1.4.1 一元二次函数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.1　一元二次函数 　 第一章　§4　一元二次函数与一元二次不等式 知识目标 1. 理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系． 2．能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质. 素养目标 通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养；借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养. 知识点一　一元二次函数的图象 1 知识点二　一元二次函数的解析式 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　一元二次函数的性质 3 知识点一　一元二次函数的图象 返回 问题1.函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换得到． 提示：函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了一元二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了一元二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 问题导思 1．抛物线 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a＋ ，若设h＝_______，k＝________，则有y＝a(x－h)2＋k，通常把一元二次函数的图象叫作________． 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移_______个单位长度，再向上(或向下)平移______个单位长度而得到． 新知构建 抛物线 |h| |k| 在画二次函数的图象或利用图象解决问题时，应注意以下几点：(1)a决定函数图象的开口方向；(2)判别式Δ决定与x轴是否有交点；(3)过定点(0，c)；(4)对称轴的位置． 微提醒 (链教材P34例1)函数y＝4x2＋2x＋1的图象可以由函数y＝4x2的图象经过怎样的变换得到． 例1 规律方法 任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：   上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”．　　 对点练1.(1)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是 根据一次函数y＝bx＋c与二次函数y＝ax2在同一平面直角坐标系中的图象可判断出a>0，b>0，c<0，则y＝ax2＋bx＋c图象，开口向上，对称轴为x＝－ <0，与y轴的交点在x轴下方，故D正确．故选D． √ (2)将函数图象上的所有点向左移动一个单位，再向下移动两个单位得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝2x2＋11x＋11 B．y＝2x2＋3x＋7 C．y＝2x2＋3x＋1 D．y＝2x2＋11x＋5 将y＝2x2＋7x＋4函数的图象上所有点向上平移两个单位，再向右平移一个单位可得到y＝2(x－1)2＋7(x－1)＋4＋2的图象，化简可得y＝2x2＋3x＋1.故选C． √ 返回 知识点二　一元二次函数的解析式 返回 问题2.一元二次函数的解析式有几种形式？ 提示：三种不同形式．即一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 问题导思 一元二次函数的解析式 (1)一般式：_____________________； (2)顶点式：______________________； (3)两根式：__________________________． 新知构建 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) y＝a(x－h)2＋k(a≠0) y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 根据下列条件，求一元二次函数的解析式： (1)过点(1，1)，(0，2)，(3，5)； 解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 所以函数解析式为y＝x2－2x＋2. 例2 (2)图象过点(1，4)，(－1，0)和(3，0)； 解：法一：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将(1，4)，(－1，0)， (3，0)分别代入上式， 所以函数解析式为y＝－x2＋2x＋3. 法二：设函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)． 将(1，4)代入上式，得4＝a(1＋1)(1－3)， 所以a＝－1，所以y＝－(x＋1)(x－3)， 即函数解析式为y＝－x2＋2x＋3. (3)图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且最大值为8. 解： 法一：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 故函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 故函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 规律方法 利用待定系数法求一元二次函数解析式的步骤 对点练2.如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B． (1)求m的值； 解：将(0，－3)代入y＝x＋m可得m＝－3. (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式． 解：将y＝0代入y＝x－3得：x＝3，所以点B的坐标为(3，0)， 将(0，－3)，(3，0)代入y＝ax2＋b中，可得b＝－3，9a＋b＝0， 解得a＝ ，b＝－3， 所以二次函数的解析式为y＝ x2－3. 返回 知识点三　一元二次函数的性质 返回 问题3.你能找出一元二次函数y＝2(x－1)2＋5的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？ 提示：能．对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5)．函数值y随x的增大而减小的区间是(－∞，1]，函数值y随x的增大而增大的区间是[1，＋∞)．当x＝1时，ymin＝5，无最大值． 问题导思 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质 新知构建   a>0(开口向上) a<0(开口向下) 图象     性质    对称轴 直线______ 顶点坐标 ________ x的取值范围 (－∞，＋∞)或R y的取值范围 [k，＋∞)(－∞，k] x＝h (h，k) 性质 函数值的变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而______，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而______ 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而______，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而______ 最值 x＝h时，y有最小值，ymin＝___ x＝h时，y有最大值，ymax＝___ 在求一元二次函数的最值问题时常利用图象解决问题． 微提醒 减小 增大 增大 减小 k k (链教材P34例1)已知一元二次函数y＝ x2－3x－ . (1)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值； 例3 (2)若x∈[1，4]，求函数值的取值范围． 解：由于3∈[1，4]，所以函数值在区间[1，3]上随x的增大而减小，在区间[3，4]上随x的增大而增大， 规律方法 研究一元二次函数在给定区间的性质 一看开口方向，二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”．只需作出一元二次函数相关的部分简图，利用数形结合法就可以得到问题的解．　 对点练3.[多选题]已知二次函数y＝－2x2－4x＋5，下列结论正确的是 A．其图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝－1 C．当x>－1时，y随x的增大而减小 D．函数有最大值3 二次函数y＝－2x2－4x＋5＝－2(x＋1)2＋7，对于A，开口向下，故A错误；对于B，对称轴为直线x＝－1，故B正确；对于C，当x>－1时，y随x的增大而减小，故C正确；对于D，当x＝－1时，函数有最大值7，故D错误．故选BC． √ √ 返回 综合应用 返回 一元二次函数在闭区间上的最值问题 如果函数y＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求函数的最小值． 解：函数y＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上． 如图①所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数取得最小值ymin＝(t－1)2＋1. 如图②所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值ymin＝1. 例4 ) 如图③所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数取得最小值ymin＝t2＋1. 规律方法 求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤 第一步：配方，找对称轴； 第二步：判断对称轴与区间的关系；　 第三步：求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得． 