1.2.2 第1课时 称量词命题与存在量词命题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

2．2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 知识 目标 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. 素养 目标 通过对含量词的命题的应用，提升数学运算、逻辑推理素养. 知识点一　全称量词命题 问题1.观察下列命题，它们是否为真命题？它们存在什么共同特点呢？ (1)任何一个实数乘以0都等于0； (2)所有的自然数都是正整数； (3)每一个实数都可以写成分数形式； (4)一切三角形的内角和都等于180°. 提示：(1)(3)(4)是真命题，(2)是假命题；命题中的“任何”、“所有的”、“每一个”、“一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义． 全称量词与全称量词命题 全称量 词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题 全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的” [微思考]　“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？ 提示：该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词． (链教材P19例4)判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断其真假： (1)凸n边形的外角和等于360°； (2)∀x∈R，x2>0； (3)矩形的对角线相等． 解：(1)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． (2)是，有全称量词“∀”，假命题． (3)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． 学生用书↓第21页 　 全称量词命题的辨析及其真假的判断 　 对点练1.[多选题]下列全称量词命题为真命题的是(　　) A．所有的质数都是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：BC 解析：质数中2不是奇数，A选项为假命题；∀x∈R，都有x2≥0，则x2＋1≥1，B选项为真命题；二次函数y＝x2－ax－1中Δ＝a2＋4>0，即x2－ax－1＝0恒有两个不等实根，故二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点，C选项为真命题；所有能被5整除的整数，其末位数字可以是5也可以是0，D选项为假命题．故选BC． 知识点二　存在量词命题 问题2.观察下列命题，它们是否为真命题？它们存在什么共同特点呢？ (1)有一个偶数是素数； (2)有些三角形是直角三角形； (3)存在实数x，使得x2＋x－1＝0. 提示：(1)、(2)、(3)都是真命题；命题中的“有一个”、“有些”、“存在”都有表示个别或一部分的含义． 存在量词与存在量词命题 存在量 词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题 存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在” [微提醒]　(1)常见的存在量词还有“对某些”“有的”等．(2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来． (链教材P20例5)判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断其真假： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无解； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直； (4)存在一个自然数n，使代数式n2－2n＋2的值是负数． 解： (1)不是． (2)是；存在量词是“有些”；真命题． (3)是；存在量词是“存在”；真命题． (4)是；存在量词是“存在”；假命题． 　 存在量词命题的辨析及其真假的判断 　 对点练2.[多选题]下列存在量词命题是真命题的是(　　) A．存在x∈Q，使4－x2＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 答案：ACD 解析：对于A，解4－x2＝0得x＝±2，所以存在x∈Q，使4－x2＝0，故A正确；对于B，Δ＝1－4＝－3<0，所以不存在x∈R，使x2＋x＋1＝0，故B错误；对于C，2是素数同时也是偶数，故C正确；对于D，0是有理数但是没有倒数，故D正确．故选ACD． 学生用书↓第22页 依据含量词的命题的真假求参数的取值范围 已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋2－a<0为真命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题p为真命题，且二次函数y＝x2＋x＋2－a的图象是开口向上的抛物线，因此该抛物线与x轴一定有两个交点， 故二次函数对应的方程有两个实数根， 则Δ＝1－4(2－a)>0，解得a>. 即实数a的取值范围为. [变式探究] 1．(变条件)本题中的条件改为：∃x∈R，x2＋x＋2－a＝0，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：因为p为真命题，因此方程x2＋x＋2－a＝0有实数根，则Δ＝1－4(2－a)≥0，解得a≥. 即实数a的取值范围为. 2．(变条件)本例中的条件改为“∀x∈R，x2＋x＋2－a>0”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：法一：因为p为真命题，则函数y＝x2＋x＋2－a的图象恒在x轴上方， 又x2＋x＋2－a＝＋－a，则－a>0，故a<. 即实数a的取值范围为. 法二：由于∀x∈R，x2＋x＋2－a>0恒成立， 则Δ＝1－4(2－a)<0，解得a<. 即实数a的取值范围为. 　 