2.2.2函数的表示法（第3课时分段函数）（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

§2.2 函数的表示法 第3课时—分段函数 第二章 函 数 北师大版2019必修第一册·高一 学 习 目 标 理解分段函数的概念，掌握分段函数求值和画图的方法，能解决实际问题中的分段函数问题 增强学生的数学应用意识，体会数学在实际生活中的价值,渗透数学运算和直观想象核心素养 培养学生分析问题和解决问题的能力 教学 目标 重点 分段函数的概念、求值方法及图象绘制； 难点 分段函数的实际应用及解析式的确定； 01 实例分析,生成概念 例6. 阶梯电价与分段函数（课本P52） 例6：某地电力公司为鼓励市民节约用电,采取阶梯电价,即按月用电量分段计费办法,居民每月应缴电费(单位:元)与用电量(单位:)的关系是 分段函数 【问题1】第二段函数中,-12是如何得到的？能否通过前两段的衔接点验证？” 数学建模 为保证时两段函数值相等： 01 实例分析,生成概念 例6. 阶梯电价与分段函数（课本P52） 例6：某地电力公司为鼓励市民节约用电,采取阶梯电价,即按月用电量分段计费办法,居民每月应缴电费(单位:元)与用电量(单位:)的关系是 分段函数 【问题2】“若某居民本月电费为 250 元,你能反推出用电量吗？需要分几种情况讨论？” 数学建模 结论：用电量约为459.47 kw·h. 需分三种情况： (1)若超出范围,舍去)； (2)若超出范围,舍去)； (3)若符合) 分段函数是一个函数,但在不同区间有不同的对应关系 02 抽象概念,得出概念 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数. 分段函数的定义 1.分段函数是一个函数,而不是几个函数. 概念解读 2.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集. 3.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算. 03 典例剖析,应用新知 分段函数的求值 题型一 题型探究 例1.已知函数 (1)求; (2)若，求实数的值. 求值问题 需从内到外逐层计算 确定自变量所在区间 嵌套求值 代入对应解析式求值 理清思路 解：(1)因为,所以 所以 求函数值 方法技巧 1.确定自变量所在区间 2.代入对应解析式求值 3.若嵌套求值(如)，需从内到外逐层计算 分段函数的求值——求函数值 03 典例剖析,应用新知 分段函数的求值 题型一 题型探究 例1.已知函数 (1)求; (2)若，求实数的值. 求值问题 代值解方程 验范围 定区间 得结论 理清思路 解：(2) 当时, ,解得(舍)； 当时,, 解得,又因，所以. 综上：实数 求自变量 方法技巧 1.分区间：确定自变量可能存在的区间及对应解析式 2.代值解方程：将函数值代入各区间的解析式求解 3.检验：检验解是否属于对应区间 分段函数的求值——求自变量 先分段,再代入,最后验证 求函数值 方法总结 题型一、分段函数求值 归纳 1.确定自变量所在区间 2.代入对应解析式求值 3.若嵌套求值(如)，需从内到外逐层计算 类型一 求自变量 1.分区间：确定自变量可能存在的区间及对应解析式 2.代值解方程：将函数值代入各区间的解析式求解 3.检验：检验解是否属于对应区间 类型二 分段函数的求值 题型一 练一练 1．设函数,则 , 若,则 . 解：依题意，， 所以； 当时,,即 解得则 当时,解得则， 所以或. 或 由里到外→定区间→代入→求值 分区间→代值解方程→检验 求函数值、自变量 分类求解 审题 先定区间,再代入求值 理清思路 例3 解析法 例5 图像法 例4 列表法 探究 分段函数的图象 题型二 题型探究 例2 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:y= 分析例题中分段函数 例题中的函数分为哪几段？每一段的定义域和对应关系是什么？ 绘制分段函数的图象 (1)如何分别绘制​ 在  和 在的图象？ (2)在绘制分段函数图象时,需要注意哪些关键点？ 确定函数的值域 如何通过图象观察函数的值域？ 例3 解析法 例5 图像法 例4 列表法 探究 由分段函数图象求解析式 题型三 题型探究 例2 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:y= 解:函数y=的图象如图所示,观察图象,得函数的值域为(1,+∞). 方法技巧 画分段函数的步骤 1.分段画：在每个区间内绘制对应的图形(曲线、直线或点) 2.端点判：区分端点是否包含(实心点●、空心点○) 3.查连接：检查分段点处是否连续或断开 函数的值域是：图象在  轴上的最低和最高点 由函数图象求值域 分段画→端点判→连接查 例3 解析法 例5 图像法 分段函数的图象 题型二 练一练 2.下列图形是函数y=的图象的是(　　) C 分段画（抛物线+直线） 端点判（处左空心、右实心） 连接查（函数在 处不连续） 分析 A B C D 例3 解析法 例5 图像法 分段函数的图象 题型二 练一练 3.函数的大致图象是（    ） B 分段画：先去绝对值,再分段画 端点判（处左空心、右空心） 连接查（函数在 处不连续） 分析 例3 解析法 分段函数的图象 题型二 练一练 自定义函数 【思考】有哪些分段函数的类型呢？ 例2.y= 2.y= 分段函数 P56 例3.画出函数y=|x|的图象. 含绝对值符号的函数 取整函数 P57 例4. 