1.1.3 第1课时 交集与并集-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

1．3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 知识 目标 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集. 素养 目标 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用，培养数学抽象素养. 知识点一　交集 问题1.观察下列集合，你能说出集合C与集合A，B之间有什么关系吗？ (1)A＝，B＝，C＝； (2)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}； (3)A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥0}，C＝{x|0≤x≤1}． 提示：(1)(2)(3)集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的． 交集 文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 续表 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 运算性质 A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，A⊆B⇔A∩B＝A [微思考]　(1)当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？(2)若A∩B＝A，则A与B有什么关系？ 提示：(1)有，交集为空集．(2)若A∩B＝A，则A⊆B． (1)(链教材P9例6)(2023·北京卷)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1} C．{x|x≥－2} D．{x|x<1} (2)已知集合M＝{－2，0，2}和N＝{x|x2－x－2＝0}的关系如右图，则阴影部分所表示的集合为(　　) A．∅ B．{2} C． D．{－2} 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)由题意，M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，N＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，根据交集的运算可知，M∩N＝{x|－2≤x<1}．故选A． (2)因为N＝＝，又M＝{－2，0，2}，所以M∩N＝{2}，又图中阴影部分表示的为M∩N，所以阴影部分所表示的集合为{2}．故选B． 　 求集合交集的方法 1．直接法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．　2．数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 对点练1.已知集合A＝，若A∩B＝∅，则集合B可能为(　　) A．{4} B．{x|x－7>0} C．{x|x＋7>0} D．{x|6－x>0} 答案：B 解析：对于A，A∩＝≠∅，故A错误；对于B，A∩＝∅，故B正确；对于C，A∩{x|x>－7}＝{x|－7<x<7}≠∅，故C错误；对于D，A∩＝≠∅，故D错误．故选B． 学生用书↓第10页 知识点二　并集 问题2.观察下列集合： ①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}； ②A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，C＝{x|x是整数}； ③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}． (1)你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？ (2)①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中的呢？ 提示：(1)集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的． (2)在①中，集合C中有4个元素，集合A，B中各有2个元素，4＝2＋2； 在③中，集合C中有4个元素，集合A中有2个元素，集合B中有3个元素，4＜2＋3. 并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 续表 运算性质 A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆B⇔A∪B＝B [微思考]　(1)在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？(2)若已知A∪B＝B，则集合A与B之间有何关系？ 提示：(1)A∩B＝∅.(2)A⊆B． (1)(链教材P9例6)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于(　　) A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2} (2)已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　) A． B． C． D． 答案：(1)A 　(2)A 解析：(1)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．故选A． (2)因为2x－7≤0，即x≤，又x∈N，所以A＝，则A∪B＝.故选A． 　 求两个集合的并集的方法 1．直接法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． 2．数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．　 对点练2.已知集合M＝，M∪N＝，则集合N可能为(　　) A．{1，4，6} B．