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围策略 1．含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． 2．含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式知识解决．　 对点练3.[多选题]命题“∀x∈R，ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题的一个充分不必要条件是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．a<0 B．a≤0 C．a≥3 D．a<0或a>3 答案：ACD 解析：当∀x∈R，ax2－2ax＋3>0恒成立时，当a＝0时，3>0恒成立，满足题意，当a≠0时，解得0<a<3，综上，“∀x∈R，ax2－2ax＋3>0恒成立”对应的a的范围为，所以命题“∀x∈R，ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题时，对应的a的范围为(－∞，0)∪，故它的一个充分不必要条件是(－∞，0)∪的真子集，故A、C、D正确．故选ACD． 知识 1.全称量词命题、存在量词命题的概念． 2．含量词的命题的真假判断以及含量词的命题的真假的应用 方法 转化的思想方法 易错误区 有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分” 1．下列命题中是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．对角线相等的四边形都是矩形 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．∃x∈R，x2<0 答案：C 解析：对于A，等腰梯形的对角线也相等，故该命题是全称量词命题且是假命题；对于B，该命题是存在量词命题且是真命题；对于C，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题；对于D，该命题是存在量词命题且是假命题．故选C． 2．[多选题]下列语句是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．存在x∈R，2x＋1是奇数 答案：ABD 解析：因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．故选ABD． 3．已知命题p：∃x0∈R，x0>2；命题q：∀x>0，<x，则下列说法正确的是(　　) A．p为存在量词命题且为假命题，q为全称量词命题且为假命题 B．p为全称量词命题且为假命题，q为存在量词命题且为假命题 C．p为存在量词命题且为真命题，q为全称量词命题且为假命题 D．p为全称量词命题且为真命题，q为存在量词命题且为真命题 答案：C 解析：对于命题p，是存在量词命题，取x0＝3，则∃x0∈R，x0>2，故p为真命题；对于命题q，是全称量词命题，当x＝时， ＝>，故q为假命题；所以p为存在量词命题且为真命题，q为全称量词命题且为假命题．故选C． 4．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成______________． 答案：∀x∈R，x2＋1≠0 解析：由已知，“方程x2＋1＝0无实根”是全称量词命题，故可改写为：∀x∈R，x2＋1≠0.课时测评7　全称量词命题与存在量词命题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．判断下列命题是存在量词命题的个数(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①每一个一次函数都是增函数； ②至少有一个自然数小于1； ③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0； ④两直线平行，内错角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：①因为“每一个”是全称量词，所以“每一个一次函数都是增函数”是全称量词命题；②因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个自然数小于1”是存在量词命题；③因为“存在一个”是存在量词，所以“存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0”是存在量词命题；④两直线平行，内错角相等是全称量词命题，省略了“所有的”．故选B． 2．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．至少有一个x∈Z，使得x2<3成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．∃x∈R, ＝x D．对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a＋b－1) 答案：D 解析：A、C为存在量词命题，B、D为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，故B错误，对任意a，b∈R，都有a2＋b2－2(a＋b－1)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，即a2＋b2≥2(a＋b－1)，故D正确．故选D． 3．不能说明存在量词命题“∃x，y∈R，x2＋y2－2x＝1”为真命题的例子是(　　) A．(x，y)＝(0，1) B．(x，y)＝(0，－1) C．(x，y)＝(2，1) D．(x，y)＝(－2，1) 答案：D 解析：对于A，(x，y)＝(0，1)，此时x2＋y2－2x＝02＋12－2×0＝1，能说明但不符合题意；对于B，(x，y)＝(0，－1)，此时x2＋y2－2x＝02＋(－1)2－2×0＝1，能说明但不符合题意；对于C，(x，y)＝(2，1)，此时x2＋y2－2x＝22＋12－2×2＝1，能说明但不符合题意；对于D，(x，y)＝(－2，1)，此时x2＋y2－2x＝(－2)2＋12－2×(－2)＝9≠1，不能说明但符合题意．故选D． 4．[多选题]下列命题是真命题的有(　　) A．∃x∈R，|x|－2x≤0 B．∀x∈Z，x2∈Q C．∀x∈R，x2－2x＋4>0 D．