3.3.1 指数函数的概念&3.3.2 指数函数的图象和性质(一)-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§3　指数函数 3．1　指数函数的概念 3．2　指数函数的图象和性质(一) 知识 目标 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，并能简单应用. 素养 目标 通过指数函数的概念和意义及指数函数的图象的学习，培养直观想象素养；通过指数函数的实际应用，培养数学建模素养. 知识点一　指数函数的概念 问题1.(1)拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系是什么？ (2)上述两个函数关系式共同点是什么？ 提示：(1)第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N＋)，对折后的面积S＝(x∈N＋)． (2)两函数关系式都是指数的形式，自变量x在指数位置，底数是常数． 指数函数的概念 1．定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． 2．指数函数的基本性质： (1)指数函数的定义域为R，函数值大于0； (2)图象过定点(0，1)． 学生用书↓第92页 [微思考]　指数函数的解析式有什么特征？ 提示：指数函数解析式的四个特征：(1)定义域必须是实数集R.(2)底数a的范围必须是a>0，且a≠1.(3)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项．(4)指数式只有一项，并且指数式的系数为1. (1)[多选题]给出下列函数，不是指数函数的是(　　) A．y＝2·3x B．y＝(－2)x C．y＝3x D．y＝x3 (2)若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a等于________． 答案：(1)ABD 　(2)2 解析：(1)对于A，3x的系数是2，故A不是指数函数；对于B，底数－2<0，故B不是指数函数；对于C，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；对于D，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故D不是指数函数．故选ABD. (2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得解得所以a＝2. 判断一个函数是否为指数函数的方法 1．看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式． 2．明特征：看是否具备指数函数解析式具有的所有特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 对点练1.(1)[多选题]下列函数是指数函数的有(　　) A．y＝x4 B．y＝ C．y＝22x D．y＝－3x (2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1)∪(1，＋∞) B．[0，1)∪(1，＋∞) C．∪(1，＋∞) D． 答案：(1)BC　(2)C 解析：(1)对于A，函数y＝x4不是指数函数，对于B，函数y＝是指数函数；对于C，函数y＝22x＝4x是指数函数；对于D，函数y＝－3x不是指数函数．故选BC. (2)依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>L，且a≠1.故选C. 知识点二　指数函数的图象和性质 问题2.用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝3x的图象．观察图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ x －2 －1 0 1 2 y＝2x y＝3x 提示：表格依次填写：　　1　2　4　　　1　3　9 y＝2x和y＝3x的图象如图所示． 从y＝2x和y＝3x的图象上看：都在R上是增函数，公共点(0，1)，且值域是(0，＋∞)． 问题3.用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝与y＝的图象．观察图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ x －2 －1 0 1 2 y＝ y＝ 提示：表格依次填写：4　2　1　　　9　3　1　　 y＝和y＝的图象如图所示． 从y＝和y＝的图象上看：都在R上是减函数，公共点(0，1)，且值域是(0，＋∞)． 问题4.观察y＝2x和y＝3x的图象以及y＝和y＝的图象，它们各具有什么简单性质？ 提示：y＝2x和y＝3x的图象，在(0，＋∞)上都是增函数．x<0时，函数y＝3x的图象在函数y＝2x的图象下方；x>0时，函数y＝3x的图象在函数y＝2x的图象上方．y＝和y＝的图象在(0，＋∞)上都是减函数．x<0时，函数y＝的图象在函数y＝的图象上方；x>0时，函数y＝的图象在函数y＝的图象下方． 1．指数函数的图象 a>1 0<a<1 图 象 2.