7.4 事件的独立性-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§4　事件的独立性 知识 目标 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义，会对事件的独立性进行判断．　2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题. 素养 目标 通过对事件独立性概念的学习，培养数学抽象素养；通过计算相互独立事件的概率，培养数学运算素养. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}．由古典概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，于是P(AB)＝P(A)P(B)． 相互独立事件 相互独立事件 相关内容 定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件 两个相互独立事件同时发生的概率公式 P(AB)＝P(A)P(B) 性质 若事件A与B相互独立，那么A与B (__)，A (__)与B，A (__)与B (__)也都相互独立 [微思考]　(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？ (2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？ 提示：(1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立． (2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 角度1　相互独立事件的判断 [多选题]下列各对事件中，为相互独立事件的是(　　) A．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生” B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球” C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球” D．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”，事件N“出现3点或6点” 答案：ABD 解析：对于A，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立的，故A正确；对于B，由于第1次摸到球有放回，因此不会对第2次摸到球的概率产生影响，因此是相互独立事件，故B正确；对于C，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；对于D，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件MN＝{6}，所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，即P(MN)＝P(M)P(N)．故事件M与N相互独立，故D正确．故选ABD. 两个事件是否相互独立的判断 1．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． 2．定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．　　 对点练1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 答案：A 解析：对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A. 学生用书↓第183页 角度2　相互独立事件同时发生的概率 (链教材P215例1)甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率． 解：(1)设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A (__)与B，A与B (__)，A (__)与B (__)为相互独立事件． 则2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72. (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件AB (__)发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A (__)B发生)．根据题意，事件AB (__)与A (__)B互斥， 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P(AB (__))＋P(A (__)B)＝P(A)·P(B (__))＋P(A (__))·P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26. (3)“2人至少有1人射中目标”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况， 其概率为P＝P(AB)＋[P(AB (__))＋P(A (__)B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为P＝P(A (__)B (__))＋P(AB (__))＋P(A (__)B) ＝P(A (__))·P(B (__))＋P(A)·P(B (__))＋P(A (__))·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 第一步：首先确定各事件之间是相互独立的； 第二步：求出每个事件的概率，再求积； 第三步：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．　　 对点练2.某学校组织杭州亚运会知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．求： (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 解：(1)设事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”， 事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”， 则A1A2表示“甲赢得比赛”，P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝， B1B2表示“乙赢得比赛”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝， 因为>，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大． (2)设C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”， P(C (__))＝1－P(A1A2)＝，P(D (__))＝1－P(B1B2)＝， 因此“两人中至少有一人赢得比赛”的概率为 1－P(C (__))＝1－P(C (__))P()＝1－×＝. 相互独立事件概率的综合应用 第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展．本次亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．亚运期间，篮球比赛间隙安排了机器人吉祥物表演，由后台志愿者操控A，B，C三个开关，分别可操控“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，当A闭合时“琮琮”、“莲莲”表演；当B闭合时“莲莲”和“宸宸”表演；当C闭合时“琮琮”和“宸宸”表演，若A，B，C三个开关闭合的概率分别为，，，且相互独立．求： (1)机器人“琮琮”表演的概率； (2)机器人“莲莲”和“宸宸”都表演的概率． 