2.4.1 第2课时 函数奇偶性的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　函数奇偶性的应用 知识目标 1.进一步掌握函数奇偶性，能用奇偶性求解析式．　2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来解决比较大小、求最值、解不等式等问题. 素养目标 通过函数奇偶性与单调性的综合应用，培养逻辑推理、数学运算素养. 知识点一　根据函数奇偶性求函数的解析式 问题1.如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那么你能判断下列函数：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)的奇偶性吗？ 如果f(x)和g(x)都是偶函数呢？ 提示：能．如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)均为奇函数，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)均为偶函数；如果函数f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)都是偶函数． 关于奇偶函数的几个性质 　(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数． (2)奇偶性相同的两个函数的积(商，分母不为零)为偶函数；奇偶性相反的两个函数的积(商，分母不为零)为奇函数． (3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)＝0． (4)如果函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式； (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0. 故f(x)＝ (2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 在f(x)＋g(x)＝2x＋x2中，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 所以f(x)＝x2，g(x)＝2x. [变式探究] 　(变条件)将本例(1)中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式． 解：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3， 即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 第一步：“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； 第二步：转化到已知区间上，代入已知的解析式； 第三步：利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　　 对点练1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是(　　) A．y＝x(x－2) B．y＝|x|(x－1) C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2) 答案：D 解析：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，则f(x)＝－x2－2x，结合已知解析式知：f(x)＝x(|x|－2)．故选D. 知识点二　利用函数奇偶性与单调性比较大小 问题2.想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性又如何？ 提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增． 学生用书↓第76页 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M． 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N． 以上a，b符号相同． 已知定义在[2a－1，3a]上的奇函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(c)>f(b)>f(a) C．f(b)>f(a)>f(c) D．f(b)>f(c)>f(a) 答案：D 解析：由题意可得2a－1＝－3a，所以a＝，因为函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)为奇函数，所以解得所以函数f(x)＝x3＋x，又函数f(x)＝x3＋x在上为单调递增函数，且b>c>a，所以f(b)>f(c)>f(a)．故选D. 利用函数奇偶性与单调性比较大小的求解策略 1．若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． 2．若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小．　　 对点练2.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)<f(－3)<f(－2) B．f(π)<f(－2)<f(－3) C．f(－2)<f(－3)<f(π) D．f(－3)<f(－2)<f(π) 答案：C 解析：因为偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，f(2)<f(3)<f(π)，所以f(－2)<f(－3)<f(π)．故选C. 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)在[－2，2]上单调递减． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围为. [变式探究] 1．(变条件)若把本例中“f(1－m)<f(m)”改为“f(1＋m)＋f(m)<0”，求实数m的取值范围． 解：由题意知f(x)为奇函数，且在定义域[－2，2]上单调递减， 所以不等式f(1＋m)＋f(m)<0，即f(1＋m)<－f(m)＝f(－m)． 则解得－<m≤1. 故实数m的取值范围为. 2．(变条件)设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[－2，0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解：因为f(x)为偶函数，且在区间[－2，0]上单调递减， 所以f(x)在[0，2]上单调递增． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)， 则|1－m|<|m|≤2，解得<m≤2. 故实数m的取值范围为. 利用函数奇偶性与单调性解不等式的两类问题 1．利用图象解不等式 2．转化为简单不等式求解 (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． [注意]　列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域．　　 学生用书↓第77页 对点练3.(1)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式f(x)<f(－x)的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(0，3) B．(－3，0)∪(3，＋∞) C．(－3，3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) (2)若偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式<0的解集为(　　) A．