1.1.3 第2课时 全集与补集-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　全集与补集 知识 目标 1.在具体情境中，了解全集的含义．　2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 素养 目标 能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用，培养数学抽象素养. U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}．集合U，A，B三者有什么关系？ 提示：集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系． 1．全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示，全集包含所要研究的这些集合． [微思考]　全集一定是实数集R吗？ 提示：不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 2．补集 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 运算性质 A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) [微思考]　观察下面的Venn图，集合U，A，∁UA三者有什么关系？ 提示：A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A． (链教材P10例7)(1)设集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝，则∁UA＝(　　) A． B． C． D．∅ (2)已知全集U，A＝{x|2<x≤3}，綂UA＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，则∁UB＝____________． 答案：(1)C　(2){x|2<x<4，或x≥6} 解析：(1)因为U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，4，5，6}，根据补集定义得∁UA＝.故选C． (2)因为A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，数轴如右图： 所以U＝A∪(∁UA)＝{x|x>2}，所以綂UB＝{x|2<x<4，或x≥6}． 求集合的补集的方法 　　 对点练1.(1)若全集U＝R，集合A＝，则∁UA等于(　　) A． B． C． D． (2)设全集U＝，集合A＝，∁UA＝，则m＝(　　) A．3 B．－2 C．4 D．2 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)全集U＝R，集合A＝，则∁UA＝，或.故选B． (2)已知A＝，∁UA＝，由补集概念知，m－1≠4，由集合中元素的互异性知，m－1≠2，又全集U＝，因为∁UA＝⊆U，且A⊆U，所以4∈U，m－1∈U，则解得m＝2.故选D． 学生用书↓第13页 应用一　交集、并集、补集的综合运算 (链教材P10例8)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}．求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 解： 因为A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，如图所示． 所以∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}，A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 　 1．求集合交、并、补运算的方法 2．∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 对点练2.已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}． 求：(1)(∁SA)∩(∁SB)；(2)∁S(A∪B)；(3)(∁SA)∪(∁SB)；(4)∁S(A∩B)． 解：如图所示，可得 A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ∁SA＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}， ∁SB＝{x|1<x<3，或x＝7}．由此可得： (1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}∩{x|1<x<3，或x＝7}＝{x|x＝7，或1<x<2}． (2)∁S(A∪B)＝{x|x＝7，或1<x<2}． (3)(∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}∪{x|1<x<3，或x＝7}＝{x|1<x<3，或5≤x≤7}． (4)∁S(A∩B)＝{x|1<x<3，或5≤x≤7}． 应用二　由补集的运算求参数的值(范围) 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，如图所示， 所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是[2，＋∞)． 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴(如图)，得－m≤－2，即m≥2. 所以m的取值范围是[2，＋∞)． [变式探究] 1．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2. 所以m的取值范围是(－∞，2)． 2．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4. 所以m的取值范围是(－∞，－4]． 　 由集合的补集求解参数的方法 1．直接法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义直接求解． 2．数轴分析法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．　 