第一章 预备知识 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

章末综合提升 学生用书↓第48页 探究点一　集合的运算 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； (2)若(綂RA)∪B＝R，求实数a的取值范围． 解：(1)显然B≠∅，若A∩B＝∅， 则a＋3<0，或a>2， 解得a<－3，或a>2. 所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(2，＋∞). (2)因为A＝{x|0≤x≤2}， 所以綂RA＝{x|x<0，或x>2}． 因为(綂RA)∪B＝R，所以在数轴上表示出集合綂RA，B，如图所示， 所以所以－1≤a≤0. 所以实数a的取值范围为[－1，0]. 借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．　　 对点练1． (开放题)集合A＝，B＝. (1)若C＝，0∈B∩C，求实数a的值； (2)从①A∩B＝A，②A∩綂RB＝∅，③B∪綂RA＝R这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 解：(1)因为0∈B∩C，所以0∈C，所以a2＋2a－3＝0，得a＝1或a＝－3. 当a＝－3时，B＝，不满足0∈B，故舍去； 当a＝1时，B＝，满足题意．故实数a的值为1. (2)选择条件①.由A∩B＝A，得A⊆B，所以解得0≤a≤. 故实数a的取值范围是. 选择条件②.由A∩綂RB＝∅，得A⊆B， 所以解得0≤a≤. 故实数a的取值范围是. 选择条件③.由B∪綂RA＝R，得A⊆B， 所以解得0≤a≤. 故实数a的取值范围为. 探究点二　充分条件与必要条件 若实数x，y，m满足|x－m|<|y－m|，则称x比y接近m. (1)x2比0接近1，求x的取值范围； (2)判断：“x比y接近0”是“>2”的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)，并加以证明． 解：(1)因为x2比0接近1，则|x2－1|<|0－1|，即－1<x2－1<1，即0<x2<2， 解得－<x<0，或0<x<， 所以x的取值范围是{x|－<x<0，或0<x<}． (2)若x比y接近0，则|x|<|y|， 由>2可得－2＝＝>0，即<0，可得x(x－y)<0， 若x>0，则x－y<0，即y>x>0，此时|x|<|y|； 若x<0，则x－y>0，则y<x<0，则－y>－x>0，此时|x|<|y|. 所以“x比y接近0”⇐“>2”． 另一方面，若|x|<|y|，取x＝1，y＝－2，则＝1<2， 所以“x比y接近0”⇒/　　“>2”． 因此，“x比y接近0”是“>2”的必要不充分条件． 在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．　　 对点练2．(1)已知条件p：－x2＋2x＋3≥0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A. B． C． D． (2)[多选题]下列说法正确的是(　　) A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件 B．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的必要而不充分条件 C．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝3 D．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝2对称的充要条件是m＝－4 答案：(1)C　(2)AD 解析：(1)因为－x2＋2x＋3≥0，所以－1≤x≤3，又p是q的充分不必要条件，则{x|－1≤x≤3}{x|x>a}，于是a<－1.故选C. (2)对于A，两个三角形全等⇒两个三角形的面积相等，故充分性成立；但两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等，故必要性不成立，所以两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A正确；对于B，由a>b推不出a2>b2，如a＝0，b＝－1，满足a>b，但是a2<b2，故充分性不成立；由a2>b2也推不出a>b，如a＝－2，b＝－1，满足a2>b2，但是a<b，故必要性不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，当n＝4时一元二次方程x2－4x＋n＝0的根为x1＝x2＝2，故C错误；对于D，若函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝2对称，则－＝2，解得m＝－4，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝2对称的充要条件是m＝－4，故D正确．故选AD. 学生用书↓第49页 探究点三　全称量词命题与存在量词命题 已知命题p：∃x∈R，x2＋(m－2)x＋1＝0；命题q：∀a>1，m＋2≤a＋＋2. (1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p为真命题，命题q为假命题，求实数m的取值范围． 解：(1)因为命题q为真命题，a>1， 所以a＋＋2＝a－1＋＋3 ≥2＋3＝5， 当且仅当a－1＝，即a＝2时，等号成立， 所以m＋2≤5，即m≤5－2. 