1.1.2 集合的基本关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

1.2　集合的基本关系 知识 目标 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．　2.能用符号和Venn图表达集合间的基本关系，会判断集合间的关系. 素养 目标 通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养；借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养. 知识点一　集合的基本关系 问题1.观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)C为某中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 提示：(1)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C．(3)集合A包含集合B，集合B也包含集合A． 学生用书↓第6页 1．Venn图 用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． 2．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概 念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 续表 子集 集合相等 真子集 图 示 或 结 论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A (2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C 若A＝B且B＝C，则A＝C 若AB且BC，则AC [微思考]　(1)任何一个集合都有真子集吗？(2)A⊆B与AB有什么关系吗？ 提示：(1)不是，空集没有真子集．(2)A⊆B包括两种情况：AB和A＝B． 下列关系中正确的个数是(　　) ①π∈R；②∅；③⊆；④{(1，0)}＝；⑤⊆ A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：对于①，π∈R，故①正确；对于②，∅，故②正确；对于③，⊆，故③正确；对于④，集合的元素为点(1，0)，集合的元素为点(0，1)，故④错误；对于⑤，集合的元素为0，1，集合的元素为点(0，1)，故⑤错误．故选C． (链教材P7T2)判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 解：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB． (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB． (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. 判断集合基本关系的常用方法 　　 对点练1.[多选题]若集合A＝，集合B＝，则A，B的关系不成立的是(　　) A．A⊆B B．A＝B C．AB D．BA 答案：ABC 解析：由B＝{x|x＝2(2n－1)＋1，n∈Z}，而A＝，所以BA，故不成立的有A、B、C．故选ABC． 学生用书↓第7页 知识点二　子集、真子集的个数 问题2.填写下表，回答后面的问题： 集合 元素 个数 所有子集 子集 个数 1 2 3 4 (1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ (2)如果一个集合的元素的个数为n，你能用n表示出这个集合的子集、真子集的个数吗？ 提示： 集合 元素 个数 所有子集 子集 个数 {a} 1 ∅，{a} 2 {a，b} 2 ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} 3 ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 续表 集合 元素 个数 所有子集 子集 个数 {a，b，c，d} 4 ∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 (1)能．(2)子集个数为2n，真子集个数为2n－1. 如果一个集合的元素的个数为n， 那么这个集合的子集的个数为2n个；真子集的个数为2n－1个；非空子集的个数为2n－1个；非空真子集的个数为2n－2个． (链教材P7例4)已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，列举集合A的子集并指出有多少个真子集． 解：依题意得4a－10＋6＝0，解得a＝1. 则x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3， 所以A＝{2，3}． 所以集合A的子集有∅，{2}，{3}，{2，3}，共4个． 真子集有∅，{2}，{3}，共3个． 求有限集合的子集或真子集个数的思路 [注意]　(1)要注意两个特殊的子集：∅和自身．(2)按集合中含有元素的个数由少到多，以一定的顺序来写，保证不重不漏．　 对点练2.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， 所以A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． 集合基本关系的应用 (2024·四川成都高一月考)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围． 解： 当B＝∅时，由m＋1>2m－1，解得m<2； 当B≠∅时，如图所示，所以 解得2≤m≤3. 综上所述，m的取值范围是(－∞，3]． [变式探究] 1．(变条件)若本例条件“B⊆A”改为“BA”，其他条件不变，求m的取值范围． 解： 当B≠∅时，如图所示． 所以 或解得2≤m≤3； 当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是(－∞，3]． 学生用书↓第8页 2．(变条件)若本例条件“B⊆A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 解： 当A⊆B时，此时B≠∅，如图所示． 所以即 所以m∈∅，即m的取值范围为∅. 由集合的基本关系求参数的方法与注意点 1．当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论．2．当集合为连续实数集时，常借助数轴分析法来建立不等关系求解，应注意端点处是实心点还是空心点． 3．注意点 (1)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论； (2)利用数轴处理不等式表示集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示； (3)涉及“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况． 对点练3.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．1 C． D．－1 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|1－m≤x≤2m－1}，且A⊆B，则实数m的取值集合是________． 答案：(1)B　(2){m|m≥4} 解析：(1)因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述，a＝1.故选B． (2)因为A⊆B，所以解得m≥4，即实数m的取值集合为{m|m≥4}． 知识 1．子集、真子集、集合相等的概念． 2．子集、真子集的个数 方法 1.集合间关系的判断：列举观察法、集合元素特征法、数形结合法.2.求给定集合的子集、真子集的个数：定义法、分类讨论思想.3.集合间关系的应用：分类讨论思想、数形结合法 易错 误区 1.忽略对集合是否为空集的讨论.2.求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误 1．