{3，4，6} C．{1，2，6} D．{1，3} 答案：A 解析：因为M∪N＝，M＝，所以1，6∈N，2∉N.故集合N可能为.故选A． 根据并集与交集运算求参数 (链教材P12B组T3) 已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求实数k的取值范围． 解：①当B＝∅时，即k＋1>2k－1，k<2时，满足A∪B＝A． ②当B≠∅时，要使A∪B＝A，即B⊆A，只需解得2≤k≤. 综合①②可知，实数k的取值范围是. [变式探究] 1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求实数k的取值范围． 解：由A∩B＝A可知A⊆B， 所以即所以k∈∅. 所以实数k的取值范围为∅. 学生用书↓第11页 2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求实数k的值． 解：由题意可知解得k＝3. 所以实数k的值为3. 1．方法： (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，要做到不漏解． (2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效方法是合理运用数形结合思想帮助分析与求解．另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论． 2．依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．　 对点练3.已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a(a>0)}． (1)若A∪B＝B，求实数a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； (3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求实数a的值． 解：(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B， 观察数轴可知， 所以实数a的取值范围是. (2)A∩B＝∅有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图． 观察数轴可知，a≥4，或3a≤2，又a>0， 所以实数a的取值范围是. (3)画出数轴如图， 观察数轴可知即实数a＝3. 知识 1.交集、并集的概念及运算.2.交集、并集的性质.3.由交集、并集的关系求参数值或范围 方法 分类讨论、数形结合法 易错误区 由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论 1．已知集合M＝{－2，－1，0，1}，N＝{x|－3≤x<0}，则M∩N＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为集合M＝{－2，－1，0，1}，N＝{x|－3≤x<0}，则M∩N＝.故选D． 2．设A＝，B＝，则A∪B等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为A＝，B＝，所以A∪B＝.故选C． 3．[多选题]已知集合M＝，N＝，下列结论错误的是(　　) A．NM B．M∪N＝M C．M∩N＝N D．M∩N＝{2} 答案：ABC 解析：因为－2∉M，故A错误；由题意可知：M∪N＝≠M，故B错误；易知M∩N＝{2}≠N，故C错误，D正确．故选ABC． 4．(2024·九省适应性测试)已知集合A＝，B＝，若A∩B＝A，则实数m的最小值为________． 答案：5 解析：由A∩B＝A，故A⊆B，由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有即即m≥5，即实数m的最小值为5. 课时测评3　交集与并集 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．{0，1} B．{0} C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 答案：D 解析：由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}．故选D． 2．若集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，则(　　) A．A∪B＝ B．A∩B＝ C．A∩B＝ D．A∪B＝ 答案：D 解析：因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}，A∩B＝{x|1<x<2}．故选D． 3．已知集合A＝{x|x<－2，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－2 B．a≤－2 C．a<1 D．－2<a<1 答案：B 解析：因为集合A＝{x|x<－2，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，A∪B＝R，画出数轴如图，所以a≤－2. 故选B． 4．[多选题]若集合A＝，B＝，则下列结论正确的是(　　) A．A∩B＝ B．A∪B＝ C．A⊆B D．A∩B＝A∪B 答案：AB 解析：对于A、B，因为A＝，B＝，所以A∩B＝，A∪B＝，故A、B正确；对于C，因为－1∈A，但－1∉B，所以A⊆B不成立，故C错误；对于D，由选项AB易知A∩B≠A∪B，故D错误．故选AB． 5．[多选题]设集合A＝{x|(x－6)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－2)(x－3)＝0}，若A∩B＝∅，则a的值可以为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 答案：ACD 解析：B＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2，3}，当a＝6时，A＝{x|(x－6)(x－a)＝0，a∈R}＝{6}，则A∩B＝∅成立，所以a＝6满足题意；当a≠6时，A＝{6，a}，若A∩B＝∅成立，则a≠2，a≠3；所以a＝6，a＝1，a＝4满足题意．