至少有一个正常工作”，即N＝N1∪N2，P(N1)＝，P(N2)＝××＝，由于事件N1，N2互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(N)＝P(N1∪N2)＝＋＝. 13．(15分)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；(5分) 解：记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则 事件A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. P(A1A2)＝P(A1)P(A2)P()＝××＝. 由题意知，P(A)＝P(B)＝P(C)＝，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝，所以1是A，B，C共同的唯一的样本点，又A，B，C两两不独立，即P(AB)≠，P(BC)≠，P(AC)≠，可见m，n不可以为4或5，所以m，n为6或7，即m＋n＝13. 15．(15分)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；(5分) 故“至少收到两次1”的概率为：××＋××＋××＋××＝. 若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为××＝， 故至少收到一个正确信号的概率为P(A)＝1－＝； 故P(B)＝××＋××＋××＋××＝＝， 故P(AB)＝××＋××＋××＝， $$