所以实数m的取值范围为 (－∞，5－2]. (2)由命题p为真命题，得Δ＝(m－2)2－4≥0， 解得m≤0，或m≥4， 所以当命题p为真命题时m≤0，或m≥4， 又命题q为假命题时m>5－2， 故m满足{m|m≤0，或m≥4}∩{m|m>5－2}＝{m|m≥4}． 所以实数m的取值范围为{m|m≥4}． 全称量词命题、存在量词命题的真假判定 1．全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可． 2．存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假．　　 对点练3．(1)命题“存在无理数m，使得m2是有理数”的否定为(　　) A．任意一个无理数m，m2都不是有理数 B．存在无理数m，使得m2不是有理数 C．任意一个无理数m，m2都是有理数 D．不存在无理数m，使得m2是有理数 (2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≥1} B．{m|m>1} C．{m|m<1} D．{m|m≤1} 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)命题“存在无理数m，使得m2是有理数”的否定为“任意一个无理数m，m2都不是有理数”．故选A. (2)命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)，因为－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，所以m>1.故选B. 探究点四　基本不等式及应用 解答下列各题： (1)若正数a，b满足＋＝2，求a＋b的最小值； (2)若a，c∈(0，1)，且函数y＝ax2＋x＋c的值域为[0，＋∞)，求＋的最小值； (3)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，求当取得最小值时，x＋2y－z的最大值． 解：(1)因为＋＝2，所以＋＝1， 因为a，b均为正数，所以a＋b＝(a＋b)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2a＝6时，等号成立，所以a＋b的最小值为9. (2)y＝ax2＋x＋c的值域为[0，＋∞)，则Δ＝1－4ac＝0，解得ac＝， 又a，c∈(0，1)，则＋＝＋＝＋＋2， 因为(4－4a＋4a－1)＝4＋＋＋2≥6＋4， 当且仅当＝，即a＝时，等号成立， 故＋≥2＋，故＋≥4＋， 所以＋的最小值为4＋. (3)因为x2－3xy＋4y2－z＝0， 所以z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z为正实数， 所以＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立， 此时x＋2y－z＝2y＋2y－(x2－3xy＋4y2)＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2， 所以当且仅当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取得最大值，最大值为2. 基本不等式的最值问题的解题策略 注意寻求已知条件与目标函数之间的联系，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的．很多题目中特别注意“1”的代换．　　 对点练4．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a>0，b>0，c>0)的图象经过点(1，3). (1)求＋＋的最小值；　 (2)求证：＋＋≥3. 解：(1)因为函数y＝ax2＋bx＋c(a>0，b>0，c>0) 的图象经过点(1，3)， 所以a＋b＋c＝3， 所以＋＋＝(a＋b＋c)＝ ≥×＝， 当且仅当a＝2b＝2c，即a＝，b＝，c＝时等号成立， 所以＋＋ 的最小值为. (2)证明：因为＋＋＋(a＋b＋c) ＝＋＋ ≥2＝2(a＋b＋c)， 当且仅当a＝b＝c＝1时取等号， 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3. 学生用书↓第50页 探究点五　解一元二次不等式 设函数y＝ax2＋(b－2)x＋3(a∈R). (1)若不等式y<0的解集为(1，3)，求函数y＝ax2＋(b－2)x＋3(a∈R)的解析式； (2)若b＝－a－3，求不等式y>－4x＋2的解集． 解：(1)由不等式y<0的解集为(1，3)，可得方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两根为1，3且a>0， 由根与系数的关系可得a＝1，b＝－2， 所以y＝x2－4x＋3. (2)由y>－4x＋2得ax2＋(b－2)x＋3>－4x＋2， 又因为b＝－a－3，所以不等式y>－4x＋2化为 ax2－(a＋1)x＋1>0，即(x－1)(ax－1)>0， 当a＝0时，原不等式变形为－x＋1>0，解得x<1. 当a<0时，<1，原不等式即(x－1)<0，所以<x<1. 若a>0，原不等式即(x－1)>0， 此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故 当a＝1时，不等式(x－1)>0的解为x≠1； 当a>1时，<1，不等式(x－1)>0⇔x<，或x>1； 当0<a<1时，>1，不等式(x－1)>0⇔x<1，或x>. 综上所述，不等式的解集为： 当a<0时，；当a＝0时，{x|x<1}； 当0<a<1时，；当a＝1时，{x|x≠1}；当a>1时，. 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．　　 