1.3.2 第1课时 基本不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

3．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 知识 目标 1.掌握基本不等式及其推导过程．　2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小. 素养 目标 能初步运用基本不等式证明不等式和求最值，提升数学运算素养. 问题1.在北京召开的第24届国际数学家大会的会标的设计基础来自中国古代勾股圆方图中著名的弦图如图，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ 提示：能．正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． 问题2.现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换问题1关系式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示：用，分别替换问题1关系式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤. 问题3.如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，OD，BD，根据图形你能得到不等式≥吗？ 提示：根据图形可以得到OD＝OA＝；利用三角形相似可证得△ACD∽△DCB，故CD＝，又OD≥CD，故用不等式表示为≥，由此也可以得出圆的半径大于或等于半弦． 基本不等式 (均值不等式) 如果a≥0，b≥0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立 算术平均值 如果a≥0，b≥0，则称为a，b的算术平均值 几何平均值 如果a≥0，b≥0，则称为a，b的几何平均值 表述 两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值 重要不等式 如果a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立 [微提醒]　(1)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0；不等式中的a，b可以是具体的某个数，也可以是代数式；当且仅当a＝b时，等号成立． (2)基本不等式常见的变形：①如果a≥0，b≥0，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．②如果a，b∈R，则ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立． [多选题]若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2 C．＋≥2 D．＋≥2 答案：ACD 解析： a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，故A正确；取a＝－1，b＝－1，此时a＋b＝－2<2＝2，故B错误；因为ab>0，所以>0，所以＋≥2＝2，故C正确；因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，故D正确．故选ACD． 利用基本不等式比较大小的注意事项 1．基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和，注意等号成立的条件． 学生用书↓第30页 2．利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a≥0，b≥0.　　 对点练1.(1)给出条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使ab＋≥2成立的条件有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)下列结论正确且等号也能取到的是(　　) A．当x>1时，x＋≥2 B．当x<0时，x＋≤－2 C．当0<x<1时，＋≥2 D．当x>2时，＋≥2 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)由基本不等式可知，要使ab＋≥2成立，则ab>0，所以a，b同号，所以①③④均可以．故选C． (2)对于A，因为x>1，x＋≥2＝2，等号成立的条件是x＝，即x＝1，故等号取不到，所以x＋>2，故A错误；对于B，当x<0时，－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时等号成立，故B正确；对于C，0<x<1，＋≥2＝2，等号成立的条件是＝，即x＝1，等号取不到，即＋>2，故C错误；对于D，当x>2时，＋≥2＝2，等号成立的条件是＝，即x＝2，所以等号取不到，故＋>2，故D错误．故选B． 应用一　利用基本不等式证明不等式 (链教材P27例4)已知a>0，b>0，c>0，求证： (1)＋＋≥6； (2)(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abC． 证明：(1)＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋， 因为a>0，b>0，c>0，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2， 所以＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． (2)因为a，b，c都是正数， 所以a＋b≥2>0，当且仅当a＝b时，等号成立； b＋c≥2>0，当且仅当b＝c时，等号成立； c＋a≥2>0，当且仅当a＝c时，等号成立； 所以(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc， 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 1．策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 2．注意事项 (1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立． (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用． (3)对不能直接使用基本不等式的证明可通过拆项、变形、配凑等重新组合，形成基本不等式模型，再使用．　　 对点练2.已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1.