1.2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 知识 目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．　 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 素养 目标 通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养. 知识点一　全称量词命题的否定 问题1.你能说出命题s：“3的相反数是－3”和t：“3的相反数不是－3”这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？ 提示：命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，两者真假相反，命题s是真命题，命题t是假命题． 问题2.写出下列命题的否定： (1)所有的正比例函数都是一次函数； (2)∀x∈R，x＋1>0； (3)被7整除的数都是奇数． 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示：三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，x具有性质p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“并非所有的正比例函数都是一次函数”，也就是说，存在一个正比例函数不是一次函数． 命题(2)的否定是“并非所有的实数x，都使x＋1>0成立”，也就是说，∃x∈R，x＋1≤0. 命题(3)的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”，也就是说，存在被7整除的数是偶数． 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题． 1．命题的否定 当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题． 2．全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 [微提醒]　(1)总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．(2)一个命题和它的否定真假性相反． (链教材P21例6)写出下列全称量词命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 解：(1)∃n∈Z，n∉Q. (2)存在一个奇数的平方不是奇数． (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 对全称量词命题进行否定的两个步骤 第一步，改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； 第二步，否定结论：原命题中的结论改为否定形式．　　 对点练1.(1)已知命题：∀x∈(0，＋∞)，x2>x，该命题的否定是(　　) A．∀x∈(0，＋∞)，x2≤x B．∀x∉(0，＋∞)，x2<x C．∃x∈(0，＋∞)，x2≤x D．∃x∉(0，＋∞)，x2≤x (2)命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定可以是(　　) A．对角线相等的四边形不是等腰梯形 B．有的对角线相等的四边形不是等腰梯形 C．任何对角线相等的四边形都是等腰梯形 D．并非对角线相等的四边形都是等腰梯形 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)∀x∈(0，＋∞)，x2>x的否定是∃x∈(0，＋∞)，x2≤x.故选C． (2)命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”为全称量词命题，其否定为：有的对角线相等的四边形不是等腰梯形．故选B． 学生用书↓第24页 知识点二　存在量词命题的否定 问题3.类比全称量词命题的否定，写出下列命题的否定，并观察它们与原命题在形式上有什么变化？ (1)存在凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈N，x2的个位数字等于3. 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，s(x)”的形式． 其中命题(1)的否定是“不存在一个凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和不等于720°”，也就是说，所有凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和都不等于720°. 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形． 命题(3)的否定是“不存在x∈N，x2的个位数字等于3”，也就是说，∀x∈N，x2的个位数字都不等于3. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 存在量词命题的否定 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [微思考]　如何对省略量词的命题进行否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然． (链教材P22例7)写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些菱形是正方形； (3)∃x∈R，x2＋1<0. 解： (1)命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定是“所有的菱形都不是正方形”， 由于正方形是菱形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定是“∀x∈R，x2＋1≥0”．它为真命题． 　 对存在量词命题进行否定的两个步骤 第一步，改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； 第二步，否定结论：原命题中的结论改为否定形式．　 对点练2.(1)命题“∃x∈R，x2 024＋2>0”的否定是(　　) A．∃x∉R，x2 024＋2≤0 B．∃x∈R，x2 024＋2≤0 C．∀x∈R，x2 024＋2≤0 D．∀x∉R，x2 024＋2≤0 (2)[多选题]已知p：存在一个平面多边形的内角和是540°，则下列说法错误的是(　　) A．p为真命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540° B．p为真命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540° C．