1.1.2 集合的基本关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.2　集合的基本关系 　 第一章　§1　集合 知识目标 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．　 2.能用符号和Venn图表达集合间的基本关系，会判断集合间的关系. 素养目标 通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养；借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养. 知识点一　集合的基本关系 1 知识点二　子集、真子集的个数 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　集合的基本关系 返回 问题1.观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； 提示：集合A包含于集合B，或集合B包含集合A． (2)C为某中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； 提示：集合C包含于集合D，或集合D包含集合C． (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 提示：集合A包含集合B，集合B也包含集合A． 问题导思 1．Venn图 用平面上__________的内部表示集合，称为Venn图． 2．子集、集合相等、真子集 新知构建   子集 集合相等 真子集 概 念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的__________元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作________(或B⊇A)，读作“A________B”(或“B______A”) 如果集合A是集合B的______，且集合B也是集合A的______，那么称集合A与集合B相等，记作________ 对于两个集合A与B，如果________，且________，那么称集合A是集合B的真子集，记作____________，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 封闭曲线 任何一个 A⊆B 包含于 包含 子集 子集 A＝B A⊆B A≠B   子集 集合相等 真子集 图 示 或 结 论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即________ (2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C 若A＝B且B＝C，则A＝C 若A B且B C，则A C A⊆B (1)任何一个集合都有真子集吗？ 提示：不是，空集没有真子集． (2)A⊆B与A B有什么关系吗？ 提示：A⊆B包括两种情况：A B和A＝B． 微思考 例1-1 √ (链教材P7T2)判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； 解：集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； 解：等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B． 例1-2 (3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； 解：集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B． (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 解：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M. 规律方法 判断集合基本关系的常用方法 √ √ √ 返回 知识点二　子集、真子集的个数 返回 问题2.填写下表，回答后面的问题： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 1     2     3     4     问题导思 (1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ 提示：能． 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1 ∅，{a} 2 {a，b} 2 ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} 3 ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 {a，b，c，d} 4 ∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 (2)如果一个集合的元素的个数为n，你能用n表示出这个集合的子集、真子集的个数吗？ 提示：子集个数为2n，真子集个数为2n－1. 如果一个集合的元素的个数为n， 那么这个集合的子集的个数为____个；真子集的个数为_______个；非空子集的个数为_______个；非空真子集的个数为_______个． 新知构建 返回 2n 2n－1 2n－1 2n－2 (链教材P7例4)已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，列举集合A的子集并指出有多少个真子集． 解：依题意得4a－10＋6＝0，解得a＝1. 则x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3， 所以A＝{2，3}． 所以集合A的子集有∅，{2}，{3}，{2，3}，共4个． 真子集有∅，{2}，{3}，共3个． 例 2 规律方法 求有限集合的子集或真子集个数的思路 注意　(1)要注意两个特殊的子集：∅和自身．(2)按集合中含有元素的个数由少到多，以一定的顺序来写，保证不重不漏．　 对点练2.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， 所以A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． 返回 综合应用 返回 集合基本关系的应用 (2024·四川成都高一月考)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围． 解：当B＝∅时，由m＋1>2m－1，解得m<2； 当B≠∅时，如图所示，所以 解得2≤m≤3. 综上所述，m的取值范围是(－∞，3]． 例3 变式探究 1．(变条件)若本例条件“B⊆A”改为“B A”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：当B≠∅时，如图所示． 所以 或 解得2≤m≤3； 当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是(－∞，3]． 2．(变条件)若本例条件“B⊆A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：当A⊆B时，此时B≠∅，如图所示． 所以m∈∅，即m的取值范围为∅. 规律方法 由集合的基本关系求参数的方法与注意点 1．当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． 2．当集合为连续实数集时，常借助数轴分析法来建立不等关系求解，应注意端点处是实心点还是空心点． 规律方法 3．注意点 (1)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论； (2)利用数轴处理不等式表示集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示； (3)涉及“A⊆B”或“A B且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况． 对点练3.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．1 C． D．