指数函数的简单性质 (1)一般地，指数函数y＝ax，当a＞1时 ①定义域为R，值域为(0，＋∞)，过定点(0，1)，在R上是增函数． ②当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0． ③对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： 当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； 学生用书↓第93页 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x＞0时，ax＞bx＞1. (2)一般地，指数函数y＝ax，当0＜a＜1时 ①定义域为R，值域为(0，＋∞)，过定点(0，1)，在R上是减函数． ②当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大． ③对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： 当x＜0时，ax＞bx＞1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x＞0时，0＜ax＜bx＜1. (1)对任意实数a<1，且a≠0，关于x的函数y＝(1－a)x＋4图象必过定点(　　) A．(0，4) B．(0，1) C．(0，5) D．(1，5) (2)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)因为a<1，且a≠0，所以1－a＞0，且1－a≠1，故函数y＝(1－a)x是指数函数，过定点(0，1)，则y＝(1－a)x＋4过定点(0，5)．故选C. (2)由题图，直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>.故选C. 解决指数函数图象问题的注意点 1．熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． 2．在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 对点练2.(1)已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) (2)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中，可能成立的关系式有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)由于0<m<n<1，故排除A、B；作直线x＝1与两个曲线相交(图略)，交点在下面的是函数y＝mx的图象，在上面的是函数y＝nx的图象．故选C. (2)在同一坐标系中画出函数y＝2 023x与y＝2 024x的图象如图所示，结合图象可知：若2 023a＝2 024b>1，如图①，则0<b<a，①可能成立；若2 023a＝2 024b＝1，则0＝b＝a，⑤可能成立；若2 023a＝2 024b<1，如图②，则a<b<0，②可能成立．综上，可能成立的关系式有3个．故选C. 指数函数图象的简单应用 如图所示，函数f(x)＝的图象是(　　) 答案：B 解析：因为y＝＝所以x＝1时，y＝0，x≠1时，y>0.故选B. [变式探究] 　(变设问)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________；若有两个交点，则实数m的取值范围是________． 答案：{m|m≥2，或m＝0}　 解析：根据函数f(x)＝的图象，若直线y＝m与函数f(x)＝的图象只有1个交点，则m≥2或m＝0，即实数m的取值范围是{m|m≥2，或m＝0}．若有两个交点时0<m<2，即实数m的取值范围是. 处理函数图象问题的策略 1．抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． 2．巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)和翻折变换． 对点练3.(1)若函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b为实数)的图象在第一、三、四象限，则有(　　) A．0<a<1，b>1 B．0<a<1，b<1 C．a>1，b<1 D．a>1，b>1 学生用书↓第94页 (2)已知函数f(x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝－1，但又不与该直线相交，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 答案：(1)D　(2)C 解析：(1) 由题意，画出函数的草图，结合图象可得a>1，1－b<0，所以a>1，b>1.故选D. (2)因为函数f(x)＝a＋b的图象过原点，所以f(0)＝a＋b＝a＋b＝0，又因为图象无限接近直线y＝－1，但又不与该直线相交，所以b＝－1，所以a＝1.故选C. 知识 1.指数函数的概念.2.指数函数的图象以及图象的简单应用 方法 待定系数法、数形结合法 易错误区 易忽视底数a的限制条件；易忽视对于a是否大于1进行讨论 1．下列函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝3·3x B．y＝3x－1 C．y＝2x D．y＝x2 答案：C 解析：形如y＝ax(a>0，a≠1)的函数为指数函数，y＝3·3x的3x系数不为1，y＝3x－1的指数不是x，y＝x2是幂函数，故选C. 2．如果函数f(x)＝ax(a>1) 的图象经过点A(3，8)，那么实数a 的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．24 答案：A 解析：由函数f(x)＝ax(a>1) 的图象经过点A(3，8)，得a3＝8，解得a＝2.