解：(1)设P(A)，P(B)，P(C)分别为开关A，B，C闭合的概率， 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 记“机器人‘琮琮’表演”为事件M，则M发生需要A，C两个开关至少一个闭合， 所以P(M)＝P(A∪C)，由于开关闭合相互独立，则 P(A∪C)＝P(AC (__))＋P(A (__)C)＋P(AC) ＝P(A)P(C (__))＋P(A (__))P(C)＋P(A)P(C)＝×＋×＋×＝， 所以机器人“琮琮”表演的概率为. (2)记“机器人‘莲莲’和‘宸宸’都表演”为事件N，分为两类情况：B开关闭合，或者B开关不闭合，A，C同时闭合，则 P(N)＝P(B)＋P(B (__))P(A∩C)＝P(B)＋[1－P(B)]P(AC)＝＋××＝， 所以机器人“莲莲”和“宸宸”都表演的概率为. 学生用书↓第184页 求较复杂事件的概率的方法 1．列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． 2．理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式． 3．根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． 4．当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．　　 对点练3.某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．求： (1)乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)甲、乙、丙三个家庭中不少于1个家庭回答正确这道题的概率． 解：(1)记“甲回答正确这道题”，“乙回答正确这道题”，“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，所以P(A)＝， 且有 即 所以P(B)＝，P(C)＝. (2)有0家回答正确的概率为P0＝P(A (__)B (__)C (__))＝P(A (__))P(B (__))P(C (__))＝××＝， 所以甲、乙、丙三个家庭中不少于1个家庭回答正确这道题的概率为1－P0＝. 知识 1.相互独立事件的概念及判断.2.相互独立事件同时发生的概率及其应用 方法 转化法 易错误区 把互斥事件与相互独立事件混淆 1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是(　　) A．A与A (__) B．A与B (__) C．A (__)与B D．A (__)与B (__) 答案：A 解析：A与A (__)是对立事件．故选A. 2．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3.假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为(　　) A．0.24 B．0.14 C．0.06 D．0.01 答案：C 解析：由题意知，两地都降雨的概率为0.2×0.3＝0.06.故选C. 3．若P(AB)＝，P(A (__))＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 答案：C 解析：因为P(A)＝1－P(A (__))＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立．故选C. 4．甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为________． 答案：0.88 解析：该靶子被击中的概率P＝0.6×(1－0.7)＋0.7×(1－0.6)＋0.6×0.7＝0.88. 课时测评47　事件的独立性 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为(　　) A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 答案：C 解析：对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A，B可以同时发生，所以A，B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．故选C. 2．甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别为，，若甲、乙分别去完成这项任务且相互之间不受影响，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意知，甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为×＝.故选A. 3．若P(A)＝，P(B (__))＝，则P(A∩B)＝是事件A与事件B相互独立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由P(B (__))＝，得P(B)＝，因此P(A∩B)＝×＝P(A)P(B)，即事件A与事件B相互独立，反之亦然，所以P(A∩B)＝是事件A与事件B相互独立的充要条件．故选C. 4．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则等于(　　) A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 答案：C 解析：记“从甲、乙袋中摸出一个红球”分别为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝.由于A，B相互独立，所以1－P(A (__))P(B (__))＝1－×＝.根据对应事件可知C正确．故选C. 5．[多选题]甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是(　　) A．事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件 B．事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C．事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件 D．事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件 答案：AC 解析：对于A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，故A正确；对于B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，故B错误；对于C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，故C正确；对于D，记至少有一人投得1点的事件为M，则P(M)＝1－×＝，记甲投得1点且乙没投得2点事件为N，则P(N)＝×＝，P(MN)＝P(N)＝，P(MN)≠P(M)P(N)，故D错误．故选AC. 6．从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，则事件A与B________(填“是”或“不是”)相互独立事件． 答案：是 解析：P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立． 7．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________． 答案：0.92 解析：由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是0.2×0.4＝0.08.那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1－0.08＝0.92. 8．某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立．某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n＝__________． 