对点练5．已知关于x的不等式ax2＋(a－1)x－1>0. (1)若a＝－2时，求不等式的解集； (2)若a∈R，解这个关于x的不等式． 解：(1)当a＝－2时，原不等式化为－2x2－3x－1>0，即(2x＋1)(x＋1)<0，解得－1<x<－， 所以原不等式的解集为. (2)当a＝0时，不等式－x－1>0，解得x<－1； 当a>0时，不等式ax2＋(a－1)x－1>0化为(ax－1)(x＋1)>0，解得x<－1，或x>； 当a<0时，不等式ax2＋(a－1)x－1>0化为(x＋1)<0. 若<－1，即－1<a<0，则解不等式得<x<－1， 若＝－1，即a＝－1，则不等式无解， 若－1<<0，即a<－1，则解不等式得－1<x<， 所以当a>0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}； 当－1<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a<－1时，原不等式的解集为. 探究点六　不等式的实际应用 2023杭州亚运会期间，某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入．据了解，该公司原有员工200人，平均投入a(a>0)万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有x名，调整后运营人员的人均投入调整为a(m－4x%)万元/人，服务人员的人均投入增加2x%. (1)若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？ (2)现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求m的最大值及此时运营人员的人数． 解：(1)由题意可知，调整后的服务人员有200－x人，人均投入为(1＋2x%)a万元/人，从而(200－x)(1＋2x%)a≥200a， 整理，得x2－150x≤0，解得0≤x≤150. 所以调整后服务人员最多有150人． (2)由题意，得(200－x)(1＋2x%)a≥(m－4x%)ax， 得≥m－， 整理，得m≤＋3＋， 因为＋3＋≥2＋3＝7， 当且仅当＝，即x＝100时等号成立， 所以m≤7. 所以m的最大值为7，此时运营人员有100人． 认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一．　　 对点练6．第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心(珠海)举行，届时将有很多展客商参与．为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y＝(v>0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式) 学生用书↓第51页 (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解：(1)依题得y＝＝≤＝＝， 当且仅当v＝，即v＝30时，等号成立， 所以ymax＝(千辆/小时). 所以当v＝30 km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/小时． (2)由条件得>10，因为v2＋2v＋900>0， 所以整理得v2－68v＋900<0，即(v－18)(v－50)<0，解得18<v<50. 如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于18 km/h且小于50 km/h. 探究点七　新定义的应用 [多选题]给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是(　　) A．集合M＝为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合M＝为闭集合 D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 答案：ABD 解析：对于A，当集合M＝时，2，4∈M，而2＋4∉M，所以集合M不为闭集合，故A不正确；对于B，设a，b是任意的两个正整数，当a<b时，a－b<0不是正整数， 所以正整数集不为闭集合，故B不正确；对于C，当M＝{n|n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3(k1＋k2)∈M，a－b＝3(k1－k2)∈M，所以集合M是闭集合，故C正确；对于D，设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈A1∪A2，而2＋3∉A1∪A2，此时A1∪A2不为闭集合，故D不正确．故选ABD. 以集合或不等式为依托，常在创新集合定义、运算、性质或不等式的解法等方面命题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求来解决新定义的集合创新问题考查学生理解问题、解决创新问题的能力．　　 对点练7．设x∈R，对于使－x2＋2x≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界．若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－ 答案：B 解析：a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，＋＝＋＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即b＝，a＝时等号成立，则有－－≤－，即－－的上确界为－.