(－3，3) B．(－∞，－3)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，0)∪(3，＋∞) 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在[0，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，可知函数f(x)的减区间为[－1，1]，增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，又f(3)＝0，可知当x<－3，或0<x<3时，f(x)<0；当－3<x<0，或x>3时，f(x)>0.不等式f(x)<f(－x)可化为f(x)<－f(x)，有f(x)<0，故不等式f(x)<f(－x)的解集为(－∞，－3)∪(0，3)．故选A. (2)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以<0可转化为<0⇒<0.而f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(3)＝0，故⇒x>3，或⇒－3<x<0，故<0的解集为(－3，0)∪(3，＋∞)．故选D. 知识 1.利用奇偶性求函数的解析式.2.利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式 方法 转化法、数形结合法 易错误区 解不等式时易忽视函数的定义域 1．已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．－x2＋x B．－x2－x C．x2＋x D．x2－x 答案：D 解析：当x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，又f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x.故选D. 2．已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则不等式f(x＋1)>f(2x)的解集为(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 答案：C 解析：因为奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，因为f(x＋1)>f(2x)，所以x＋1>2x，解得x<1.故选C. 3．设奇函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是减函数，则f(－)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－) B．f(π)>f(－)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－) D．f(π)<f(－)<f(－3) 答案：D 解析：由f(x)是R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)在R上单调递减，所以f(π)<f(－)<f(－3)．故选D. 4．已知函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝x2－x＋1，则f(1)＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：由f(x)＋g(x)＝x2－x＋1　①，得f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋1，因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋1　②，①－②得2f(x)＝－2x，所以f(x)＝－x，则f(1)＝－1.故选B. 课时测评21　函数奇偶性的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x－3，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．－x2－2x＋3 B．x2＋2x－3 C．－x2＋2x＋3 D．x2－2x－3 答案：B 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋2x－3.故选B. 2．设f(x)为R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝3x－1，则f(0)＋f(4)＝(　　) A．11 B．－11 C．13 D．－13 答案：C 解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(4)＝－f(－4)，又当x<0时，f(x)＝3x－1，所以f(4)＝－f(－4)＝－(－4×3－1)＝13，所以f(0)＋f(4)＝0＋13＝13.故选C. 3．已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，满足f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，又函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则f(x)－g(x)＝x2－x－2，所以f(x)＝＝ ＝x2－2，f(2)＝22－2＝2.故选B. 4．[多选题]定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在[0，＋∞)上正确的结论是(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．最大值为 D．最小值为－ 答案：ABC 解析：由题可知，函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，已知f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，且f(0)＝0符合上式，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋，可知f(0)＝0，f(1)＝0，且最大值为，无最小值，所以f(x)在[0，＋∞)上正确的结论是A、B、C.故选ABC. 5．[多选题]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1 C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数 D．若x>0时，f(x)＝5x2－x，则x<0时，f(x)＝－5x2－x 答案：ABD 解析：由f(0)＝－f(0)得f(0)＝0，故A正确；当x≥0时，f(x)≥－1，则x≤0时，f(－x)≥－1，f(x)＝－f(－x)≤1，最大值为1，故B正确；若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为增函数，故C错误；若x>0时，f(x)＝5x2－x，则x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[5(－x)2－(－x)]＝－5x2－x，故D正确．故选ABD. 6．(开放题)请写出一个满足以下两个条件的函数f(x)＝________． ①f(x)是偶函数；②f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 答案：x2(答案不唯一) 解析：因为f(x)是偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数可以是f(x)＝x2(答案不唯一)． 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x，则f(－1)＝________，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________． 