画出取整函数 的图象 符号函数 f(x)=sgn (x)= 常见的分段函数 常见的分段函数 自定义函数 含绝对值函数 取整函数 对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象 例如 思考 归纳 符号函数 分段函数的画法 方法总结 题型二、分段函数的图象 归纳 分段画：在每个区间内绘制对应的图形(曲线、直线或点) 端点判：区分端点是否包含(实心点●、空心点○) 连接查:检查分段点处是否连续或断开 图象 常见的分段函数 类型 函数 含绝对值函数 取整函数 符号函数 例3 解析法 例5 图像法 探究 由分段函数图象求解析式 题型三 题型探究 例3已知函数的图象如图所示，则的解析式是 . 定函数类型 代入求参数 抓关键点 检验确认 理清思路 一看点 二定型 三代算 四验证 解：当时,为一次函数的一部分, 把点和代入到中，解得，即； 例3 解析法 例5 图像法 探究 由分段函数图象求解析式 题型三 题型探究 例3已知函数的图象如图所示，则的解析式是 . 一看点 二定型 三代算 四验证 解：当时，为一次函数的一部分， 把点和代入到中，解得，即； 当时，也为一次函数的一部分， 把点和代入到中，解得，即.综上所述，. 由分段函数图象求解析式 方法总结 题型三、由分段函数图象求解析式 归纳 一看点：提取关键点坐标 二定型：根据图象形状确定函数类型 三代算：代入点求参数 方法 四验证：整体验证合理性 一次函数：， 二次函数： 反比例函数:， 例3 解析法 例5 图像法 由分段函数的图象求解析式 题型三 练一练 一看点： 二定型： 直线+抛物线+直线 三代算 分析 4.已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为　　 .  四验证 例3 解析法 例5 图像法 由分段函数的图象求解析式 题型三 练一练 4.已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为　　 .  解:依题意 当x≤1时,设y=kx+b， ∵点(1,1),(0,2)在射线上, ，解得 ∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1). 同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3). 当1<x<3时,设y=a(x-2)2+2(a<0). ∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1. ∴当1<x<3时, y=-x2+4x-2(1<x<3). 综上可知,所求函数的解析式为 例3 解析法 例5 图像法 探究 分段函数的应用 题型四 题型探究 例4为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 设某户居民的月用水量为，应交纳水费（元）． (1)求关于的函数解析式； (2)若该居民上月交纳水费99元，求此居民上月用水量． 先判断区间，再代入对应解析式解方程 检查分段点是否连续 阶梯计价问题 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 解：（1）由题知，当时，； 当时，； 当时，； 综上所述， （2）由（1）知，当时，； 当时，； 当时，； 因此当月交纳水费为99元时，用水量一定超过 故有，解得 所以此居民上月用水量为． 例3 解析法 例5 图像法 分段函数的应用 题型四 练一练 先判断区间，再代入对应解析式解方程 检查分段点是否连续 阶梯计价问题 5.北京市居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180 m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180 m3但不超过260 m3的部分,综合用水单价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为x m3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出f(x)的解析式,并作出f(x)的图象. 解 如果x∈[0,180],则f(x)=5x;如果x∈(180,260],按照题意有 f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.因此 注意到f(x)在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分,又因为f(180)=5×180=900, f(260)=7×260-360 =1 460,由此可作出函数的图象,如图所示. 分段函数 分段函数的定义 题型 由分段函数的图象求解析式 分段函数的应用 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数. 分段函数的求值 课堂小结 分段函数的图象 求函数值：1.确定自变量所在区间；2.代入对应解析式求值；3.若嵌套求值(如)，需从内到外逐层计算 求自变量：1.分区间：确定自变量可能存在的区间及对应解析式；2.代值解方程：将函数值代入各区间的解析式求解；3.检验：检验解是否属于对应区间 1.分段画：在每个区间内绘制对应的图形(曲线、直线或点) 2.端点判：区分端点是否包含(实心点●、空心点○) 3.查连接：检查分段点处是否连续或断 课后作业 1.已知函数（）. （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域. 参考答案 解：（1）当时，； 当时，. ∴ （2）函数的图象如图所示， （3）由（1）知，在上的值域为 感谢聆听! y= f(x)= $$