单元拓展提升：百分数（一） (培优讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

百分数（一） 【课前小测+思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 课前小测 自测试题 自测1：明明从家去学校，已经走的路程是未走路程的倍，已经走的路程比未走的路程多百分之几？ 自测2：某校六年级有学生50人，其中女生占40%，后来又转入几名女生，这时女生人数和男生人数比是5∶6，求转入几名女生？ 自测3：学校建教学楼，计划投资300万元，实际投资比计划节约了40%，实际投资多少万元？ 自测4：在学校举行的“献爱心捐图书”的活动中，五年级同学捐了150本图书，六年级同学捐的本数比五年级多20%。六年级捐了多少本图书？ 自测5：小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了138页，这本书共有多少页？ 参考答案 自测1：250% 【分析】先把化成假分数，即已经走的路程是未走路程的，可以把已经走的路程看作7份，未走的路程看作2份，则已经走的路程比未走的路程多（7－2）份，用多的份数除以未走路程的份数，即是已经走的路程比未走的路程多百分之几。 【详解】＝   （7－2）÷2×100% ＝5÷2×100% ＝2.5×100% ＝250% 答：已经走的路程比未走的路程多250%。 自测2：5名 【分析】根据题意“一开始六年级有学生50人，其中女生占40%”，则一开始女生有50×40%＝20人，男生有50－20＝30人；再根据“后来又转入几名女生，这时女生人数和男生人数比是5∶6”，可设后来女生人数为5份，男生人数为6份；男生人数是不变量，可算出一份量为30÷6＝5人，再用一份量×5得到后来的女生人数，再减去一开始的女生人数，即可解答。 【详解】50×40%＝20（人） 50－20＝30（人） 30÷6×5－20 ＝5×5－20 ＝25－20 ＝5（人） 答：转入5名女生。 自测3：180万元 【分析】将计划投资看作单位“1”，计划投资×实际投资对应百分率＝实际投资，据此列式解答。 【详解】300×（1－40%） ＝300×0.6 ＝180（万元） 答：实际投资180万元。 【点睛】关键是确定单位“1”，整体数量×部分对应百分率＝部分数量。 自测4：180本 【分析】根据“六年级同学捐的本数比五年级多20%”，把五年级捐的本数看作单位“1”，则六年级捐的本数是五年级的（1＋20%），单位“1”已知，用五年级捐的本数乘（1＋20%），即可求出六年级捐的本数。 【详解】150×（1＋20%） ＝150×1.2 ＝180（本） 答：六年级捐了180本图书。 【点睛】本题考查百分数乘法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义列式计算。 自测5：230页 【分析】由题意可知，两天一共看的页数占全书的（＋35%），即138页，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法进行计算。 【详解】138÷（＋35%） ＝138÷60% ＝230（页） 答：这本书共有230页。 【点睛】本题考查已知一个数的百分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【百分数的意义、读写及应用】 【知识点归纳】 （1）百分数（又叫做百分率或百分比）与分数的意义截然不同．百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数．”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量．如：可以说1米是5米的20%，不可以说“一段绳子长为20%米．”因此，百分数后面不能带单位名称．分数可带具体名称． （2）百分数的读法：100%不读百分之百，要读百分之一百；32%：百分之三十二； 50%：百分之五十； 1%：百分之一． （3）百分号的写法注意的地方：%的0是左上右下，不能写在一起． 【小数、分数和百分数之间的关系及其转化】 【知识点归纳】 （1）小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分 （2）分数化成小数：用分母去除分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数 （3）一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数 （4）小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时，在后面添上百分号 （5）百分数化成小数：把百分号去掉，同时，把小数点向左移动两位 （6）分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数 （7）百分数化成分数：先把百分数改写成分数，能约分的，要约成最简分数． 第四部分 典型例题 例题1：神舟十四号载人飞船继续采用“快速返回技术”，耗时约9小时返回地球，比神舟十二号返回少耗用69%的时间。神舟十二号返回耗时约多少小时？（得数保留整数） 【答案】29小时 【分析】把神舟十二号返回时耗时时间看作单位“1”，则预计耗时＝实际耗时×（1－69%），求单位“1”，用除法计算，再根据“四舍五入”法保留整数即可。 【详解】9÷（1－69%） ＝9÷0.31 ≈29（小时） 答：神舟十二号返回耗时约29小时。 例题2：牛郎星的运行速度是每秒26千米，织女星的运行速度是每秒14千米，织女星的运行速度比牛郎星慢百分之几？ 【答案】46.15% 【分析】把牛郎星的运行速度看作单位“1”，织女星的运行速度比牛郎星慢的百分率＝（牛郎星的运行速度－织女星的运行速度）÷牛郎星的运行速度×100%，据此解答。 【详解】（26－14）÷26×100% ＝12÷26×100% ≈0.4615×100% ＝46.15% 答：织女星的运行速度比牛郎星慢46.15%。 【点睛】掌握一个数比另一个数少百分之几的计算方法是解答题目的关键。 例题3：六（1）班开联欢会，买来瓜子12千克，买来的糖是瓜子的75%，买来的糖又是买来水果的。买来水果多少千克？ 【答案】15千克 【分析】买来瓜子12千克，买来的糖是瓜子的75%，12乘75%，求出糖是9千克；水果的是9千克，糖的重量除以对应的分率得到水果的重量。 【详解】 （千克） 答：买来水果15千克。 【点睛】求一个量的几分之几用乘法，已知一个量的几分之几是多少，求这个量用除法。 例题4：一堆沙子，第一次运走总质量的，第二次比第一次多运走40吨，第三次运走总质量的，正好运完。这堆沙子有多少吨？ 【答案】400吨 【分析】根据第三次运走总质量的，可以知道第一次和第二次总共运走总质量的1－，减去第一次运走总质量的，就是第二次运走总质量的几分之几，再减，就得出第二次比第一次多运几分之几；用第二次比第一次多运走的40吨除以第二次比第一次多运走的几分之几，就可以知道这堆沙子的总质量。 【详解】 ＝ ＝（吨） 答：这堆沙子有400吨。 【点睛】重点是先求第二次比第一次多运走几分之几。 第五部分 高频真题 一、选择题 1．某小学组织“防疫新冠”主题征文活动，六年级组共120人获奖，其中六（3）班获奖人数占30%，一等奖和二等奖的获奖人数比是4∶5，且没有三等奖，则六（3）班一等奖有（    ）人。 A．16 B．45 C．20 D．36 2．一件上衣标价150元，连续两次降价10%，这件上衣一共降价了（    ）元。 A．30 B．20 C．28.5 D．25 3．老师今天布置的课堂作业，小明全部完成，就是完成了（　　）；小军完成了一半，就是完成了（　　） A．10% B．100% C．50% D．0.5% 4．一种商品10月的价格比9月涨了30%，11月的价格比10月又降了30%；11月的价格和9月比是（    ）。 A．涨了 B．降了 C．不变 D．无法比较 5．一件衣服价格降低了10%，然后又上涨了10%。这时的价和原价相比（    ）。 A．降低了 B．升高了 C．一样 D．不能确定 6．一杯糖水的含糖率是10%，那么糖与水的比是（    ）。 