答案：－3　－x2＋2x 解析：由题意可得：f(－1)＝－f(1)＝－3；当x∈(－∞，0)时，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋2(－x)]＝－x2＋2x. 8．已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是____________． 答案： 解析：因为函数是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，由f(m－2)＋f(2m－3)>0，即f(m－2)>－f(2m－3)＝f(3－2m)， 所以解得1<m<，所以实数m的取值范围是. 9．(10分)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，x>0时，f(x)＝. 求：(1)f(x)的解析式；(4分) (2)f(x)的值域．(6分) 解：(1)由题意可知，当x＝0时，f(x)＝0， 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－， 所以f(x)＝ (2)当x>0时，x2＋x＋1>1，则∈(0，1)， 当x<0时，因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(x)∈(－1，0)，当x＝0时，f(0)＝0， 所以函数f(x)的值域为(－1，1)． (10—12每小题5分，共15分) 10．[多选题]下列说法中正确的有(　　) A．若定义在R上的函数f(x)满足f(1)≠f(－1)，则函数f(x)不是偶函数 B．若定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝f(－1)，则函数f(x)不是奇函数 C．若定义在R上的函数f(x)满足f(1)>f(－1)，则函数f(x)不是单调减函数 D．若定义在R上的函数f(x)满足f(1)<f(－1)，则函数f(x)是单调减函数 答案：AC 解析：对于A，若定义在R上的函数f(x)满足f(1)≠f(－1)，则函数f(x)不是偶函数，故A正确；对于B，若定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝f(－1)，则函数f(x)有可能是奇函数，如f(x)＝x3－x，故B错误；对于C，若定义在R上的函数f(x)满足f(1)>f(－1)，明显不满足对任意x1>x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)不是单调减函数，故C正确；对于D，若定义在R上的函数f(x)满足f(1)<f(－1)，由于不一定满足单调性定义中的任意性，故函数f(x)可能不是单调函数，故D错误．故选AC. 11．已知奇函数y＝f(x)(x∈R)在(0，＋∞)严格递减，则下列结论正确的是(　　) A．y＝f(x)在(－∞，＋∞)严格递减 B．y＝f(x)在(－∞，0]上严格递减 C．y＝f(x)在[a，a＋1](a≥0)上严格递减 D．y＝f(x)在[2a，a－1]上严格递减 答案：D 解析：根据题意可知：奇函数y＝f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别严格递减，但由于不确定f(0)的值与f(0＋)，f(0－)的大小关系，故y＝f(x)在(－∞，＋∞)上和(－∞，0]上的单调性也不确定，故A、B错误；对于C，当a＝0时，y＝f(x)在[0，1]上的单调性仍然不确定，故C错误；对于D，易得2a<a－1，故a<－1，所以[2a，a－1]⊂(－∞，0)，故y＝f(x)在[2a，a－1]上严格递减，故D正确．故选D. 12．[多选题]已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增 C．f(x)的值域为[0，＋∞) D．f()>f(π)>f(－3) 答案：ACD 解析：对于A，因为函数f(x)＝的定义域为R，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；对于B，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，－1)上的单调性与在(1，＋∞)上的单调性相反，当x≥0时，f(x)＝，而f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，故B错误；对于C，f(x)＝当x≥0时，f(x)＝的值域为[0，＋∞)，因为函数为偶函数，所以f(x)的值域为[0，＋∞)，故C正确；对于D，因为函数f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，因为π<3.15，所以π2<3.152＝9.922 5，所以>π>3，因为f(x)＝在[0，＋∞)上单调递增，所以f()>f(π)>f(3)＝f(－3)，故D正确．故选ACD. 13．(15分)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数． (1)求实数a，b的值；(5分) (2)若存在x∈[－2，2]，不等式f(x)>c成立，求实数c的取值范围．(10分) 解：(1)由题意得， 即解得a＝－1，b＝2， 此时f(x)＝ 则f(－x)＝ ＝ 即f(－x)＝－f(x)，所以a＝－1，b＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ 当x∈时，f(x)＝x2＋2x，对称轴为x＝－1，且函数f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 所以当x＝－2时，f(x)max＝0； 当x∈[0，2]时，f(x)＝－x2＋2x，对称轴为x＝1， 且函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以当x＝1时，f(x)max＝1. 综上所述，f(x)max＝1， 由题意，存在x∈[－2，2]，不等式f(x)>c成立，则只需要f(x)max>c即可， 所以c<1，即实数c的取值范围为(－∞，1)． 14．(5分)(新角度)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A．f(f(1))<f(f(2)) B．f(g(1))<f(g(2)) C．g(f(1))<g(f(2)) D．g(g(1))>g(g(2)) 答案：B 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)，所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，故B正确，C、D错误；若>，则f(f(1))>f(f(2))，故A错误．故选B. 15．(15分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(5分) (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．(10分) 解：(1)因为a>b，所以a－b>0， 由题意得>0， 所以f(a)＋f(－b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－b)＝－f(b)， 所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)． (2)由(1)知f(x)为R上的增函数， 因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0， 所以f(1＋m)≥－f(3－2m)， 即f(1＋m)≥f(2m－3)， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(－∞，4] 学科网（北京）股份有限公司 $$