求证： (1)＋＋>9； (2)>8. 证明：(1)因为a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时取等号，而a，b，c互不相等，所以等号取不到， 所以＋＋>9. (2)因为a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝>0， －1＝>0， －1＝>0， 所以＝·· ≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，而a，b，c互不相等，所以等号取不到， 所以>8. 应用二　利用基本不等式直接求最值 (1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x>1时，求x＋的最小值． 解：(1)因为x>0，所以>0，4x>0， 所以＋4x≥2＝8， 当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立， 所以当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)因为x>1，所以x－1>0， 所以x＋＝x－1＋＋1 ≥2＋1＝5， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立． 所以x＋的最小值为5. [变式探究]　(变条件、变结论)本例(1)改为“当x<0时，求＋4x的最大值”． 解：因为x<0，所以－x>0. 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x，即x＝－时，等号成立． 所以＋4x≤－8. 所以当x<0时，＋4x的最大值为－8. 学生用书↓第31页 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．　　 对点练3.(1)若x>0，则x＋＋2取最小值时的x是(　　) A．8 B．3或－3 C．－3 D．3 (2)[多选题]下列各式中，最大值是的是(　　) A．x2＋ B．x(0≤x≤1) C． D．x＋(x>2) 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)由题意x>0，则x＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x＝，即x＝3时取等号，即x＋＋2取最小值时的x是3.故选D． (2)对于A，x2＋≥2＝，当且仅当x2＝，即x＝±时，等号成立，无最大值，故A错误；对于B，x≤＝，当且仅当 x＝，即 x＝时，等号成立，故B正确；对于C，当x＝0时，y＝＝0；当 x≠0时，y＝≤＝，当且仅当 x2＝，即 x＝±1时，等号成立，故C正确；对于D，x＋＝x＋2＋ －2≥2－2＝2，当且仅当x＋2＝，即 x＝0时，等号成立，故D错误．故选BC． 知识 基本不等式≥(a，b都是非负数)，ab≤(a，b∈R)及其应用 方法 转化的思想方法 易错误区 使用基本不等式或基本不等式的变形形式时，要注意使用条件 1．函数y＝2x＋(x>0)有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值4 D．最大值4 答案：C 解析：因为x>0，所以y＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时等号成立，故函数最小值为4，无最大值．故选C． 2．已知0<x<2，则x2(4－x2)的最大值为(　　) A．8 B．16 C．2 D．4 答案：D 解析：因为0<x<2，所以x2>0，4－x2>0，故x2(4－x2)≤2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立．故选D． 3．设x>y>0，则下列各式中正确的是(　　) A．x>>>y B．x>>>y C．x>>y> D．x>>y> 答案：A 解析：因为x>y>0，所以2x>x＋y，>，>，即>y，所以x>>>y.故选A． 4．已知x>2，则函数y＝x－2＋的最小值是________． 答案：6 解析：因为x>2，所以x－2>0，由基本不等式可得y＝x－2＋≥2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝5时等号成立． 课时测评10　基本不等式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列不等式正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2 答案：C 解析：因为a2>0，故a2＋≥2成立．故选C． 2．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 答案：C 解析：A中x＝－1时，y＝－5<4，B中t＝－1时，y＝－3<4，C中y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立，D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C． 3．已知m，n∈R，则“mn>0”是“＋>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由mn>0，即m，n同号，则>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当m＝n时等号成立，所以充分性不成立；由＋＝>2>0，显然mn>0，所以必要性成立；综上，“mn>0”是“＋>2”的必要不充分条件．故选B． 4．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是(　　) A．x>y B．y>x C．x>y D．y>x 答案：B 解析：因为a，b为不相等的正实数，所以y2＝()2＝a＋b，由基本不等式得a＋b＝>＝＝x2，所以y2>x2，又因为x>0，y>0，所以y>x.故选B． 5．[多选题]下列各不等式，不正确的是(　　) A．a2＋1≥2a(a∈R) B．>2(x∈R，x≠0) C．≥2(ab≠0) D．x2＋≥1，x∈R 答案：BC 解析：对于A，a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以a2＋1≥2a(a∈R)，故A正确；对于B，x＝1时，＝2，故B错误；对于C，当a＝b＝－1时，＝－2，故C错误；对于D，由x2＋1>0有x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x2＋1＝，即x＝0时等号成立，故D正确．故选BC． 6．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．函数y＝x＋(x<0)的最大值是－4 B．