学生用书↓第14页 对点练3.已知集合A＝{x||x－1|>1}，B＝{x|a≤x≤3－2a}，U＝R. (1)若∁R(A∪B)＝∅，求实数a的取值范围； (2)若B∩∁RA＝B，求实数a的取值范围． 解：(1)由|x－1|>1，则x－1>1，或x－1<－1，解得x>2，或x<0， 所以A＝＝{x|x<0，或x>2}， 因为∁R(A∪B)＝∅，所以A∪B＝R， 又B＝，所以 解得a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]． (2)由A＝{x|x<0，或x>2}，所以∁RA＝{x|0≤x≤2}， 因为B∩∁RA＝B，所以B⊆∁RA， 当a>3－2a，即a>1时，B＝∅，符合题意； 当B≠∅时，解得≤a≤1. 综上可得a≥，即实数a的取值范围为. 知识 1.全集和补集的概念及运算.2.并、交、补集的混合运算.3.与补集有关的参数的求解 方法 分类讨论、数形结合法 易错误区 正难则反，求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍 1．已知集合U＝R，A＝{x|x<－1，或x>2}，则∁UA等于(　　) A．{x|x<－1，或x>2} B．{x|x≤－1，或x≥2} C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2} 答案：D 解析：由题意可得，∁UA＝.故选D． 2．(2024·河北邯郸高一质量检测)已知集合A＝，B＝，则(∁RB)∩A＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为A＝，B＝，所以∁RB＝，(∁RB)∩A＝.故选B． 3．[多选题]设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝{0，1} B．∁UN＝{4} C．M∪N＝{0，1，3，4} D．M∩(∁UN)＝{4} 答案：ACD 解析：由题意知M∩N＝{0，1}，故A正确；∁UN＝{2，4}，故B不正确；M∪N＝{0，1，3，4}，故C正确；M∩(∁UN)＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，故D正确．故选ACD． 4．已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|－1<x<3}，则图中阴影部分表示的集合为________． 答案：{x|x≤－1} 解析：因为集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1<x<3}，所以A∪B＝{x|x>－1}，由题意，图中阴影部分表示为∁R(A∪B)＝{x|x≤－1}． 课时测评4　全集与补集 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知集合U＝，A＝{x|2 024≤x≤2 025}，则綂UA＝(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C． D． 答案：D 解析：由已知U＝，A＝{x|2 024≤x≤2 025}，所以∁UA＝{x|0<x<2 024，或x>2 025}．故选D． 2．设全集U＝，集合M＝，N＝，则M∪(∁UN)＝(　　) A． B． C． D．U 答案：A 解析：由题意可得∁UN＝，则M∪(∁UN)＝.故选A． 3．设集合A＝，B＝，A∪(∁RB)＝A，则a的取值范围为(　　) A．a>2 B．a<2 C．a≥2 D．a≤2 答案：C 解析：因为集合B＝，可得∁RB＝，又由集合A＝，要使得A∪(∁RB)＝A，可得(∁RB)⊆A，则满足a≥2.故选C． 4．[多选题]图中阴影部分用集合符号可以表示为(　　) A．(∁UB)∩(A∪C) B．∁U((A∩B)∪(B∩C)) C．A∪(C∩∁UB) D．(A∩∁UB)∪(C∩∁UB) 答案：AD 解析：对于A选项，(∁UB)∩(A∪C)即为题图中所示；对于B选项，∁U((A∩B)∪(B∩C))应为如图①； 对于C选项，A∪(C∩∁UB)应为如图②； 对于D选项，(A∩∁UB)∪(C∩∁UB)＝(∁UB)∩(A∪C)即为题图中所示．故选AD． 5．[多选题]已知集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x≤－1}，C＝{x|－2<x≤2}，则集合{x|－3<x<1}可以表示为(　　) A．A∩(B∪C) B．A∪(B∩C) C．A∩∁R(B∩C) D．(A∩B)∪(A∩C) 答案：ABD 解析：因为A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x≤－1}，C＝{x|－2<x≤2}，所以B∪C＝{x|x≤2}，所以A∩(B∪C)＝{x|－3<x<1}，所以A正确；又由B∩C＝{x|－2<x≤－1}，所以A∪(B∩C)＝{x|－3<x<1}，所以B正确；因为B∩C＝{x|－2<x≤－1}，可得∁R(B∩C)＝{x|x≤－2，或x>－1}，所以A∩∁R(B∩C)＝{x|－3<x≤－2，或－1<x<1}，所以C错误；又因为A∩B＝{x|－3<x≤－1}，A∩C＝{x|－2<x<1}，所以(A∩B)∪(A∩C)＝{x|－3<x<1}，所以D正确．故选ABD． 6．已知全集U＝，A＝，B＝，则A∩(∁UB)＝__________． 答案：{2} 解析：因为全集U＝，B＝，则∁UB＝，所以A∩(∁UB)＝{2}． 7．设全集U＝，集合A＝{4，a＋3}，∁UA＝{1}，则实数a的值为________． 答案：－1 解析：因为A∪(∁UA)＝U，所以a2＝1，且a＋3＝2，所以a＝－1. 8．已知全集为R，集合A＝{x|2<x<6}，B＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是__________． 答案： 解析：由题可知B≠∅，∁RB＝{x|x<a－4，或x>a＋4}，因为A⊆∁RB，所以6≤a－4，或2≥a＋4，解得a≥10，或a≤－2，所以实数a的取值范围是{a|a≤－2，或a≥10}． 9．(10分)已知集合A＝[0，2]，B＝[a，a＋3]． (1)若(∁RA)∪B＝R，求实数a的取值范围；(4分) (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？