故选ACD． 6．已知集合A＝，B＝.若A∩B＝，则实数a的值为________． 答案： 解析：因为A∩B＝，则若2a＝1，解得a＝，此时B＝，满足题意；若a2＋3＝1，显然无实数解，故舍去；所以实数a的值为. 7．已知集合A＝(－2，－1)∪(1，＋∞)，B＝.若A∪B＝(－2，＋∞)，A∩B＝(1，3，则a＝________，b＝________． 答案：－1　3 解析： 画出数轴，标出集合A，A∪B，A∩B，如图所示． 由A∪B＝(－2，＋∞)，知－2<a≤－1，b≥1.由A∩B＝(1，3，知－1≤a≤1，b＝3.故a＝－1，b＝3. 8．(开放题)设集合A＝，B＝，若集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值可以为__________．(写出两个符合条件的值，只写一个或有错误的均不得分) 答案：0，1(答案不唯一，从0，1，2，4中任选两个即可) 解析：B＝＝，当a＝2时，A＝{2}，此时A∪B＝，显然集合A∪B中所有元素之和为7，当a≠2时，A＝，此时1＋4＋2＝7，或1＋4＋2＋0＝7，所以a＝0，4，1.综上所述：a＝0，1，2，4. 9．(10分)设集合A＝，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a＝0}． (1)若A∪B＝，求实数a的值； (4分) (2)若A∪B＝A，求实数a的取值集合．(6分) 解：(1)A＝＝， x2－(a＋1)x＋a＝0⇒(x－a)(x－1)＝0⇒x＝a或x＝1，当a＝1时，B＝， 此时A∪B＝，显然不满足A∪B＝，不符合题意，舍去； 当a≠1时，B＝，因为A＝，A∪B＝，所以一定有a＝3. (2)因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当a＝1时，B＝，显然满足B⊆A； 当a≠1时，B＝，要想B⊆A，则必有a＝5. 综上所述，实数a的取值集合为. (10—12每小题5分，共15分) 10．(新定义)[多选题]对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，x∉B}，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)．设M＝，N＝，则M⊕N中可能含有下列元素中的(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：CD 解析：因为M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，所以M－N＝{1，2，3}，N－M＝{7，8，9，10}，所以M⊕N＝(M－N)∪(N－M)＝{1，2，3，7，8，9，10}．故选CD． 11．(新定义)[多选题]对于非空集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A－B．例如，A＝{1，2，3，4，，B＝{4，5，6，7，，则有A－B＝{1，2，，如果A－B＝∅，集合A与B之间的关系为(　　) A．A∩B＝A B．A∩B＝B C．A∩B＝∅ D．A∪B＝B 答案：AD 解析：根据差集的定义，且A－B＝∅，可得A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，故选AD． 12．若集合M＝，A＝，B＝，则集合A∪B中的元素个数是________． 答案：5 解析：因为集合M＝，A＝{x|x＝s＋t，s∈M，t∈M}，B＝{x|x＝s2＋t2，s∈M，t∈M}，则A＝，B＝，所以A∪B＝{2，4，6，10，18}，故集合A∪B中的元素个数是5. 13．(15分)(开放题)在①A∪B＝B；②A∩B＝∅，这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝. (1)当a＝2时，求A∪B和A∩B；(5分) (2)若________，求实数a的取值范围．(10分) 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解： (1)当a＝2时，A＝{x|1<x<3}， 而B＝， 所以A∪B＝{x|－1≤x<3}， A∩B＝. (2)选①，由A∪B＝B，得A⊆B，显然A≠∅， 于是解得0≤a≤， 所以实数a的取值范围是. 选②，A∩B＝∅，显然A≠∅，则a＋1≤－1，或a－1≥，所以a≤－2，或a≥， 所以实数a的取值范围是. 14．(5分)(新情境)[多选题]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N＋}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N＋}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N＋}，若x∈A∩B∩C，则下列选项中符合题意的整数x为(　　) A．8 B．128 C．37 D．23 答案：BD 解析：对于A，因为8＝7×1＋1，则8∉C，故A错误；对于B，128＝3×42＋2，即128∈A；又128＝5×25＋3，即128∈B；而128＝7×18＋2，即128∈C，因此，128∈A∩B∩C，故B正确；对于C，因为37＝3×12＋1，则37∉A，故C错误；对于D，23＝3×7＋2，即23∈A；又23＝5×4＋3，即23∈B；而23＝7×3＋2，即23∈C，因此，23∈A∩B∩C，故D正确．故选BD． 15．(15分)已知集合A＝{x|－2<x<8}，B＝{x|2m－1<x<m＋3}． (1)当m＝2时，求A∩B；(5分) (2)若A∩B＝{x|a<x<b}且b－a＝3，求实数m的值．(10分) 解：(1)当m＝2时，B＝{x|3<x<5}， 又A＝{x|－2<x<8}， 所以A∩B＝{x|3<x<5}． (2)因为A＝{x|－2<x<8}，B＝{x|2m－1<x<m＋3}， ①A∩B＝{x|2m－1<x<m＋3}时，解得m＝1； ②A∩B＝{x|2m－1<x<8}时，此时满足条件的m不存在； ③A∩B＝{x|－2<x<m＋3}时，解得m＝－2. 综上，实数m的取值范围为. 学生用书↓第12页 学科网（北京）股份有限公司 $$