函数y＝的最小值是2 C．函数y＝x＋(x>－2)的最小值是6 D．若x＋y＝4，则x2＋y2的最小值是8 答案：ACD 解析：对于A，对于函数y＝x＋(x<0)，x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立，故A正确；对于B，y＝＝＋≥2＝2，当＝时无实数解，所以等号不成立，故B错误；对于C，对于函数y＝x＋(x>－2)，x＋2>0，x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时等号成立，故C正确；对于D，由基本不等式可得≥2，所以x2＋y2≥2×2＝2×22＝8，当且仅当x＝y＝2时等号成立，故D正确．故选ACD． 7.(x>0)的最小值为________． 答案：2＋2 解析：＝x＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x＝时，等号成立． 8．已知a>0，b>0，则a＋b＋＋的最小值为________． 答案：4 解析：由a>0，b>0，可得a＋b＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝，b＝，即a＝1，b＝1时，等号成立，所以a＋b＋＋的最小值为4. 9．(10分)(1)已知a，b都是正数，求证：a＋b＋1≥＋＋；(4分) (2)已知x，y为正实数．求证：＋≥2－2.(6分) 证明：(1)由a，b都是正数，得a＋1≥2，b＋1≥2，a＋b≥2， 所以2(a＋b＋1)≥2(＋＋)，即a＋b＋1≥＋＋，当且仅当a＝b＝1时取等号． (2)因为x，y为正实数， 所以＋＝＋－2 ≥2－2≥2－2， 当且仅当＝，即y＝x时等号成立， 所以＋≥2－2. (10—12每小题5分，共15分) 10．若x<，则y＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 答案：C 解析：因为x<，3x－2<0，故y＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当－(3x－2)＝，即x＝－时取等号．故选C． 11．(新情境)(2024·河南南阳高一期中)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“________”的几何解释(　　) A．如果a>b>0，那么> B．如果a>b>0，那么a2>b2 C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立 D．对任意正实数a和b，有a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立 答案：C 解析：由题图可知，直角三角形的两直角边长度为a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．故选C． 12．[多选题]已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．≥ B．2(a2＋b2)≥(a＋b)2 C．＋≥2 D．≥4 答案：BCD 解析：对于A，当a，b为负数时不成立，故A错误；对于B，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝(a－b)2≥0，则2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故B正确；对于C，ab>0，则，都为正数，＋≥2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故C正确；对于D，＝ab＋＋＋≥2＋2＝4，当且仅当ab＝和＝同时成立，即a＝b＝±1时等号成立，故D正确．故选BCD． 13．(15分)证明下列不等式，并讨论等号成立的条件． (1)若0≤x≤1，则(1－)≤；(5分) (2)若ab≠0，则≥2.(10分) 证明：(1)因为0≤x≤1，所以0≤≤1，1－≥0， 所以(1－)≤2＝， 当且仅当＝1－，即x＝时，等号成立． (2)因为ab≠0，当ab>0时，＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b≠0时等号成立． 当ab<0时，＝＋≥2＝2，当且仅当a＝－b≠0时等号成立． 综上，若ab≠0，则≥2成立，当且仅当a2＝b2≠0时等号成立． 14．(5分) (新情境)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≤ (a>0，b>0) 答案：D 解析：由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径为r＝OF＝AB＝，又由OC＝OB－BC＝－b＝，在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝2＋2＝，因为FO≤FC，所以≤ ，当且仅当a＝b时取等号．故选D． 15．(15分)(新设问)对于题目：已知x>0，y>0，且xy＝2，求A＝2x＋4y＋＋最小值． 甲同学的解法：因为x>0，y>0，所以>0，>0，从而A＝2x＋4y＋＋＝＋≥2＋2≥8，所以A的最小值为8. 乙同学的解法：因为x>0，y>0，所以A＝2x＋4y＋＋＝2x＋4y＋＝3x＋6y≥2＝12.所以A的最小值为12. 丙同学的解法：因为x>0，y>0，所以A＝2x＋4y＋＋≥2＋2＝12. (1)请对三位同学的解法正确性作出评价(需评价同学错误原因)；(5分) (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：(10分) (ⅰ)已知a>0，b>0，且ab＋2a＋b＝4，求M＝2a＋b＋＋的最小值； (ⅱ)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋C． 解： (1)同学甲错误，同学乙、丙正确． 同学甲的解法中，取等号时，x＝，y＝，此时xy＝1≠2，不符合题目要求，故甲错误． 同学乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”，解法正确． 同学丙用了两次基本不等式，两次等号能同时取得，解法正确． (2)(ⅰ)因为ab＋2a＋b＝4，所以(a＋1)(b＋2)＝6， 所以M＝2a＋b＋＋＝2(a＋1)＋(b＋2)＋＋－4 ≥2＋2－4 ＝， 当且仅当即时等号成立． (ⅱ)证明：因为a，b，c为正数， 由基本不等式可得，＋≥2＝2c，当且仅当a＝b时取等号， ＋≥2＝2a，当且仅当b＝c时取等号， ＋≥2＝2b，当且仅当a＝c时取等号， 以上三式相加有2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号． 学科网（北京）股份有限公司 $$