故选A. 3．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 答案：D 解析：由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，排除A，B；分析可知： 函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax向左平移所得，所以－b>0，所以b<0.故D正确．故选D. 4．已知常数a>0，且a≠1，无论a为何值，函数y＝ax＋4＋3的图象恒经过一定点，则这个点的坐标为________． 答案：(－4，4) 解析：因为当x＋4＝0时，即x＝－4时，y＝a0＋3＝4，即y＝ax＋4＋3恒过点(－4，4)． 课时测评25　指数函数的图象和性质(一) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的图象过点P(2，9)，则f(－1)＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3 B．－3 C． D．－ 答案：C 解析：由题意可知f(2)＝a2＝9⇒a＝3，f(x)＝3x，所以f(－1)＝.故选C. 2．[多选题](2024·福建厦门高一期中)若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　) A．a＝8 B．f(0)＝－3 C．f ＝2 D．a＝4 答案：AC 解析：因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f ＝8＝2，故B、D错误，A、C正确．故选AC. 3．要得到函数y＝22x－1的图象，只需将指数函数y＝4x的图象(　　) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案：D 解析：因为22x－1＝22＝4x－，所以为了得到函数y＝22x－1的图象，只需将指数函数y＝4x的图象向右平移个单位．故选D. 4．函数y＝xa(x≥0)和函数y＝ax(x≥0)在同一坐标系下的图象可能是(　　) 答案：C 解析：y＝xa(x≥0)必过(0，0)，y＝ax(x≥0)必过(0，1)，故D错误；对于A，由y＝ax图象知a>1，由y＝xa图象可知0<a<1，故A错误；对于B，由y＝ax图象知0<a<1，由y＝xa图象可知a>1，故B错误；对于C，由y＝ax图象知0<a<1，由y＝xa图象可知0<a<1，故C正确．故选C. 5．[多选题]已知指数函数f (x)满足f ＝，则下列结论中正确的是(　　) A．f (x)＝5x B．f (x)＝5－x C．f (－1)＝ D．5f (1)＝f (2) 答案：ACD 解析：设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，于是a－＝，即a－＝5－，因此a＝5，函数f (x)＝5x，故A正确，B错误；显然f(－1)＝5－1＝，故C正确；又5f (1)＝5×5＝25＝52＝ f(2)，故D正确．故选ACD. 6．已知函数f (x)＝则f (f (－3))＝________． 答案： 解析：因为f(x)＝所以f(－3)＝2－3＝，则f(f(－3))＝f ＝＝. 7．(开放题)已知函数f (x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)；当x>0时，f(x)<1.则满足这两个条件的一个函数为________． 答案：f (x)＝(答案不唯一) 解析：由∀x，y∈R，f(x＋y)＝f (x)f (y)，知f (x)＝ax(a>0，且a≠1)满足该条件；又当x>0时，f (x)<1，可得0<a<1，故f (x)可以为f (x)＝. 8. 函数y＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a＋b＝________． 答案：－ 解析：由图可得f (－1)＝a－1＋b＝0，f(0)＝a0＋b＝－2，则a＝，b＝－3，a＋b＝－. 9．(10分)已知函数f (x)＝ax，g(x)＝bx，若f(1)＋g(1)＝5，f (1)－g(1)＝1. (1)求f (x)，g(x)的解析式；(4分) (2)若f (m)＝g(n)，试比较m，n的大小．(6分) 解：(1)由解得f (1)＝3，g(1)＝2，即a＝3，b＝2. 所以f (x)＝3x，g(x)＝2x. (2)由f (m)＝g(n)，得3m＝2n， 当m＝0时，有2n＝1，所以n＝0，此时m＝n； 当m>0时，2m<3m＝2n，此时m<n； 当m<0时，2m>3m＝2n，此时m>n. (10—12每小题5分，共15分) 10．“a>1”是“函数f (x)＝ax－a(a>0且a≠1)的图象经过第三象限”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：当a>1时，f (0)＝1－a<0，再结合指数函数y＝ax(a>1)的图象特征可知f (x)的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立；若f (x)的图象经过第三象限，易知0<a<1时不成立，所以a>1，且f (0)＝1－a<0，解得a>1，所以必要性成立．故选C. 11．[多选题]已知函数f (x)＝(a>0，且a≠1)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)恒过定点(0，1) B．函数f (x)的值域为[0，＋∞) C．