∃x∈R，x2＋3x＋5＝0 答案：ABC 解析：对于A，当x＝1时，满足|x|－2x≤0，故A正确；对于B，因为∀x∈Z，x2∈Z，且Z⊆Q，所以x2∈Q，故B正确；对于C，∀x∈R，x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3>0，故C正确；对于D，因为x2＋3x＋5＝2＋>0，所以x2＋3x＋5＝0无解，故D错误．故选ABC． 5．已知集合A＝，集合B＝，则以下命题为真命题的是(　　) A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∈B D．∀x∈B，x∉A 答案：A 解析：由题知，集合A＝，集合B＝，所以B是A的真子集，所以∃x∈A，x∈B或∃x∈A，x∉B或∀x∈B，x∈A，只有A选项符合要求．故选A． 6．若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，3] 解析：对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 7．若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：由题意，得Δ＝32－4×9a<0，解得a>，即实数a的取值范围是. 8．(开放题)能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 答案：(答案不唯一) 解析：如当a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题． 9．(10分)已知命题p：∃x∈R，使x2－4x＋m＝0为假命题． (1)求实数m的取值集合B；(4分) (2)设A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合，若“∀x∈A，则x∈B”是真命题，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)由题意，得关于x的方程x2－4x＋m＝0无实数根， 所以Δ＝16－4m<0，解得m>4， 即B＝{m|m>4}． (2)因为A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合， 所以3a<a＋4，即a<2， 因为x∈A是x∈B的充分条件，则3a≥4，即a≥，所以≤a<2. 所以实数a的取值范围为. (10—12每小题5分，共15分) 10．已知命题p：∃x∈R，x＋2>x2，命题q：∀x∈R，－x2<0，则(　　) A．命题p，q都是真命题 B．命题p是真命题，q是假命题 C．命题p是假命题，q是真命题 D．命题p，q都是假命题 答案：B 解析：当x＝0时，x＋2＝2，x2＝0，故命题p为真命题，当x＝0时，－x2＝0，故命题q为假命题．故选B． 11．[多选题]若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A． B．{x|－3<x≤－1} C． D．{x|0≤x≤3} 答案：AB 解析：由命题“∃x∈M，x>3”为假命题，可得M⊆(－∞，3]，又由命题“∀x∈M，|x|>x”为真命题，可得M⊆(－∞，0)，所以M⊆(－∞，0)，结合选项，可得A，B符合题意．故选AB． 12．[多选题]设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且P≠Q，则下列选项中错误的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∃x∈P，使得x∉Q C．∃x∈Q，使得x∉P D．∀x∉Q，有x∈P 答案：CD 解析：因为P∩Q＝Q，所以Q⊆P，又因为P≠Q，所以QP.对于A，因为QP，所以∀x∈Q，有x∈P，故A正确；对于B，因为QP，所以∃x∈P，使得x∉Q，故B正确；对于C，因为QP，所以不存在x∈Q，使得x∉P，故C错误；对于D，若Q＝，P＝，显然4∉Q，4∉P，故D错误．故选CD． 13．(15分)已知集合A＝，B＝，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；(5分) (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．(10分) 解：(1)由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A， 又B≠∅，所以 解得3≤m≤4. 所以实数m的取值范围为3≤m≤4. (2)因为B≠∅，所以2m＋1≤3m－2，解得m≥3. 因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题， 所以A∩B≠∅， 所以－3≤2m＋1≤10，或－3≤3m－2≤10， 解得－2≤m≤. 所以实数m的取值范围为. 14．(5分)观察下面几个算式： 1＝1； 1＋2＋1＝4； 1＋2＋3＋2＋1＝9； 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16； 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25； 得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为___________________________________． 答案：∀n∈N＋，都有1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2 解析：由题设算式的规律知：∀n∈N＋，都有1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2. 15．(15分)已知p：∃x∈R，－x2＋2x－a＝0，q：关于x的方程x2＋(2a＋3)x＋a2＋9＝0有两个不相等的负实数根． (1)若p为真命题，请用列举法表示非负整数a的取值集合；(5分) (2)若p，q都是假命题，求a的最大值．(10分) 解：(1)根据题意可得Δ1＝4－4×(－1)×(－a)≥0， 解得a≤1，故非负整数a的取值集合为. (2)设方程x2＋(2a＋3)x＋a2＋9＝0的两个不相等的负实数根为x1，x2， 则解得a>. 若p，q都是假命题，则a≤，且a>1， 所以1<a≤，故a的最大值为. 学生用书↓第23页 学科网（北京）股份有限公司 $$