A．1∶10 B．1∶11 C．1∶9 D．无法确定 7．下列数中，与其他几个数大小不同的是（    ）。 A．7% B．0.07 C．百分之七 D． 二、填空题 8．六年级一班80名同学参加体育达标测试，达标率为90%，有( )人达标，有( )人没有达标。 9．＝0.625＝（    ）∶8＝20÷（    ）＝（    ）%。 10．在1.333.....、、1.40、132%中，最小的数是( ),最大的数是( ),( )和( )相等。 11．在1.87、187.6%, 和1．这四个数中,最大的数是( ),最小的数是( ). 12．在、0.57、、和57.75%这四个数中，最大的数是　 　，最小的数是　 　． 13．32.5%读作： ；百分之一百零六写作： 。 14．苹果的质量是梨的80%，梨的质量与橘子质量的比是3∶4，这三种水果中，( )最重。 三、判断题 15．今天六(3)班的50人全部到校，今天六(3)班的出勤率是50％． ( ) 16．参加60m赛跑，甲要15秒，乙要12秒，甲跑步的速度比乙慢25%。( ) 17．把15g盐放入100g水中，盐占盐水的15%。( ) 18．从A地到B地，甲要行5小时到达，乙要行4小时到达，乙比甲快20%。( ) 19．出油率、发芽率和增长率都不能超过100%．  ( ) 20．六（1）班，六（2）女生人数都占本班人数的48%，所以六（1）班和六（2）班女生人数相等．    ( ) 21．六（1）班和六（2）班一共有101人，有一天出勤101人，这一天出勤率是101%.( ) 四、计算题 22．直接写出得数。                                          23．用递等式计算（能简算的要简算） 798＋10570÷35                      ×2.5××4          187×99 2.5÷[（17.2﹣4.5×3.6）÷0.04]        24×（＋）      4.63×75%＋6.47×﹣0.75 24．解方程。              25．看图列式计算。 26．求比值。 105∶5       45%∶0.6      ∶18      ∶ 五、作图题 27．用阴影表示图中的25%，你有几种表示方法？画一画． 参考答案： 1．A 【分析】把六年级获奖总人数看作单位“1”，六（3）班获奖人数占30%，根据求一个数的百分之几是多少，用六年级获奖总人数乘30%，即可求出六（3）班获奖人数； 又已知六（3）班一等奖和二等奖的获奖人数比是4∶5，且没有三等奖，那么一等奖的人数占六（3）班获奖人数的，把六（3）班获奖人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出六（3）班一等奖的人数。 【详解】120×30% ＝120×0.3 ＝36（人） 36×＝16（人） 六（3）班一等奖有16人。 故答案为：A 【点睛】本题考查分数、百分数、比的综合应用，先根据百分数乘法的意义求出六（3）班获奖人数，再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义求出六（3）班一等奖的人数。 2．C 【分析】用“原价×（1－10%）×（1－10%）＝现价”，再用原价减现价即可。 【详解】150×（1－10%）×（1－10%） ＝150×90%×90% ＝121.5（元） 150－121.5＝28.5（元） 故答案为：C。 【点睛】明确前后单位“1”不一致是解答本题的关键。 3．BC 【详解】试题分析：全部完成，即完成100%，完成一半，即完成50%；据此解答即可． 解：老师今天布置的课堂作业，小明全部完成，就是完成了100%；小军完成了一半，就是完成了50%； 故选B，C． 点评：明确百分数的意义，注意百分数意义的灵活运用． 4．B 【分析】设这件商品9月的价格是1，先把这件商品9月的价格看作单位“1”，10月的价格比9月涨了30%，则10月的价格是9月的（1＋30%），单位“1”已知，用乘法求出10月的价格； 11月的价格比10月又降了30%，是把10月的价格看作单位“1”，11月的价格是10月的（1－30%）；单位“1”已知，用乘法求出11月的价格； 比较11月与9月的价格，得出结论。 【详解】设这件商品9月的价格是1。 1×（1＋30%）×（1－30%） ＝1×1.3×0.7 ＝0.91 0.91＜1，所以11月的价格和9月比是降了。 故答案为：B 【点睛】本题考查百分数乘法的应用，区分两个单位“1”的不同，明确求比一个数多或少百分之几的数是多少，用乘法计算。 5．A 【分析】假设这件衣服的原价是100元看作单位“1”，降低了10%后价格为100×（1－10%），然后又上涨了10%后价格为100×（1－10%）×（1＋10%），计算结果与100元比较。 【详解】假设这件衣服的原价是100元， 100×（1－10%）×（1＋10%） ＝100×0.9×1.1 ＝99（元） 99＜100 故答案为：A 【点睛】此题考查的是百分数的应用，解答此题应注意两次的单位“1”不同。 6．C 【分析】把这杯糖水的质量看作单位“1”，已知含糖率是10%，根据含糖率的意义可知，糖的质量占糖水质量的10%，那么水的质量占糖水质量的（1－10%）；根据比的意义写出糖与水的比，并化简比。 【详解】10%∶（1－10%） ＝0.1∶0.9 ＝（0.1×10）∶（0.9×10） ＝1∶9 糖与水的比是1∶9。 故答案为：C 【点睛】本题考查比的意义及化简比，关键是理解含糖率的意义。 7．D 【分析】都统一成小数再比较，百分数化小数，去掉百分号，将小数点向左移动两位即可；分数化小数，直接用分子÷分母。 【详解】A．7%＝0.07 B．0.07 C．百分之七写作：7%，7%＝0.07 D．＝0.7 故答案为：D 【点睛】关键是掌握百分数、分数、小数的互化方法。 8． 72 8 【分析】达标人数＝参加体育达标测试的总人数×达标率；没有达标的人数＝参加体育达标测试的总人数－达标人数；据此解答。 【详解】达标人数：80×90%＝72（人） 没有达标人数：80－72＝8（人） 【点睛】已知一个数，求这个数的百分之几是多少用乘法计算。 9．15；5；32；62.5 【分析】从0.625入手，把0.625化成分数并化简是，根据比与分数的关系＝5∶8；根据分数与除法的关系，分母由8变成24扩大了3倍，分子也乘3得15；根据分数的基本性质分子、分母都乘4就是＝；根据分数与除法的关系，＝20÷32，把0.625的小数点向右移动两位添上百分号就是62.5%。 【详解】＝0.625＝5∶8＝20÷32＝62.5% 【点睛】此题考查的目的是理解掌握百分数、小数、分数的互化方法及应用。 10． 132% 1.40 1.333... 1 11． 1 1.87 【详解】1.87=1.87；187.6%=1.876；=1.875；1≈1.888 1＞187.6%＞＞1.87 故正确答案是最大的数1，最小的数是1.87. 12．0.5，0.57 【详解】试题分析：根据题目要求，应把题中的分数、百分数、循环小数化成小数后再比较大小，最后得出最大的数和最小的数各是什么． 解：≈0.5714； 0.5≈0.5778； 57.75%=0.5775； 因为：0.5778＞0.5775＞0.5714＞0.57； 所以：0.5＞57.75%＞＞0.57； 故答案为0.5，0.57． 点评：在有分数、小数和百分数的数中找出最大和最小的数，应先化成相同类型的一种数，通过比较大小找出最大和最小的数． 13． 百分之三十二点五 106% 【分析】百分数的读法和一般分数的读法相同，都是先读分母再读分子，即读作“百分之几”。百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”。由此解决问题。 【详解】32.5%读作：百分之三十二点五；百分之一百零六写作：106%。 14．橘子 【分析】把梨的重量看作单位“1”，则苹果为：1×80%＝0.8，梨的质量与橘子质量的比是3∶4，则橘子的质量是梨的，然后把这几个数进行比较，进而得出结论。 【详解】苹果为：1×80%＝0.8 橘子的质量是梨的 0.8＜1＜ 所以这三种水果中，橘子最重。 15．× 16．× 【分析】先依据“速度＝路程÷时间”求出两人的速度差，然后用速度差除以乙的速度即可。 