故选B. (2023.新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．{2} 答案：C 解析：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C. (2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪綂UN等于(　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U 答案：A 解析：由题意可得綂UN＝{2，4，8}，则M∪綂UN＝{0，2，4，6，8}．故选A. (2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则綂U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 答案：A 解析：因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以綂U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. (2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．故选C. [多选题](2022·新高考Ⅱ卷改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．xy≤1 答案：BCD 解析：因为ab≤≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，故A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；由x2＋y2－xy＝1可得x2＋y2＝1＋xy≥2xy，所以xy≤1，故D正确．故选BCD. 单元检测卷(一)　预备知识 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．全集U＝R，集合A＝，B＝，则(綂UB)∩A＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：綂UB＝{x|x≠1，且x≠3}，(綂UB)∩A＝.故选A. 2．命题“∀x>1，x2＋1≥0”的否定为(　　) A．∃x≤1，x2＋1≥0 B．∃x>1，x2＋1<0 C．∀x>1，x2＋1<0 D．∃x≤1，x2＋1<0 答案：B 解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x>1，x2＋1≥0”的否定为“∃x>1，x2＋1<0”．故选B. 3．若M＝4x2＋2x＋1，N＝3x(x＋1)，则M与N的大小关系为(　　) A．M >N B．M＝N C．M<N D．无法确定 答案：A 解析：因为M－N＝4x2＋2x＋1－3x(x＋1)＝x2－x＋1＝2＋>0，所以M >N.故选A. 4．已知a∈R，则“a>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：由<1得>0，解得a<0，或a>1.所以当a>1时，<1一定成立，故充分性成立；当<1即a<0，或a>1时，a>1不一定成立，故必要性不成立．综上所述，“a>1”是“<1”的充分不必要条件．故选A. 5．已知a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A．ab>ac B．c(b－a)<0 C．b2<ab2 D．ac(a－c)>0 答案：A 解析：由⇒又b>c，所以ab>ac，故A正确；因为b－a<0，c<0，所以c(b－a)>0，故B错误；若b2＝0，可验证C不正确；而ac<0，a－c>0，所以ac(a－c)<0，故D错误．故选A. 6．已知p：x2－2x<0，那么命题p的一个充分不必要条件是 (　　) A．0<x<2 B．－1<x<1 C．－1<x<2 D．0<x<1 答案：D 解析：p：x2－2x<0⇔0<x<2，根据充分条件、必要条件的定义可知：对于A，0<x<2是p的充要条件；对于B，－1<x<1是p的既不充分也不必要条件；对于C，－1<x<2是p的必要不充分条件；对于D，0<x<1是p的充分不必要条件．故选D. 7．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀；第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为(　　) A．5≤V≤40 B．10≤V≤40 C．5<V<40 D．10<V<40 答案：B 解析：第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为＝，依题意有≤60%，即V2－45V＋200≤0，解得5≤V≤40，又V－10≥0，即V≥10，所以10≤V≤40.故选B. 8．在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，那么，这四名同学服务时长按照从大到小的顺序排列为(　　) A．甲、丁、乙、丙 B．丁、甲、乙、丙 C．丁、乙、丙、甲 D．乙、甲、丙、丁 答案：A 解析：设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，根据题意得 所以 即又a－d＝b－c>0，所以a>d，所以a>d>b>c.所以这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙．故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．下列选项正确的是(　　) A．集合A＝的子集的个数为8个 B．0∉N C．若A∩B＝A，则A⊆B D．∈Q 答案：ACD 解析：集合A＝的子集个数为23＝8个，故A正确；0是自然数，N表示自然数集，故B错误；若A∩B＝A，对任意的x∈A，则x∈A∩B，所以x∈B，所以A⊆B，故C正确；是有理数，Q表示有理数集，故D正确．故选ACD. 10．设区间的长度为n－m.已知一元二次不等式(x＋a)≤0(a>0)的解集的区间长度为l，则(　　) A．当a＝1时，l＝6 B．l的最小值为6 C．当a＝1时，l＝5 D．l的最小值为4 答案：CD 解析：因为一元二次不等式(x＋a)≤0(a>0)的解集为，所以l＝－(－a)＝a＋.当a＝1时，l＝5，即A错误，C正确；因为a>0，所以l＝a＋≥2＝4，当且仅当a＝2时，等号成立，所以l的最小值为4，即B错误，D正确．故选CD. 11．下列选项正确的是(　　) A．若a>0，则a＋的最小值为4 B．若x∈R，则的最小值是2 C．若ab<0，则＋的最大值为－2 D．若正实数x，y满足x＋2y＝1，则＋的最小值为6 答案：ACD 解析：因为a>0，则a＋≥2＝4，当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立，所以a＋的最小值为4，故A正确；因为>0，则＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝时，即x2＝－1时，等号成立，所以取不到2，故B错误；因为ab<0，则＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即a＝－b时，等号成立，故C正确；因为x＋2y＝1，则＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝6，当且仅当即时，等号成立，故D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为________． 答案：13 解析：某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，设两项运动都喜爱的人数为x，作出Venn图，可得25－x＋x＋20－x＋16＝48，解得x＝13，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为13. 13．在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多罗斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a，宽为b，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为________． 答案： 解析：由题知矩形周长为定值2(a＋b)，所以面积S＝a·b≤2，当且仅当a＝b时取“＝”． 14．已知实数a，b满足关于x的不等式ax>b(a，b∈R)的解集为(－∞，－1)，且满足关于y的不等式y2＋3y＋b>0的解集为R，则满足条件的一组a，b的值依次为________． 答案：a＝－3，b＝3(答案不唯一，只要满足b＝－a>即可) 解析：因为关于x的不等式ax>b(a，b∈R)的解集为(－∞，－1)，所以又关于y的不等式y2＋3y＋b>0的解集为R，所以32－4b<0，解得b>，所以满足条件的一组a，b的值依次为a＝－3，b＝3(答案不唯一，只要满足b＝－a>即可). 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)(2024.山东济南高一联考)已知集合A＝，集合B＝{x|2m＋3<x<m2}，m∈R. (1)当m＝－2时，求A∪B；(5分) (2)若A∩B＝B，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)由≤0，解得－1<x≤2， 所以A＝{x|－1<x≤2}， 当m＝－2时，B＝{x|－1<x<4}， 所以A∪B＝{x|－1<x<4}． (2)因为A∩B＝B，所以B⊆A， 当B＝∅时，2m＋3≥m2，解得－1≤m≤3； 当B≠∅时，要满足题意需 解得－≤m<－1. 综上，实数m的取值范围为[－，3]. 16．(本小题满分15分)已知集合M＝{x|－2≤x≤4}，P＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求M∩P；(5分) (2)若存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈P”成立的________，求m的取值范围． 从“①充分不必要条件；②必要不充分条件；③既不充分又不必要条件”中任选一个，补充在上面横线处，并进行作答．(10分) 解：(1)将m＝3代入P＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}，所以P＝{x|－1≤x≤5}， 而M＝{x|－2≤x≤4}， 所以M∩P＝{x|－1≤x≤4}． (2)P＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}，则P＝{x|≤0}， 因为m>0，所以P＝{x|2－m≤x≤2＋m}． 若选①，则存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈P”成立的充分不必要条件， 所以MP，则即m≥4. 若选②，则存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈P”成立的必要不充分条件， 所以PM，则即0<m≤2. 