1.4.3 一元二次不等式的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

4．3　一元二次不等式的应用 知识 目标 1.熟练掌握分式不等式的解法．　2.理解一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系．　3.构建一元二次函数模型，解决实际问题. 素养 目标 借助分式不等式的求解，培养数学运算素养；通过构建一元二次函数模型，培养数学建模素养. 知识点一　简单分式不等式的解法 问题1.>0 与(x＋3)(x－1)>0等价吗？≤0 与(x＋2)(x－3)≤0等价吗？ 提示：>0 与(x＋3)(x－1)>0等价；≤0 与(x＋2)(x－3)≤0不等价，前者的解集中不含－2，后者的解集中含有－2. 简单分式不等式的解法 [微提醒]　形如>a(a≠0)的分式不等式，可变形为>0，故可转化为解y2(y1－ay2)>0. 求下列不等式的解集： (1)≥0；(2)<3. 解：(1)原不等式可转化为 解不等式组可得x≤－1，或x>3. 即原不等式的解集为(－∞，－1]∪(3，＋∞)． (2)移项并整理，可将原不等式转化为<0，即2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为(－1，1)． 简单分式不等式的解法 1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　　 对点练1.不等式≥1的解集为(　　) A．{x|x≤，或x≥4} B． C．{x|x<，或x≥4} D． 答案：D 解析：由≥1，得－1≥0，即≥0，即解得x∈，故D正确．故选D． 知识点二　一元二次不等式的实际应用 问题2.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离(单位，m)与刹车前的车速v(单位km/h)之间有如下函数关系：s＝v2＋v，要判断该汽车是否超速，你能写出需要求解的不等式吗？ 提示：因为汽车的刹车距离大于10 m，所以v2＋v>10，所以v2＋v－10>0. 学生用书↓第43页 利用一元二次不等式解决实际问题的步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． (链教材P39例6)某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解：(1)降税后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(50＋x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)． 依题意得a(50＋x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简，得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 故x的取值范围为{x|0<x≤2}． 解不等式应用题的步骤 　　 对点练2.某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望的电价为0.4元/(kW·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h)． (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单位：元)关于实际电价x(单位：元/(kW·h))的函数解析式．(收益＝实际电量×(实际电价－成本价)) (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 解：(1)依题意知用电量增至＋a， 电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)． (2)依题意有 整理得 解此不等式组得0.60≤x≤0.75. 故当电价最低定为0.6元/(kw·h)时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 三个“二次”之间的关系 [多选题]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为 C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 答案：AC 解析：因为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，所以a>0，故A正确；由题意，方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－3，x2＝4，由韦达定理得b＝－a，c＝－12a，bx＋c>0等价于－ax－12a>0，所以x<－12，故B错误；不等式cx2－bx＋a<0等价于－12ax2＋ax＋a<0，即12x2－x－1>0，解得x<－，或x>，故C正确；因为b＝－a，c＝－12a，所以a＋b＋c＝－12a<0，故D错误．故选AC． 学生用书↓第44页 1．讨论一元二次方程和一元二次不等式时要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 2．已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集的步骤 第一步：根据解集的形式来判断二次项系数a的符号； 第二步：根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； 第三步：约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．　　 对点练3．已知不等式ax2＋5x＋b>0的解集是{x|2<x<3}，则不等式bx2－x－a>0的解集是(　　) A． B． C．{x|x<－3，或x>－2} D．{x|－3<x<－2} 答案：A 解析：因为不等式ax2＋5x＋b>0的解集是{x|2<x<3}，所以a<0，且－＝2＋3，＝2×3，解得a＝－1，b＝－6，所以bx2－x－a>0，即为－6x2－x＋1>0，化简可得(2x＋1)(3x－1)<0，解得－<x<，即不等式解集为.故选A. 知识 1.简单的分式不等式的解法.2.一元二次不等式的应用.3.一元二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 方法 分类讨论与转化的思想方法 易错误区 1.解分式不等式要等价变形.2.利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义 1．不等式>0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为>0，所以<0，则x(2x－1)<0，解得0<x<.故选A. 2．若不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式bx2＋ax＋1>0的解集为(　　) A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C． D．(－∞，－1)∪ 答案：C 解析：由已知可得，－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，则解得a＝－1，b＝－2，所以不等式bx2＋ax＋1>0化为－2x2－x＋1>0，即2x2＋x－1<0，解得－1<x<.故选C. 3．不等式≥0的解集是{x|－1≤x＜5}，则a的值为________． 答案：5 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5. 4．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的函数关系是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，使这种商品日销售金额不小于500元的t的取值范围是________． 答案：{t|10≤t≤15，t∈N} 解析：日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15，又0<t≤30，t∈N，所以t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}． 课时测评14　一元二次不等式的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．不等式＋1≥0的解集为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{x|x≤－2，或x>1} B．{x|x≤－2，或x≥1} C． D．{x|－2≤x<1} 答案：A 解析：由＋1＝≥0⇒解得x≤－2，或x>1.故选A. 2．[多选题]关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列成立的是(　　) A.a>0 B．a＋b＝－3 C．ab＝－2 D．＝2 答案：BD 解析：由题意得a<0，且－1，为方程ax2＋bx＋1＝0的两个根，故A错误；所以解得所以a＋b＝－3，ab＝2，＝2，故BD正确，C错误．故选BD. 3．与不等式≥0同解的不等式是(　　) A．(x－5)(4－x)≥0 B．≥0 C．≥0 D．≤1 答案：B 解析：≥0⇒≤0⇒⇒4<x≤5.