函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增 D．若直线y＝2a与函数f (x)的图象有一个公共点，则实数a的取值范围是 答案：BC 解析：已知函数f (x)＝(a>0，且a≠1)，则x∈R，对于A，f (0)＝＝0，函数f (x)恒过定点(0，0)，故A错误；对于B，x∈R，则ax－1>－1，所以≥0，函数f (x)的值域为[0，＋∞)，故B正确；对于C，当0<a<1时，则y＝ax单调递减，又x≥0，所以ax≤1，所以f (x)＝＝－ax＋1，显然此时f (x)在[0，＋∞)上单调递增；当a>1时，则y＝ax单调递增，又x≥0，所以ax≥1，所以f (x)＝＝ax－1，显然此时f (x)在[0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，y＝|ax－1|的图象由y＝ax的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a>1(图①)和0<a<1(图②)两种情况分别作图，如图所示： 当a>1时，2a>2，显然符合题意；当0<a<1时，此时2a≥1，即<a<1.综上，a的取值范围为∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC. 12．[多选题](2024·广西桂林高一期中)设指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f (x＋y)＝f (x)f (y) B．f (x－y)＝ C．f (nx)＝(n∈Q) D.＝(n∈N＋) 答案：ABC 解析：对于A，f (x＋y)＝ax＋y，f (x)f (y)＝ax·ay＝ax＋y，所以f (x＋y)＝f (x)f (y)，故A正确；对于B，f (x－y)＝ax－y，＝＝ax－y，所以f (x－y)＝，故B正确；对于C，f (nx)＝anx，＝(ax)n＝anx，所以f (nx)＝，故C正确；对于D，＝(axy)n＝anxy，＝(ax)n·(ay)n＝anx·any＝anx＋ny，所以≠，故D错误．故选ABC. 13．(15分)已知函数f (x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若f (x)的图象如图①所示，求a，b的值；(4分) (2)若f (x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(4分) (3)在(1)中，若|f (x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．(7分) 解：(1)因为f (x)的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以解得a＝，b＝－3. (2)由f (x)为减函数可知a的取值范围为(0，1)， 因为f (0)＝1＋b<0，即b<－1， 所以b的取值范围为(－∞，－1)． (3)由题中图①可知y＝|f (x)|的图象如图， 由图可知，若|f (x)|＝m有且仅有一个实数解，则m＝0或m≥3. 所以m的取值范围为{m|m＝0，或m≥3}． 14．(5分)(新情境)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f (A)，得到另一数集B，也就是B＝f (A)．那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数．已知集合A＝{－2，1，2，4}，B＝{0，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从A到B的函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝|x| C．y＝x2 D．y＝2|－x| 答案：D 解析：对于A，对于数集A中的－2，根据y＝2x可得y＝－4，而B＝{0，2，4，16}中无－4，故A错误；对于B，对于数集A中的1，根据y＝|x|可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中无1，故B错误；对于C，对于数集A中的1，根据y＝x2可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中无1，故C错误；对于D，对于数集A中的－2和2，根据y＝2|－x|可得y＝4，对于数集A中的1，根据y＝2|－x|可得y＝2，对于数集A中的4，根据y＝2|－x|可得y＝16，{2，4，16}⊆B，故D正确．故选D. 15．(15分)(数学建模)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192 h，而在22 ℃的厨房中则约是42 h. (1)写出保鲜时间y(单位：h)关于储藏温度x(单位：℃)的函数解析式；(4分) (2)利用(1)中结论，指出温度在30 ℃和16℃的保鲜时间；(参考数据≈0.125，≈0.328，精确到1 h)(4分) (3)运用上面的数据，作此函数的图象．(7分) 解：(1)设y＝k·ax(k≠0，a>0，且a≠1)， 则有所以 所以y＝192·(x≥0)． (2)x＝30时，y＝192·≈24， 即储藏温度为30℃时保鲜时间约24小时； x＝16时，y＝192·≈63，即储藏温度为16 ℃时保鲜时间约为63小时． (3)因为y＝192·(x≥0)，函数图象如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $$