2.2.2 函数的表示法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

2.2　函数的表示法 知识目标 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.　2.掌握求函数解析式的常见方法.　3.尝试作图并从图象上获取有用的信息. 素养目标 通过学习图象法表示函数，培养直观想象素养；通过求函数解析式，培养数学运算素养. 问题1.结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？ 提示：三种表示方法：解析法、列表法和图象法. 问题2.中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用几种方法表示x与y的关系？如何表示？ 提示：三种方法，函数的定义域是数集{1，2，3，4，5，6}，用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1，2，3，4，5，6}.列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 图象法可将函数表示为 函数的表示方法 [微思考]　函数的三种表示法各有什么优缺点？ 提示：函数的三种表示法的优缺点： 角度1　函数的表示方法 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解：(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}. 学生用书↓第61页 1.解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示. 2.在用三种方法表示函数时，要注意： (1)解析法要注明函数的定义域. (2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征. (3)图象法要注意图象是散点还是连续的曲线.　　 对点练1.某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系. 解：(1)该函数关系用列表法表示为 x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 (2)该函数关系用图象法表示，如图. (3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5}). 角度2　函数的图像 (链教材P56例3、P57例4)画出下列函数的图象，并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 解：(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1，5]. 　　 (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，如图②，观察图象可知其值域为(0，1]. (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图③， 由图可得函数的值域是[－1，8]. 函数y＝f(x)图象的画法 1.若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有时需要根据定义域进行取舍. 2.若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：(1)列表；(2)描点；(3)连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象.　　 对点练2.画出下列函数的图象： (1)f(x)＝x2－4|x|； (2)y＝x－[x](其中y＝[x]为取整函数). 解：(1)f(x)＝ 其图象如下： (2)由题意知y＝x－[x]＝x－(k－1)， 其中k－1≤x<k(k∈Z)， 其图象如下： 应用一　函数解析式的求法 (1)已知f(x)＝x2，求f(2x＋1)的解析式； (2)已知f(＋2)＝x＋4，求函数f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求函数f(x)的解析式； (4)已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，求f(x)的解析式. 解：(1)因为f(x)＝x2，所以f(2x＋1)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1. (2)法一(换元法)：设t＝＋2，则t≥2，＝t－2，即x＝(t－2)2， 所以f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，所以f(x)＝x2－4(x≥2). 法二(配凑法)：因为f(＋2)＝(＋2)2－4，所以f(x)＝x2－4(x≥2). (3)(待定系数法)：因为f(x)是二次函数， 所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1. 由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝ax2＋bx＋1＋2x， 整理得(2a－2)x＋(a＋b)＝0， 所以所以 所以f(x)＝x2－x＋1. (4)(方程组法)：用－x替换f(x)＋2f(－x)＝2x＋3中的x，得f(－x)＋2f(x)＝－2x＋3， 由 解得f(x)＝－2x＋1. 学生用书↓第62页 求函数解析式的四种常用方法 1.换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可. 2.配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. 3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可. 4.方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.　　 对点练3.(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知2f ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)的解析式. 解：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. 所以解得或 所以f(x)＝3x＋1，或f(x)＝－3x－2. (2)因为f ＝x2＋＝＋2， 所以f(x)＝x2＋2. (3)由题意知，f(x)＋2f ＝x(x≠0)，令x＝，得f ＋2f(x)＝(x≠0). 于是得到关于f(x)与f 的方程组解得f(x)＝－(x≠0). 应用二　分段函数的图象及应用 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域. 解：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x得x＝－2，或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， 所以φ(x)的值域为(－∞，1]. 分段函数图象的画法 1.作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证函数图象的正确性. 2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.　　 对点练4.已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f ，f ，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值. 解：(1)因为>1， 所以f ＝－2×＋8＝5. 因为0<<1，所以f ＝＋5＝. 因为－1<0，所以f(－1)＝－3＋5＝2. (2)这个函数的图象如图. 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0<x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象. (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 知识 1.函数的表示法.2.函数的图象与应用.3.函数解析式的求法 方法 待定系数法、换元法、配凑法、方程组法、数形结合法 易错误区 求函数解析式时易忽略函数的定义域 学生用书↓第63页 1.已知函数y＝f(x)，用列表法表示如下： x －2 －1 0 2 3 y 5 2 1 3 4 则f(－1)＋f(2)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．9 答案：B 解析：由列表可知f(－1)＋f(2)＝2＋3＝5.故选B. 2.已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－ B.f(x)＝ C．f(x)＝3x D.f(x)＝－3x 答案：B 解析：设f(x)＝(k≠0)，因为f(－3)＝＝－1，所以k＝3，所以f(x)＝.故选B. 3.若函数f(x＋1)＝x2－5，则f(x)＝(　　) A．x2＋2x－6 B．x2＋2x－4 C．x2－2x－6 D．x2－2x－4 答案：D 解析：由f(x＋1)＝(x＋1－1)2－5，得f(x)＝(x－1)2－5＝x2－2x－4.故选D. 4.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 答案：D 解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.故选D.课时测评17　函数的表示法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A．[2，5] B．{2，3，4，5} C．(0，20] D．N＋ 答案：B 解析：由题中列表表示的函数可知函数的值域为{2，3，4，5}.故选B. 2.函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(9)＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：C 解析：由图象可知，当x＝9时，y＝3，故f(9)＝3.故选C. 3.已知函数f(x)满足f(2x)＝4x2＋2x，则(　　) A．f(x)＝2x2＋x B．f(x)＝x2＋2x C．f(x)＝2x2＋2x D．f(x)＝x2＋x 答案：D 解析：令t＝2x，则由f(2x)＝(2x)2＋2x，可得f(t)＝t2＋t，即f(x)＝x2＋x.故选D. 4.函数y＝＋x的图象是(　　) 答案：D 解析：y＝＋x＝结合一次函数的图象可知A、B、C错误；D正确.故选D. 5.[多选题]已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则(　　) A．f(f(－3))＝1 B．f(－1)＝3.5 C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2，3] D．函数的值域是[1，5] 答案：AD 解析：对于A，由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，故A正确；对于B，图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，故B错误；对于C，由图象可得函数的定义域为[－3，0]∪[2，3]，故C错误；对于D，由图象可得函数的值域为[1，5]，故D正确.故选AD. 6.已知函数f(x)由下表给出，若f(x0)＝f(1)＋f(3)·f(4)，则x0＝　　　　Ｗ. x 1 2 3 4 f(x) 1 3 1 2 答案：2 解析：f(x0)＝f(1)＋f(3)·f(4)＝1＋1×2＝3，则x0＝2. 7.(开放题)已知函数f(x)的定义域是[2 023，2 024]，值域是[2 021，2 022]，则这样的函数可以是：f(x)＝　　　　　　，x∈[2 023，2 024].(写出符合要求的一个函数解析式即可) 答案：x－2(答案不唯一) 解析：根据函数的定义域与值域，函数可以是f(x)＝x－2.(答案不唯一) 8.已知等腰三角形的周长为1，把该三角形腰长y表示为底边长x的函数，则该函数为y＝　　　　Ｗ.(要求：写出解析式和自变量的取值范围) 答案：y＝ 解析：根据题意知：x＋2y＝1，2y>x，故0<x<，则函数为y＝. 9.(10分)已知函数p＝f(m)的图象如图所示.求： (1)函数p＝f(m)的定义域，值域；(4分) (2)p取何值时，有唯一的m值与之对应.(6分) 解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可得－3≤m≤0或1≤m≤4，－2≤p≤2， 故函数的定义域为[－3，0]∪[1，4]，值域为[－2，2]. (2)由图知：p∈(0，2]时，有唯一的m值与之对应. (10—12每小题5分，共15分) 10.(新情境)老舍在《济南的冬天》中写到济南的冬天是没有风声的，济南的冬天是响晴的，济南真得算个宝地.济南市某一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象正确的是(　　) 答案：D 解析：由题意C(t)，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足.故选D. 11.[多选题]若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则(　　) A．f ＝15 B．f(2)＝－ C．f(x)＝－1(x≠0) D．f ＝－1(x≠0且x≠1) 答案：AD 解析：令1－2x＝t(t≠1)，则x＝，所以f(t)＝＝－1，则f(x)＝－1(x≠1)，故C错误；f ＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误；f ＝－1＝－1(x≠0且x≠1)，故D正确.故选AD. 12.[多选题]下列函数中，满足f(3x)＝3f((x)的是(　　) A．f(x)＝x－|x| B．f(x)＝x＋2 C．f(x)＝－2x D．f(x)＝|x| 答案：ACD 解析：对于A，f(3x)＝3x－|3x|＝3(x－|x|)＝3f(x)，故A正确；对于B，f(3x)＝3x＋2≠3f(x)＝3x＋6，故B错误；对于C，f(3x)＝－6x＝3(－2x)＝3f(x)，故C正确；对于D，f(3x)＝|3x|＝3|x|＝3f((x)，故D正确.故选ACD. 13.(15分) 已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(4分) (2)画出函数f(x)的图象；(4分) (3)写出函数f(x)的值域.(7分) 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x. 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3). 14.(5分)(新定义)[多选题]具有性质f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是(　　) A．f(x)＝x－ B．f(x)＝x＋ C．f(x)＝ D．f(x)＝x2－ 答案：AC 解析：对于A，f ＝－x，－f(x)＝－x，故满足“倒负”变换；对于B，f ＝＋x，－f(x)＝－－x，故不满足“倒负”变换；对于C，当0＜x＜1时，f ＝－x，－f(x)＝－x，当x＝1时，f(1)＝0，成立，当x＞1时，f ＝，－f(x)＝，故满足“倒负”变换；对于D，f ＝，－f(x)＝，故不满足“倒负”变换.故选AC. 15.(15分)某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件. (1)写出函数y关于x的解析式；(5分) (2)用列表法表示此函数，并画出图象.(10分) 解：(1)将与代入y＝ax＋中， 得⇒⇒ 所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N，0<x≤20).[JP] (2)当x∈{1，2，3，4，5，…，20}时，列表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8 依据上表，画出函数图象如图所示，是由20个点构成的点列. 学科网（北京）股份有限公司 $$