答案： 解析：设该新生“进入篮球社团”为事件A，“进入电子竞技社团”为事件B，“进入国学社团”为事件C，则“三个社团他都能进入”的概率为P(ABC)＝＝，“至少进入一个社团”的概率为1－P(A (__)B (__)C (__))＝1－(1－m)××(1－n)＝，整理得到故m＋n＝. 9．(10分)(2024·安徽皖北高一六校联考)与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，p，且三人答题互不影响． (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；(4分) (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求p的值．(6分) 解：(1)设A＝“甲答对”，B＝“乙答对”， 则P(A)＝，P(B)＝，P(A (__))＝，P(B (__))＝， “甲、乙两位同学恰有一个人答对”的事件为AB (__)∪A (__)B，且AB (__)与A (__)B互斥， 由三人答题互不影响，知A，B相互独立，则A与B (__)，A (__)与B，A (__)与B (__)均相互独立， 则P(AB (__)∪A (__)B)＝P(AB (__))＋P(A (__)B)＝P(A)P(B (__))＋P(A (__))P(B)＝×＋×＝， 所以甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率为. (2)设C＝“丙答对”，则P(C)＝p，P(C (__))＝1－p， 设D＝“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，由(1)知， P(D)＝1－P(D (__))＝1－P(A (__))P(B (__))P(C (__))＝1－××(1－p)＝，解得p＝， 所以p的值为. (10—12每小题5分，共15分) 10．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则(　　) A．C与D相互独立 B．A与D相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 答案：D 解析：由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，P(CD)＝0≠P(C)P(D)，所以C与D不相互独立，P(AD)＝0≠P(A)P(D)，所以A与D不相互独立，P(BD)＝≠P(B)P(D)，所以B与D不相互独立，P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立．故选D. 11．[多选题]伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件M＝“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是(　　) A．若n＝2，则M与N不互斥 B．若n＝2，则M与N相互独立 C．若n＝3，则M与N互斥 D．若n＝3，则M与N相互独立 答案：AD 解析：当n＝2时，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，其中(正，反)和(反，正)这两种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，故A正确；P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)≠P(M)P(N)，则M与N不相互独立，故B错误；当n＝3时，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种，其中(正，正，反)、(正，反，正)和(反，正，正)这三种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，故C错误；P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，则M与N相互独立，故D正确．故选AD. 12.如图所示，由X到Y的电路中有4个元件，分别为A，B，C，D，若A，B，C，D能正常工作的概率都是，记N＝“X到Y的电路是通路”，则P(N)＝________． 答案： 解析：设N1＝“D正常工作”，N2＝“D没有正常工作，A正常工作，且B，C中至少有一个正常工作”，由于“X到Y的电路是通路”等价于“D正常工作”或“D没有正常工作，A正常工作，且B，C中至少有一个正常工作”，即N＝N1∪N2，P(N1)＝，P(N2)＝××＝，由于事件N1，N2互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(N)＝P(N1∪N2)＝＋＝. 13．(15分)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；(5分) (2)该选手至多进入第二轮考核的概率．(10分) 解：(1)记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则 事件A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. 因为该选手进入第三轮才被淘汰指前两轮均通过，第三轮淘汰， 所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 P(A1A2A3 (__))＝P(A1)P(A2)P(A3 (__))＝××＝. (2)因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰，且事件A1 (__)和A1A2 (__)互斥． 所以该选手至多进入第二轮考核的概率为 P(A1 (__)＋A1A2 (__))＝P(A1 (__))＋P(A1)P(A2 (__))＝＋×＝. 14．(5分)设样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}含有等可能的样本点，且事件A＝{1，2，3，4}，事件B＝{1，2，3，5}，事件C＝{1，m，n，8}，使得P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，且满足A，B，C两两不独立，则m＋n＝________． 答案：13 解析：由题意知，P(A)＝P(B)＝P(C)＝，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝，所以1是A，B，C共同的唯一的样本点，又A，B，C两两不独立，即P(AB)≠，P(BC)≠，P(AC)≠，可见m，n不可以为4或5，所以m，n为6或7，即m＋n＝13. 15．(15分)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；(5分) (2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件是否互相独立，并给出证明．①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个0.(10分) 解：(1)重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为：××＋××＋××＋××＝. (2)事件A与事件B不互相独立，证明如下： 若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为××＝， 故至少收到一个正确信号的概率为P(A)＝1－＝； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(B)＝××＋××＋××＋××＝＝， 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(AB)＝××＋××＋××＝， 因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不互相独立. 学科网（北京）股份有限公司 $$