p为假命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540° D．p为假命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540° 答案：(1)C　(2)BCD 解析：(1)存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈R，x2 024＋2>0”的否定是“∀x∈R，x2 024＋2≤0”．故选C． (2)平面五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，因此命题p是真命题，故C、D错误；又命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题，因此p的否定是：所有平面多边形的内角和都不是540°，故B错误，A正确．故选BCD． 全称量词命题与存在量词命题否定的应用 若命题p：“∃x∈R，x2－x＋a≤0”为假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题p为假命题， 所以命题p的否定：“∀x∈R，x2－x＋a>0”为真命题， 所以Δ＝1－4a<0，解得a>. 所以实数a的取值范围是. [变式探究]　(变条件)把命题p改为“∀x∈R，x2－x＋a≥0”，若p为假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题p为假命题，则命题p的否定：“∃x∈R，x2－x＋a<0”为真命题， 所以Δ＝1－4a>0，解得a<. 所以实数a的取值范围是. 学生用书↓第25页 求解含有量词的命题中参数范围的策略 1．命题和它的否定的真假性相反． 2．在解决实际问题时，通常采用“正难则反”的间接法求参数的取值范围，且范围相同． 3．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．　　 对点练3.已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 解：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题， 所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0，或 即a＝0，或a≤1，且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围是(－∞，1]． 知识 1.全称量词命题、存在量词命题的否定.2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断以及应用 方法 转化的思想方法 易错误区 1.对含量词命题的否定，除了否定结论，还应改变量词.2.命题与其否定的真假性相反，不会利用正难则反的方法把命题进行转化 1．(2024·天津南开期中)命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0 C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 D．存在x∈R，x3－x2＋1>0 答案：D 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定要否定结论，且“≤”的否定为“>”，可排除A、B．故选D． 2．命题“∃x∈Q，x＋是无理数”的否定是(　　) A．∃x∈Q，x＋不是无理数 B．∃x∉Q，x＋不是无理数 C．∀x∉Q，x＋不是无理数 D．∀x∈Q，x＋不是无理数 答案：D 解析：命题“∃x∈Q，x＋是无理数”的否定是“∀x∈Q，x＋不是无理数”．故选D． 3．[多选题]下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 答案：AC 解析：对于A，原命题的否定为：∀x∈R，x2－x＋≥0，是全称量词命题；因为x2－x＋＝2≥0，所以原命题的否定为真命题，故A正确；对于B，原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故B错误；对于C，原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－8＝－4<0，所以x2＋2x＋2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，故C正确；对于D，原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3＋1≠0，如x＝－1时，x3＋1＝0，所以原命题的否定不是真命题，故D错误．故选AC． 4．已知命题p：∃x∈R，x2－x－m＝0，若p的否定为真命题，则实数m的取值范围为____________． 答案： 解析：因为p的否定为真命题，所以命题p：∃x∈R，x2－x－m＝0为假命题，则Δ＝1＋4m<0，即m<－.故实数m的取值范围为. 课时测评8　全称量词命题与存在量词命题的否定 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．全称量词命题“∀x∈R，x2＋5x≠4”的否定是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．∃x∈R，x2＋5x＝4 B．∀x∈R，x2＋5x＝4 C．∃x∈R，x2＋5x≠4 D．∀x∈R，x2＋5x≠4 答案：A 解析：“∀x∈R，x2＋5x≠4”的否定是“∃x∈R，x2＋5x＝4”．故选A． 2．命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为(　　) A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相等 C．锐角三角形的三个内角都不相等 D．锐角三角形的三个内角不都相等 答案：D 解析：命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”．故选D． 3．[多选题]下列命题的否定是假命题的为(　　) A．任意两个等边三角形都相似 B．∀x∈R，x＋|x|≥0 C．∃x∈R，x2－x＋1＝0 D．存在一个四边形，它的两条对角线相互垂直 答案：ABD 解析：对于A，任意两个等边三角形都相似，原命题为真命题，其否定为假命题；对于B，当x≥0时，x＋|x|＝2x≥0；当x<0时，x＋|x|＝0.所以∀x∈R，x＋|x|≥0，原命题为真命题，其否定为假命题；对于C，对于方程x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3<0，即方程x2－x＋1＝0无解，故原命题为假命题，其否定为真命题；对于D，存在一个四边形，它的两条对角线相互垂直，比如，菱形的对角线相互垂直，故原命题为真命题，其否定为假命题．故选ABD． 4．(新角度)哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“1＋1”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”成立．哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为(　　) A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 答案：D 解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A、C错误；哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”．故选D． 5．已知命题“存在x∈，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：命题“存在x∈，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，即命题“任意x∈{x|0<x<3}，使得等式≠x成立”是真命题，即∉(0，3)，所以≤0，或≥3，解得m≤0，或m≥6.故选A． 6．“对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都是2”的否定为　. 答案：存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和不是2 解析：原命题的否定是：存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和不是2. 7．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是________． 答案：[1，＋∞) 解析：若p为假命题，则p的否定为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，为真命题，由1－a≠x在x>0上恒成立，可得1－a≤0，解得a≥1. 8．命题p：∃x∈R，ax2－x－a≤0的否定为__________；使命题p成立的一个x的值为__________． 答案：∀x∈R，ax2－x－a>0　1 解析：因为命题p：∃x∈R，ax2－x－a≤0，所以其否定为：∀x∈R，ax2－x－a>0；当x＝1时，ax2－x－a＝a－1－a＝－1<0成立，所以命题p成立的一个x的值为1. 9．(10分)已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且命题p的否定是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题p的否定是假命题， 所以p是真命题， 所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}， 则解得－3≤a≤1， 即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}． (10—12每小题5分，共15分) 10．已知命题p：∃x，y∈Z，2x＋4y＝3，则(　　) A．p是假命题，p的否定是∀x，y∈Z，2x＋4y≠3 B．p是假命题，p的否定是∃x，y∈Z，2x＋4y≠3 C．p是真命题，p的否定是∀x，y∈Z，2x＋4y≠3 D．p是真命题，p的否定是∃x，y∈Z，2x＋4y≠3 答案：A 解析：由于x，y是整数，2x＋4y是偶数，所以p是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的否定是“∀x，y∈Z，2x＋4y≠3”．故选A． 11．命题p：∃x0∈R，x0≤－1，或x0＝2的否定为(　　) A．∀x∈R，x>－1，或x≠2 B．∀x∈R，x>－1，且x≠2 C．∀x∈R，x>－1，且x＝2 D．∃x0∉R，x0≤－1，或x0＝2 答案：B 解析：由题意知，命题p：∃x0∈R，x0≤－1，或x0＝2是存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，即命题p的否定为：∀x∈R，x>－1，且x≠2.故选B． 12．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．命题p：∃x>0，使得x2－6x－12＝0，则p的否定：∀x>0，x2－6x－12≠0 B．命题p：∀x>0，x(x－4)>0，则p的否定：∃x≤0，x(x－4)≤0 C．命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题 D．命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题 答案：AD 解析：对于A，p的否定：∀x>0，x2－6x－12≠0.故A正确；对于B，p的否定：∃x>0，x(x－4)≤0.故B错误；对于C，其否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不都在同一个圆上”是真命题．故C错误；对于D，其否定为“任意两个不全等三角形的面积不相等”是假命题．故D正确．故选AD． 13．(15分)已知命题p：∀x∈[1，3]，都有m≥x，命题q：∃x∈[1，3]，使m≥x成立，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 解：由题意知命题p，q都是真命题． 由∀x∈[1，3]，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. 由∃x∈[1，3]，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1， 因为两者同时成立， 故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 14．(5分)(新情境)一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围，你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________(填“是”或“否”)． 答案：是 解析：两位同学题中m的取值范围是一致的，因为“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的． 15．(15分)已知命题p：∀1≤x≤2，x≤a＋1，命题q：∃1≤x≤2，一次函数y＝x＋a的图象在x轴下方． (1)若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数的取值范围．(10分) 解：(1)因为命题p的否定为真命题，命题p的否定为：∃1≤x≤2，x>a＋1， 所以a＋1<2，所以a<1. (2)若命题p为真命题，则a＋1≥2，即a≥1. 因为命题q的否定为真命题， 所以“∀1≤x≤2，一次函数y＝x＋a的图象在x轴及x轴上方”为真命题． 所以1＋a≥0，即a≥－1. 所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$