对于A，(x－5)(4－x)≥0⇒(x－5)(x－4)≤0⇒4≤x≤5，故A错误；对于B，≥0⇒≤0⇒⇒4<x≤5，故B正确；对于C，≥0⇒≤0⇒⇒4≤x<5，故C错误；对于D, ≤1⇒⇒4≤x≤5，故D错误．故选B. 4．[多选题]已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　) A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞) C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．∅ 答案：BCD 解析：当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a<x<1；当a＝0时，不等式的解集是∅；当0<a<1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>1或x<a；当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>a或x<1.故选BCD. 5．某市有块三角形荒地，如图△ABC所示，∠A＝90°，AB＝AC＝200(单位：米)，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF，其中D，E，F点分别在线段AB，BC，CA上，若要求绿地的面积不少于7 500平方米，则AD的长度(单位：米)范围是(　　) A. B． C． D． 答案：B 解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，△ABC为等腰直角三角形，设AD＝x米，则EF＝FC＝AD＝x米，FA＝200－x米，依题意有x(200－x)≥7 500，解得50≤x≤150.故选B. 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________________． 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为－2，1，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－2，1；结合函数的图象，可得不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞). 7．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是，则不等式>0的解集为________． 答案： 解析：因为不等式ax2＋bx－1>0的解集是，所以且a<0，解得a＝－，b＝，所以>0可转化为>0⇔<0，解得<x<2. 8．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为__________m. 答案：1 解析：设花卉带的宽度为x m， 则即 所以故1≤x<3，所以花卉带的宽度至少应为1 m． 9．(10分)设某水库的最大蓄水量为128 000 m3，原有水量为80 000 m3，泄水闸每天泄水量为4 000 m3，在洪水暴发时，预测注入水库的水量Sn(单位：m3)与天数n(n∈N，n≤10)的函数关系是Sn＝5 000.若山洪暴发的第一天就打开泄水闸，则这10天中堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由．(水库蓄水量超过最大蓄水量时，堤坝会发生危险) 解：设第n天发生危险，由题意得5 000－4 000n>128 000－80 000， 整理得n2＋24n－256>0， 解得n>8，或n<－32(舍去)， 且n∈N，n≤10，可得n的最小值为9， 所以汛期的第9天会有危险． (10—12每小题5分，共15分) 10．(新角度)设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0与dx2＋ex＋f≤0的解集分别为∪与∅，则不等式(ax2＋bx＋c)(dx2＋ex＋f)≥0的解集为(　　) A．(2，3) B． C．R D．∅ 答案：B 解析：因为dx2＋ex＋f≤0的解集为∅，则dx2＋ex＋f>0的解集为R.因为ax2＋bx＋c≤0的解集为∪，则ax2＋bx＋c≥0的解集为，所以(ax2＋bx＋c)(dx2＋ex＋f)≥0转化为ax2＋bx＋c≥0，所以不等式(ax2＋bx＋c)(dx2＋ex＋f)≥0的解集为.故选B. 11．某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈Z)，则被租出的礼服会减少10x套．若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为(　　) A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 答案：C 解析：依题意，每天有300－10x套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为(300－10x)·(200＋10x)＝－100x2＋1 000x＋60 000元．因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服收入超过6.24万元，所以－100x2＋1 000x＋60 000>62 400，即x2－10x＋24<0，解得4<x<6.因为1≤x≤20且x∈Z，所以x＝5，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元．故选C. 12．(2024·山东济南高一联考)关于x的不等式≥的解集为________________________． 答案： 解析：≥⇔＋≤0，即≤0，即≤0，从而得x<0，或≤x<1.所以不等式的解集为. 13．(15分)如图所示，已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4 m，CD＝6 m．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x m，矩形BNPM的面积为S m2，试写出x的取值范围及S与x的关系式；(5分) (2)要使矩形BNPM的面积不小于42 m2，试求x的取值范围．(10分) 解：(1)设PN＝y，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4， 因为△EDF∽△EPQ，所以＝，所以＝，所以y＝－x＋10， 设矩形BNPM的面积为S，则S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，x∈. (2)依题意S＝－(x－10)2＋50≥42，解得6≤x≤14，又4≤x≤8，所以6≤x≤8， 故x的取值范围为. 14．(5分)(开放题)下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0.”的一种解法． 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，又不等式ax2－bx＋c>0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－1<x<2.所以不等式ax2－bx＋c>0的解集为.参考上述解法，解答问题： 若关于x的不等式＋<0的解集为.则关于x的不等式＋<0的解集为(　　) A．∪ B．(－1，1)∪(1，3) C．(－3，－1)∪(1，2) D．∪ 答案：A 解析：因为x＝0不是不等式＋<0的解，所以不等式＋<0等价于＋<0，所以－2<－<－1或1<－<3，解得－1<x<－，或<x<1.故选A. 15．(15分)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(米/秒)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9). 阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间 t0 t1＝0.2秒 t2＝0.8秒 t3 距离 d0＝20米 d1 d2 d3＝v2米 (1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式；并求当k＝0.9时，若汽车达到报警距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；(5分) (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/时？(10分) 解：(1)根据题意，得d＝d0＋d1＋d2＋d3＝20＋0.2v＋0.8v＋＝20＋v＋， 所以所求函数关系式为d＝20＋v＋； 当k＝0.9时，t＝＝＋1＋＝＋＋1≥2＋1＝(秒)， 当且仅当v2＝360，即v＝6时等号成立， 所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是秒． (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则路况最糟糕时也需满足， 即k＝0.5时，d＝20＋v＋<80， 即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20， 又0≤v≤33.3， 所以0≤v<20，20米/秒＝72千米/时， 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/时． 学生用书↓第45页 学科网（北京）股份有限公司 $$