－1 因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述，a＝1.故选B． √ (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|1－m≤x≤2m－1}，且A⊆B，则实数m的取值集合是________． {m|m≥4} 返回 课堂小结 知识 1．子集、真子集、集合相等的概念． 2．子集、真子集的个数 方法 1．集合间关系的判断：列举观察法、集合元素特征法、数形结合法. 2．求给定集合的子集、真子集的个数：定义法、分类讨论思想. 3．集合间关系的应用：分类讨论思想、数形结合法 易错 误区 1．忽略对集合是否为空集的讨论. 2．求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误 随堂演练 返回 1．[多选题]已知集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，则下列关系正确的是 A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B A 因为集合A＝ ，B＝{x|－2≤x≤1}，所以根据子集及真子集的定义可知B⊆A，B A．故选CD． √ √ 2．集合M＝{ 0≤x<3}的子集的个数是 A．16 B．8 C．7 D．4 √ √ 返回 课时测评 返回 1．如果A＝ ，则下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0⊆A B． ∈A C．∅∈A D． ⊆A √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 对于A，(3，2)与(2，3)不是同一个点，故A错误；对于B，集合M是点集，集合N是数集，故B错误；对于C，根据集合中元素的无序性可知M，N是同一个集合，故C正确；对于D，集合M是数集，集合N是点集，故D错误．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若x∈M，则x＝ ，k∈Z，2k－1∈Z，即M中元素都是N中元素，所以M⊆N.而当k＝－2时，0∈N，而0∉M，所以N⃘M，所以MN.故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[多选题]已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图，则集合B可能是 由图知： ，根据选项可知B＝{1，3}或B＝{2，3}．故选BD． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知集合A＝[－4，4]，B＝{x|x≥a}，且A B，则实数a的取值范围为__________． 因为集合A＝[－4，4]，集合B＝{x|x≥a}，若A B，则a≤－4，即实数a的取值范围是(－∞，－4]． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．设a，b∈R，集合 ＝{a，b，0}，则a2 024＋b2 025的值是________． 0或2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据题意得B＝ ，因为A⊆B，若A＝∅，则a≤0，满足题意；若a>0，则 ＝4，得a＝1，故实数a的值满足a≤0，或a＝1均可． 1(a≤0，或a＝1均可，答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)设全集U＝R，集合A＝ ，集合B＝ ， 其中a∈R. (1)若A⊆B，求a的取值范围；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若B⊆A，求a的取值范围．(6分) 解：因为B⊆A，若B＝∅，则1＋2a≤2－a⇒a≤ . ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．[多选题]下列说法正确的是 A．{0，1，2}⊆{2，1，0} B．∅⊆{0，1，2} C．{0，1}＝{(0，1)} D．0＝{0} √ √ 对于A，两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0，1，2}⊆{2，1，0}，故A正确；对于B，空集是任意集合的子集，故∅⊆{0，1，2}，故B正确；对于C，两个集合所研究的对象不同，故{0，1}，{(0，1)}为不同集合，故C错误；对于D，元素与集合之间只有属于、不属于关系，故D错误．故选AB． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．[多选题]已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么 A．若a＝3，则A⊆B B．若A⊆B，则a＝3 C．若a＝3，则A B D．若A⊆B，则a＝2 √ √ 当a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B，A ⊆ B，故A正确，C正确；由A⊆B，得a∈B，而a≠1，因此a＝2或a＝3，故B、D错误．故选AC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(2024·重庆高一月考)设ai(i＝1，2，3)均为实数，若集合 的所有非空真子集的元素之和为12，则a1＋a2＋a3＝________． 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：①当B＝∅时，2a>a＋3，即a>3.显然满足题意． ②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，   解得a<－4，或2<a≤3. 综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)[多选题]已知集合A＝ ，B＝{x|x∈A，x∈N}，C＝{x|x⊆A}，则关于集合A，B，C之间的关系，下列说法正确的有 A．A＝B B．A B C．A∈C D．A⊆C √ √ 因为A＝{0，1}，所以B＝{x|x∈A，x∈N}＝{0，1}，C＝{x|x⊆A}＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，所以有A＝B成立，A B不成立，A∈C成立，A⊆C不成立，故选AC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)(新角度)集合P＝{x|x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{－4，－1，1}． (1)若b＝4，存在集合M使得P M Q，求出这样的集合M；(5分) 解：若b＝4，则P＝{x|x2－3x＋4＝0，x∈R}＝∅， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．(10分) 解：方程x2－3x＋b＝0的判别式为Δ＝(－3)2－4b＝9－4b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当Δ>0时，即b< 时，要想P是Q的一个子集，－4，－1，1中必有两个元素是集合P中元素，根据一元二次方程x2－3x＋b＝0根与系数的关系，这两个根之和为3，显然－4，－1，1中没有两个数的和为3，所以此时P不可能是Q的一个子集． 综上所述，P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为 . 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 预 备 知 识 返回 AB(或BA)         对点练1.[多选题]若集合A＝，集合B＝，则A，B的关系不成立的是 A．A⊆B B．A＝B C．AB D．BA     3．已知A＝，B＝，若A＝B，则x－y＝ A．2 B．1 C． D． 4．集合A＝，B＝，且AB，则实数a的取值范围是___________． ＋＝＋ BA，A＝  (－∞，－4]  8．(开放题)已知集合A＝，B＝{x|y＝＋}，若A⊆B，则实数a的值可以是_________________________________(写出一个满足条件的值即可)． 若B≠∅，则⇒⇒<a≤1，综上所述，a∈(－∞，1 ]     $$