第七章 重点题型强化（七）几种特殊事件概率的计算方法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

知识 目标 1.熟练掌握互斥事件、对立事件、相互独立事件概率的计算方法．　2.能够将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的计算. 素养目标 通过对几种特殊事件的概率的计算，提升数学抽象和数学运算素养. 应用一　互斥事件概率的计算 甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.4.求： (1)甲获得比赛胜利的概率； (2)甲、乙两人获得平局的概率． 解：甲、乙两人进行围棋比赛，所有的可能基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局，分别记作事件I1，I2，I3，且I1，I2，I3两两互斥，则“甲获得比赛胜利或者平局”为事件I1，I3的和事件，“乙获得比赛的胜利或者平局”为I2，I3的和事件， (1)由互斥事件的和事件概率公式得P(A)＝P(I1∪I3)＝P(I1)＋P(I3)＝0.7， P(B)＝P(I2∪I3)＝P(I2)＋P(I3)＝0.4， 又P(I1)＋P(I2)＋P(I3)＝1， 所以P(I1)＝0.6，P(I2)＝0.3，P(I3)＝0.1. 故甲获得比赛胜利的概率为P(I1)＝0.6. (2)甲、乙两人获得平局的概率为P(I3)＝0.1. 学生用书↓第185页 对于复杂的互斥事件的概率的计算，首先应考虑是由哪些事件组成，然后计算每个事件的概率，从而得到所求事件的概率．　　 对点练1.在生产某种零件的工厂中，根据工人加工出的零件质量进行相应的奖励或惩罚．已知这种零件按照质量指标值可分为A，B，C，D四个等级，且根据等级A，B，C，D对相应工人分别奖励10元、奖励0元、罚款5元、罚款10元．设某工人加工的零件为等级B，C，D的概率分别是，，，且加工每个零件互不影响． (1)若该工人加工一个零件，求其不被罚款的概率； (2)若该工人加工两个零件，求其获得的奖励之和为0元的概率． 解：(1)设该工人加工一个零件为等级A，B，C，D分别为事件A，B，C，D. 由题意知，事件A，B，C，D两两互斥， 所以P(A)＝1－－－＝. “该工人加工一个零件，其不被罚款”为事件A∪B， 则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2)设第i(i＝1，2)个零件为等级A，B，C，D为事件Ai，Bi，Ci，Di. 则“该工人加工两个零件，其获得的奖励之和为0元”即事件(B1B2)∪(A1D2)∪(A2D1)， P(B1B2)＝×＝，P(A1D2)＝P(A2D1)＝×＝， 由题意知事件B1B2，A1D2，A2D1两两互斥， 所以所求概率为 P(B1B2)＋P(A1D2)＋P(A2D1)＝＋×2＝. 应用二　对立事件概率的计算 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． (1)求甲、乙各射击一次，至少击中目标一次的概率； (2)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 解： (1)甲、乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为 法一：×＋×＋×＝. 法二：1－×＝. (2)乙恰好射击4次后被终止射击，则“第2次击中，后两次未击中”， 故所求概率为1×××＝. 利用对立事件解决问题的两种策略 1．正难则反：对于比较复杂事件的概率直接求解比较困难，计算量比较大，可以考虑其对立事件的概率． 2．至少、至多：通常利用其对立事件的概率．　　 对点练2.某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校．现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同)． (1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率； (2)求从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率； (3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率． 解： (1)由题意知，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社， 所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为＝. (2)设A，B，C，D表示参加摄影社的男同学，a，b表示参加摄影社的女同学， 则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果，AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab， 其中恰有1名女同学的结果有8种：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db， 所以从6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率为P＝. (3)由上可得从这6名同学中选出的2名同学代表来自于同一初中学校的概率为， 所以这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率为1－＝. 应用三　相互独立事件概率的计算 甲、乙两位同学参加某项知识竞赛，比赛共有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为p，乙同学答对每道题的概率都为q(p>q)，且在比赛中每 学生用书↓第186页 人各题答题结果互不影响．已知同一道题甲、乙至少一人答对的概率为，两人都答对的概率为. (1)求p和q的值； (2)求本次知识竞赛甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率． 解：(1)设A＝“甲同学答对该题”，B＝“乙同学答对该题”， 则P(A)＝p，P(B)＝q. 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立， 所以1－P(A (__)B (__))＝1－P(A (__))P(B (__))＝，P(AB)＝P(A)P(B)＝， 即解得 (2)设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得，所求概率为P(m<n)＝P(m＝0，n＝1)＋P(m＝0，n＝2)＋P(m＝1，n＝2) ＝×2××＋×＋2×××＝. 对于复杂的相互独立事件的解题策略 1．正难则反：灵活应用对立事件的概率关系简化运算，是求解概率问题常用的方法之一． 2．化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻求所求事件与已知事件的关系；注意“所求事件”是分几类还是分几步．　　 对点练3.某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔．第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试．最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立．现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. (1)求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； (2)求三人中至少有一人获得决赛资格的概率． 解：(1)设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，事件B表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A，B相互独立． 因为两轮选拔之间相互独立，所以P(A)＝×＝，P(B)＝×＝. 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为P＝P(AB (__)＋A (__)B)＝P(AB (__))＋P(A (__)B)＝P(A)P(B (__))＋P(A (__))P(B)＝×＋×＝， 所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为. (2)设事件C表示“丙考生获得决赛资格”， 则P(C)＝×＝. 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格”，由题意可知事件A，B，C相互独立， 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为 P＝1－P(A (__)B (__)C (__))＝1－P(A (__))P(B (__))P(C (__))＝1－＝， 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为. 知识 1.互斥事件概率的计算.2.对立事件概率的计算.3.相互独立事件概率的计算 方法 转化与分类讨论的方法 易错误区 对于相互独立事件发生的情况讨论不彻底；不会找事件的对立事件 1．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率p为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：根据题意，该队员在两次罚球中至多命中一次的概率为，则两次罚球中两次都命中的概率为1－＝，则有p2＝，解可得p＝，故选C. 2．在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪B (__)发生的概率是(　　) A． B．. C． D． 答案：C 解析：易知事件A与事件B (__)互斥，且P(A)＝，P(B)＝，所以P(A∪B (__))＝P(A)＋P(B (__))＝P(A)＋1－P(B)＝＋1－＝.故选C. 3．某工厂有A，B两条生产线，需要维护的概率分别为0.2，0.25，且A，B两条生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一条生产线需要维护的概率为(　　) A．0.95 B．0.45 C．0.55 D．0.05 答案：A 解析：法一(直接法)：由题意，得至多有一条生产线需要维护的概率为0.2×0.75＋0.8×0.25＋0.8×0.75＝0.95.故选A. 法二(间接法)：由题意，得至多有一条生产线需要维护的概率为1－0.2×0.25＝0.95.故选A. 4．若A，B两个事件相互独立，且P(AB (__))＝，则P(A (__)∪B)＝__________． 答案： 解析：由于A，B两个事件相互独立，且P(AB (__))＝，故P(A (__)∪B)＝1－P(AB (__))＝1－＝. 学生用书↓第187页 学科网（北京）股份有限公司 $$