(6分) 解：(1)集合A＝[0，2]，则∁RA＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，而B＝[a，a＋3]，且(∁RA)∪B＝R， 因此解得－1≤a≤0， 所以实数a的取值范围是[－1，0]． (2)由(1)知－1≤a≤0，由A∩B＝∅，得a＋3<0，或a>2，解得a<－3，或a>2， 所以不存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅成立． (10—12每小题5分，共15分) 10．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x>m}，若(∁RA)∪B＝R，则m的取值范围是(　　) A．m<3 B．m>3 C．m<7 D．m>7 答案：A 解析：由集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x>m}，可得∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，因为(∁RA)∪B＝R，则m<3.故选A． 11．[多选题]已知全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A⊆U，B⊆U，A∩(∁UB)＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则下列选项正确的为(　　) A．8∈B B．A的不同子集的个数为8 C．{9}⊆A D．6∉∁U(A∪B) 答案：ABC 解析：由题意得U＝{x|x<10，x∈N＋}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，根据A⊆U，B⊆U，A∩(∁UB)＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}， 作出Venn图： 则8∈B，故A正确；集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为23＝8，故B正确；由于9∈A，所以{9}⊆A，故C正确；因为(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，且(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，故6∈∁U(A∪B)，故D错误．故选ABC． 12．设全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|m<x<1}．若集合(∁UA)∩B中有且仅有一个整数，则实数m的最小值为________． 答案：－2 解析：由A＝{x|－1<x<2}＝(－1，2)，所以∁UA＝(－∞，－1] ∪ [2，＋∞)；因为(∁UA)∩B中有且仅有一个整数，所以－1∈，－2∉，所以－2≤m<－1，则实数m的最小值为－2. 13．(15分)(开放题)已知集合A＝{x|m<x<2m}，B＝{x|x≤－5，或x>4}． (1)当m＝3时，求A∪(∁RB)；(5分) (2)在①A⊆∁RB，②A∩B＝∅，③A∩(∁RB)＝A这三个条件中任选一个，补充在横线上，并求解．若________，求实数m的取值范围．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(10分) 解：(1)当m＝3时，A＝{x|3<x<6}，B＝{x|x≤－5，或x>4}，所以∁RB＝{x|－5<x≤4}， 因此A∪(∁RB)＝{x|－5<x<6}． (2)若选①，当A＝∅时，则m≥2m，解得m≤0，即当m≤0时，A⊆∁RB成立， 当A≠∅时，即当m>0时， 由A⊆∁RB可得解得－5≤m≤2，此时0<m≤2. 综上，实数m的取值范围为{m|m≤2}． 若选②，当A＝∅时，则m≥2m，解得m≤0，即当m≤0时，A∩B＝∅成立； 当A≠∅时，即当m>0时， 由A∩B＝∅可得解得－5≤m≤2，此时0<m≤2. 综上，实数m的取值范围为{m|m≤2}． 若选③，由A∩(∁RB)＝A可得A⊆(∁RB)， 当A＝∅时，则m≥2m，解得m≤0，即当m≤0时，A⊆綂RB成立； 当A≠∅时，即当m>0时， 由A⊆∁RB可得解得－5≤m≤2，此时0<m≤2. 综上，实数m的取值范围为{m|m≤2}． 14．(5分)设全集为U，A，B是U的子集，有以下四个关系式： 甲：A∩B＝A；乙：∁UA⊆∁UB；丙：(∁UA)∪(∁UB)＝∁UA；丁：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 若甲、乙、丙、丁中有且只有一个不成立，则不成立的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：B 解析：由题意，甲：A∩B＝A⇔A⊆B；乙：∁UA⊆∁UB⇔B⊆A；丙：(∁UA)∪(∁UB)＝∁UA⇔綂UB⊆∁UA⇔A⊆B；丁：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)对任意的集合A，B均成立．若有且只有一个不成立，则必为乙．故选B． 15．(15分)已知集合A＝{x|x<－3，或x>7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若(∁RA)∪B＝∁RA，求实数m的取值范围；(5分) (2)若(∁RA)∩B＝{x|a≤x≤b}，且b－a≥1，求实数m的取值范围．(10分) 解：(1)由题意知∁RA＝{x|－3≤x≤7}； 因为(∁RA)∪B＝∁RA，故B⊆(∁RA)； ①当B＝∅，即m＋1>2m－1时， 满足B⊆(∁RA)，此时m<2； ②当B≠∅时，若B⊆(∁RA)，则 解得2≤m≤4； 综上所述，m的取值范围为{m|m≤4}． (2)因为(∁RA)∩B＝{x|a≤x≤b}，且b－a≥1， 故B≠∅，即m＋1≤2m－1， 解得m≥2，则m＋1≥3，2m－1≥3； 1 当2m－1≤7，即m≤4时，(∁RA)∩B＝B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 故2m－1－(m＋1)≥1，解得3≤m≤4； ②当即4<m≤6时，(∁RA)∩B＝{x|m＋1≤x≤7}， 故7－(m＋1)≥1，解得4<m≤5； 2 当m＋1>7，即m>6时，(∁RA)∩B＝∅，不符合题意； 综上所述，m的取值范围为{m|3≤m≤5}． 学科网（北京）股份有限公司 $$