[多选题]已知集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，则下列关系正确的是(　　) A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．BA 答案：CD 解析：因为集合A＝，B＝{x|－2≤x≤1}，所以根据子集及真子集的定义可知B⊆A，BA．故选CD． 2．集合M＝{0≤x<3}的子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 答案：B 解析：集合M＝{0≤x<3}＝，集合M含有3个元素，所以集合M的子集个数是23＝8.故选B． 3．已知A＝，B＝，若A＝B，则x－y＝(　　) A．2 B．1 C． D． 答案：C 解析：若A＝B，则或解得或或由集合中元素的互异性，得则x－y＝－＝.故选C． 4．集合A＝，B＝，且AB，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：因为集合A＝，B＝，且AB，所以a≤－1. 课时测评2　集合的基本关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．如果A＝，则下列结论正确的是(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0⊆A B．∈A C．∅∈A D．⊆A 答案：D 解析：对于A，0是集合A的一个元素，应该表示为0∈A，故A错误；对于B，是A的子集，应该表示为⊆A，故B错误；对于C，∅是A的子集，应该表示为∅⊆A，故C错误；对于D，是A的子集，所以⊆A，故D正确．故选D． 2．下列集合中表示同一集合的是(　　) A．M＝，N＝ B．M＝，N＝ C．M＝，N＝ D．M＝，N＝ 答案：C 解析：对于A，(3，2)与(2，3)不是同一个点，故A错误；对于B，集合M是点集，集合N是数集，故B错误；对于C，根据集合中元素的无序性可知M，N是同一个集合，故C正确；对于D，集合M是数集，集合N是点集，故D错误．故选C． 3．已知{x|ax－1＝0}{x|x2－2x－3＝0}，则实数a的取值集合是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，所以{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，当a＝0时，方程ax－1＝0无解，则{x|ax－1＝0}＝∅，满足题意；当a≠0时，由ax－1＝0，解得x＝，所以＝－1或3，解得a＝－1或.综上，实数a的取值集合是.故选D． 4．设M＝，N＝，则(　　) A．M＝N B．MN C．M⊇N D．M，N无关 答案：B 解析：若x∈M，则x＝＋＝＋，k∈Z，2k－1∈Z，即M中元素都是N中元素，所以M⊆N.而当k＝－2时，0∈N，而0∉M，所以N⃘M，所以MN.故选B． 5.[多选题]已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图，则集合B可能是(　　) A． B． C． D． 答案：BD 解析：由图知：BA，A＝，根据选项可知B＝{1，3}或B＝{2，3}．故选BD． 6．已知集合A＝[－4，4]，B＝{x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围为________． 答案：(－∞，－4] 解析：因为集合A＝[－4，4]，集合B＝{x|x≥a}，若AB，则a≤－4，即实数a的取值范围是(－∞，－4]． 7．设a，b∈R，集合＝{a，b，0}，则a2 024＋b2 025的值是________． 答案：0或2 解析：由集合元素互异性知a≠0，又＝{a，b，0}，则或解得或故a2 024＋b2 025＝0或2. 8．(开放题)已知集合A＝，B＝{x|y＝＋}，若A⊆B，则实数a的值可以是________(写出一个满足条件的值即可)． 答案：1(a≤0，或a＝1均可，答案不唯一) 解析：根据题意得B＝，因为A⊆B，若A＝∅，则a≤0，满足题意；若a>0，则＝4，得a＝1，故实数a的值满足a≤0，或a＝1均可． 9．(10分)设全集U＝R，集合A＝，集合B＝，其中a∈R. (1)若A⊆B，求a的取值范围；(4分) (2)若B⊆A，求a的取值范围．(6分) 解：(1)因为A⊆B，所以⇒⇒a>2，即a的取值范围是a∈(2，＋∞)． (2)因为B⊆A，若B＝∅，则1＋2a≤2－a⇒a≤. 若B≠∅，则⇒⇒<a≤1，综上所述，a∈(－∞， (10—12每小题5分，共15分) 10．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．{0，1，2}⊆{2，1，0} B．∅⊆{0，1，2} C．{0，1}＝{(0，1)} D．0＝{0} 答案：AB 解析：对于A，两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0，1，2}⊆{2，1，0}，故A正确；对于B，空集是任意集合的子集，故∅⊆{0，1，2}，故B正确；对于C，两个集合所研究的对象不同，故{0，1}，{(0，1)}为不同集合，故C错误；对于D，元素与集合之间只有属于、不属于关系，故D错误．故选AB． 11．[多选题]已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么(　　) A．若a＝3，则A⊆B B．若A⊆B，则a＝3 C．若a＝3，则AB D．若A⊆B，则a＝2 答案：AC 解析：当a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B，AB，故A正确，C正确；由A⊆B，得a∈B，而a≠1，因此a＝2或a＝3，故B、D错误．故选AC． 12．(2024·重庆高一月考)设ai(i＝1，2，3)均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为12，则a1＋a2＋a3＝________． 答案：4 解析：集合的所有非空真子集为，，，，，，由题意可得3(a1＋a2＋a3)＝12，解得a1＋a2＋a3＝4. 13．(15分)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：①当B＝∅时，2a>a＋3，即a>3.显然满足题意． ②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或 解得a<－4，或2<a≤3. 综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}． 14．(5分)[多选题]已知集合A＝，B＝{x|x∈A，x∈N}，C＝{x|x⊆A}，则关于集合A，B，C之间的关系，下列说法正确的有(　　) A．A＝B B．AB C．A∈C D．A⊆C 答案：AC 解析：因为A＝{0，1}，所以B＝{x|x∈A，x∈N}＝{0，1}，C＝{x|x⊆A}＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，所以有A＝B成立，AB不成立，A∈C成立，A⊆C不成立，故选AC． 15．(15分)(新角度)集合P＝{x|x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{－4，－1，1}． (1)若b＝4，存在集合M使得PMQ，求出这样的集合M；(5分) (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．(10分) 解：(1)若b＝4，则P＝{x|x2－3x＋4＝0，x∈R}＝∅， 因为PMQ，所以M＝，，，，，. (2)方程x2－3x＋b＝0的判别式为Δ＝(－3)2－4b＝9－4b， 当Δ<0时，即b>时，P＝{x|x2－3x＋b＝0，x∈R}＝∅，此时显然P是Q的一个子集； 当Δ＝0时，即b＝时，P＝＝，此时显然P不是Q的一个子集； 当Δ>0时，即b<时，要想P是Q的一个子集，－4，－1，1中必有两个元素是集合P中元素，根据一元二次方程x2－3x＋b＝0根与系数的关系，这两个根之和为3，显然－4，－1，1中没有两个数的和为3，所以此时P不可能是Q的一个子集． 综上所述，P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为. 学生用书↓第9页 学科网（北京）股份有限公司 $$