对点练4.已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上有最大值2，求a的值． 解：函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴为直线x＝A． 当a＜0，x＝0时，ymax＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1； 当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0， 所以a＝ (舍去)； 当a＞1，x＝1时，ymax＝a，所以a＝2. 综上可知，a＝－1，或a＝2. 返回 课堂小结 知识 1.一元二次函数解析式的三种形式. 2.一元二次函数的图象及变换. 3.一元二次函数的性质 方法 配方法与数形结合的思想方法 易错 误区 1.易忽视一元二次函数的开口方向. 2.二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论 随堂演练 返回 1．一元二次函数y＝－2x2＋2x＋1的顶点坐标是 A．(1，1) B．(－1，－3) √ 2．将y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为 A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1 将y＝x2的图象向右平移2个单位长度可得到y＝(x－2)2的图象，再向下平移1个单位长度可得到y＝(x－2)2－1的图象．故选C． √ 3．二次函数y＝f(x)的图象如图所示，那么此函数为   A．y＝x2－4 B．y＝4－x2 C．y＝ (4－x2) D．y＝ (2－x2) √ 由图象经过(2，0)，(－2，0)，可设其解析式为y＝a(x＋2)(x－2)，代入点(0，3)得3＝－4a，解得a＝－ ，故其解析式为y＝－ (x＋2)(x－2)，可化简为y＝ (4－x2)．故选C． 4．函数y＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的最小值为________． －1 因为函数y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1(x∈[1，4])在[1，2]上函数值随x的增大而减小，在[2，4]上函数值随x的增大而增大，所以在x＝2时函数y＝x2－4x＋3(x∈[1，4])取得最小值为－1. 返回 课时测评 返回 1．如果一元二次函数y＝5x2＋mx＋4的对称轴是x＝1，则当x＝1时，y＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．10 B．－10 C．－1 D．19 对称轴为－ ＝1，解得m＝－10，则y＝5x2－10x＋4，所以当x＝1时，y＝5－10＋4＝－1.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知一元二次函数y＝ x2＋2x＋5，它的图象可以由函数y＝ x2的图象经过怎样的变换得到 A．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 A．{－3} B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞) √ 由在区间(－∞，7]上函数值y随自变量x的增大而减小，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，则该函数的函数值在区间(－3，1)上 A．随x的增大而增大 B．随x的增大而减小 C．随x的增大先增大后减小 D．随x的增大先减小后增大 y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，所以m＝0，此时y＝－x2＋3，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，函数值在区间(－3，1)上先增大后减小．故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．[多选题]如图所示的是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，则以下选项中正确的为 A．a－b＋c＝0 B．b2>4ac C．a＋b＋c＝0 D．5a<b √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，故A错误；因为图象与x轴交于两点，所以Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac，故B正确；因为抛物线过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则抛物线与x轴另一个交点为(1，0)，于是有a＋b＋c＝0，故C正确；对称轴为x＝－1，即－ ＝－1，所以b＝2a，根据抛物线开口向下，知a<0，则5a<2a，即5a<b，故D正确．故选BCD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________． 1 y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝x2＋1的图象，则m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．一元二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为直线x＝2，最小值为－1， 则它的解析式是_________________. 依题意可设y＝a(x－2)2－1(a>0)，又其图象过点(0，1)，所以4a－1＝1，所以a＝ ，所以y＝ (x－2)2－1＝ x2－2x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．若函数y＝－x2＋2ax的值在区间[0，1]上随着自变量x的增大而增大，在区间[3，4]上随着自变量x的增大而减小，则实数a的取值范围是________． 由题意得，对称轴x＝a应在x＝1的右侧，x＝3的左侧，或与x＝1，或x＝3重合．所以1≤a≤3. [1，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．(6分) 解：由(1)可知：该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝4； 在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大，在[4，＋∞)上，y随x的增大而减小； 函数在x＝4处取得最大值14，无最小值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．函数y＝－x2＋2x－3在闭区间[0，3]上的最大值、最小值分别为 A．0，－2 B．－2，－6 C．－2，－3 D．－3，－6 √ 因为y＝－(x－1)2－2，所以当x＝1时有最大值－2，当x＝3时有最小值 －6.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图象可能是下图中的 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(易错题)若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)已知函数y＝－x2＋4x－2. (1)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值；(5分) 解：y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2. 该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝2；在区间(－∞，2]上，函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小； 函数在x＝2处取得最大值，即ymax＝2，无最小值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若x∈[0，3]，求y的最大值和最小值．(10分) 解：若x∈[0，3]，画出函数图象，如图所示． 由图可知，当x＝2时，ymax＝2； 当x＝0时，ymin＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是 A．当a＝1时，函数图象经过点(1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a<0，则函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，当a＝1时，函数解析式为y＝x2－2x－1，过点(1，－2)，故A不正确；对于B，当a＝－2时，函数解析式为y＝－2x2＋4x－1，令y＝－2x2＋4x－1＝0，则Δ＝42－4×(－2)×(－1)＝8>0，所以当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，故B不正确；对于C，y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－1－a，所以一元二次函数图象的顶点坐标为(1，－1－a)，当a<0时，－1－a<0不恒成立，故C不正确；对于D，因为y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－1－a，所以一元二次函数图象的对称轴为直线x＝1，若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故D正确．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求函数y2的表达式；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 预 备 知 识 返回 － 得解得 所以抛物线的对称轴为直线x＝＝， 综上可知，ymin＝ y＝x2－2x＋1 (2)求函数y2在上的最小值．(10分) $$