【详解】（60÷12－60÷15）÷（60÷12） ＝（5－4）÷5 ＝20% 故答案：× 【点睛】此题考查的是此题主要考查行程问题，，解决本题关键是先根据速度、路程、时间三者之间的关系，把速度求出来，再根据求一个是另一个数百分之几的方法求解。 17．× 【分析】用盐的质量÷盐水的质量×100%，求出盐占盐水的百分之几，与15%比较即可。 【详解】15÷（15＋100）×100% ＝15÷115×100% ≈13% 13%≠15% 故答案为：× 【点睛】本题主要考查求一个数是另一个数的百分之几（百分率）的问题，解题时注意盐水的质量＝盐的质量＋水的质量。 18．× 【分析】把A地到B地的距离看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别用1÷5和1÷4即可求出甲和乙的速度，然后根据求一个数比另一个数多百分之几，用相差数除以另一个数再乘100%，用乙的速度减去甲的速度的差，除以甲的速度再乘100%，即可求出乙比甲快百分之几。 【详解】1÷5＝ 1÷4＝ （－）÷×100% ＝÷×100% ＝×5×100% ＝25% 从A地到B地，甲要行5小时到达，乙要行4小时到达，乙比甲快25%。原题说法错误。 故答案为：× 19．× 【详解】【分析】增长率是指增加的部分占原来的百分数，如果增加的部分大于原来的部分，那么增长率就会大于100%； 发芽率是指发芽的种子数占种子总数的百分比，所以发芽率最大就是100%，不会大于100%； 出油率是指花出油的重量占花生米的总重量的百分比，油的重量一定会比花生米的总重量小，所以出油率要小于100%。 【解答】解：根据增长率的含义可知：如果增加的部分大于原来的部分，那么增长率就会大于100%； 而发芽率、出油率都不会大于100%，所以本题说法错误； 故答案为：×。 【点评】本题关键是理解增长率、成活率、发芽率、出油率、达标率的含义，找出部分数量与总数量之间的关系，进而求解。 20．× 21．× 22．3.1；4；0.24；；0；   ；0.2；40；1.8； 23．1100；30；18513 0.1；20；7.575 【分析】（1）（4）根据四则混合运算的运算顺序计算即可：先算乘除，再算加减，有括号的要先算括号里面的； （2）可根据乘法交换律及结合律计算； （3）可将99变为100﹣1后根据乘法分配律计算； （5）（6）可根据乘法分配律计算。 【详解】（1）798＋10570÷35 ＝798＋302 ＝1100 （2）×2.5××4 ＝（×）×（2.5×4） ＝3×10， ＝30 （3）187×99 ＝187×（100﹣1） ＝187×100﹣187×1 ＝18700﹣187 ＝18513 （4）2.5÷[（17.2﹣4.5×3.6）÷0.04] ＝2.5÷[（17.2﹣16.2）÷0.04] ＝2.5÷[1÷0.04] ＝2.5÷25 ＝0.1 （5）24×（＋） ＝24×﹣24×＋24× ＝16﹣6＋10 ＝20 （6）4.63×75%＋6.47×﹣0.75 ＝4.63×0.75＋6.47×0.75﹣0.75 ＝（4.63＋6.47﹣1）×0.75 ＝10.1×0.75 ＝7.575 【点睛】当算式中同时含有分数、小数与百分数时，一般要先将式中数据化为统一的数据形式后再进行计算。 24．； 【分析】（1）利用等式的性质2，方程左右两边先同时乘，再同时除以，解出方程 （2）先合并左边含有共同未知数的算式，再利用等式的性质2，方程左右两边同时除以1.2，解出方程。 【详解】 解： 解： 25．55人 【分析】把男生人数看作单位“1”，女生人数占男生的（1－20%），根据“量÷对应的百分率”即可求得男生的人数。 【详解】44÷（1－20%） ＝44÷0.8 ＝55（人） 所以，男生有55人。 26．21；0.75；； 【分析】用比的前项除以后项求商，所得的商即为比值。据此进行计算即可。 【详解】105∶5 ＝105÷5 ＝21 45%∶0.6 ＝0.45÷0.6 ＝0.75 ∶18 ＝÷18 ＝× ＝ ∶ ＝÷ ＝× ＝ 27．画图如下： 学科网（北京）股份有限公司 $$