若选③，则存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈P”成立的既不充分又不必要条件， 则问题的否定是“x∈M”是“x∈P”成立的充分条件或必要条件， 而当“x∈M”是“x∈P”成立的充分条件时，M⊆P，所以即m≥4； 而当“x∈M”是“x∈P”成立的必要条件时，P⊆M，所以即0<m≤2； 所以原命题符合即2<m<4. 17．(本小题满分15分)已知正数a，b满足＋＝1. (1)求a＋2b的最小值；(5分) (2)求＋的最小值．(10分) 解： (1)因为a，b是正数，＋＝1， 所以a＋2b＝(a＋2b)＝3＋＋， 因为>0，>0， 所以a＋2b＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当a＝＋1，b＝1＋时等号成立， 故a＋2b的最小值为3＋2. (2)由＋＝1可得＝， 又a>0，b>0，所以b－1>0， 又＋＝1可化为ab＝a＋b，所以(a－1)(b－1)＝1，所以a－1>0， 又＋＝5＋＋，>0，>0， 所以＋＝2＋＋3＋≥5＋2＝5＋2，当且仅当a＝，b＝时等号成立， 故＋的最小值为5＋2. 18．(本小题满分17分)已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，只能同时满足下列三个条件中的两个： ①ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，3)；②a＝－1；③y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4. (1)请写出这两个条件的序号，并求出满足此条件时y＝ax2＋bx＋c的解析式；(7分) (2)求关于x的不等式ax2＋bx＋c≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集．(10分) 解：(1)选①②，则a＝－1，y＝ax2＋bx＋c开口向下， 所以ax2＋bx＋c<0的解集不可能为(－1，3). 选①③，因为ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，3)， 所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根， 所以y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1， 则a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，所以b＝－2a，c＝－3a， 又因为y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4，所以－4a＝－4，解得a＝1， 所以b＝－2a＝－2，c＝－3a＝－3， 则y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3. 选②③，a＝－1，y＝ax2＋bx＋c开口向下， 则y＝ax2＋bx＋c无最小值． 综上所述，y＝x2－2x－3. (2)由ax2＋bx＋c≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)化简得x2－mx－2m2≥0. 所以(x＋m)(x－2m)≥0， 若m<0，则{x|x≤2m，或x≥－m}； 若m＝0，则不等式解集为R； 若m>0，则{x|x≥2m，或x≤－m}． 综上所述，当m<0时，不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}； 当m＝0时，不等式解集为R； 当m>0时，不等式的解集为{x|x≥2m，或x≤－m}． 19．(本小题满分17分)使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”．某农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节约成本，决定修建一个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电网．修建光伏电站的费用(单位：万元)与光伏电站的太阳能面板的面积x(单位：m2)成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下，当光伏电站的太阳能面板的面积为x(单位：m2)时，该合作社每年消耗的电费为(单位：万元，k为常数).记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为F(单位：万元). (1)求常数k的值，并用x表示F；(5分) (2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使F最小？并求出最小值．(5分) (3)要使F不超过140万元，求x的取值范围．(7分) 解：(1)由题意，x≥0，当x＝0时，电费为＝24，解得k＝1 200， 所以F＝16×＋0.12x＝＋0.12x，x≥0. (2)由(1)知F＝＋0.12x＝＋0.12(x＋50)－6≥2－6＝90， 当且仅当＝0.12(x＋50)，即x＝350时等号成立， 所以该合作社应修建350 m2的太阳能面板，可使F最小，F的最小值为90万元． (3)为使F不超过140万元，只需F＝＋0.12x≤140， 即有3x2－3 350x＋305 000≤0， 则(3x－3 050)(x－100)≤0，解得100≤x≤， 所以x的取值范围为. 学生用书↓第52页 学科网（北京）股份有限公司 $$