第一章集合与常用逻辑用语章末小结综合测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章章末小结 【综合测试】 （限时：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，1，，则集合，，中元素的个数是（ ）. A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 2. 已知集合，，1，，则（ ）. A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若，均为实数，则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，2，3，4，5，6，，是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则.集合的个数为（ ）. A. 8 B. 16 C. 20 D. 24 6. 定义集合运算.若集合，，则（ ）. A. B. C. D. 7. 对任意的实数,若表示不超过的最大整数,则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 当一个非空数集满足：如果,，那么,,，且，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合，}是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（ ）. A. ①②④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ）. A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若集合，则 B. 若集合，，，，则 C. “”是“”的充要条件 D. 已知，，则， 11. 给定集合，若对于任意的，，有，且，则称集合为闭集合.以下结论正确的是（ ）. A. 集合为闭集合 B. 集合，，0，2，为闭集合 C. 集合，}为闭集合 D. 若集合，为闭集合，则为闭集合 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为      ． 13. 若“，”是假命题，则实数的取值范围为    ． 14. 给出下列命题： ，；，；，；，；，；，． 其中所有真命题的序号是    ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16~17题每题15分，第18~19题每题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在①一次函数的图象过，两点;②关于的不等式的解集为;③集合，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：已知  ，求关于的方程的解． 16. 设或，,． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 设集合，，，，定义集合运算：，其中，． （1）试举出两组集合，，分别计算. （2）对上述集合，，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ （3）举例说明与之间的关系． 19. 设命题，，． （1）若，判断是的充分条件还是必要条件； （2）若是的  ，求的取值集合． 从①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并解答． 参考答案 1.C　【解析】根据题意,B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)}, 所以集合B中共有6个元素. 2.B　【解析】由A={x|x≥0},B={0,1,2},可得B⫋A, 故A错误,B正确; A∪B={x|x≥0}∪{0,1,2}={x|x≥0}=A≠B,故C错误; A∩B={x|x≥0}∩{0,1,2}={0,1,2}=B≠⌀,故D错误. 3.C　【解析】“∃x∈R,x2+x+1<0”的否定为“∀x∈R,x2+x+1≥0”. 4.B　【解析】若a2>b2,则|a|>|b|,即a>|b|或a<-|b|,故充分性不成立; 若a>|b|,则a2>b2,故必要性成立. 故“a2>b2”是“a>|b|”的必要不充分条件. 5.B　【解析】由题意知,当2∈A时,1∉A,4∉A,当2∉A时,{1,4}⊆A, 当3∈A时,6∉A,当3∉A时,6∈A,元素5与7没有限制, 则集合A的个数等于{2,3,5,7}的子集个数,集合{2,3,5,7}有24=16个子集,故集合A的个数为16. 6.D　【解析】因为A=B={2,3}, 所以=2或=3, 所以x=4或x=6. 因为=2或=3, 所以y=1或y=, 所以A⊕B=, 代入y=-x+验证, 故(A⊕B)∩C=. 7.B　【解析】当x=0.9,y=1时,满足-1<x-y<1,但[x]=0,[y]=1,此时[x]≠[y],所以-1<x-y<1推不出[x]=[y].反之,若[x]=[y]=n,则n≤x<n+1,n≤y<n+1⇒-1<x-y<1,所以[x]=[y]⇒-1<x-y<1.综上可知,“-1<x-y<1”是“[x]=[y]”的必要不充分条件. 8.A　【解析】当a=b,且a,b∈G时,a-b∈G, 所以0是任何数域的元素,故①正确; 当a=b≠0,且a,b∈G时,由数域的定义知=1∈G, 所以1+1=2∈G,1+2=3∈G,…,1+2023=2024∈G,故②正确; 当a=2,b=4时,=∉P,故③错误; 如果a,b∈Q,那么a+b,a-b,ab∈Q,且当b≠0时,∈Q,所以有理数集是一个数域,故④正确. 9.ABD　【解析】由集合P={x|1<x<4},Q={x|2<x<3},得Q⊆P,故选项A正确,选项C错误. 所以P∩Q={x|2<x<3},故选项B正确. P∪Q={x|1<x<4},故选项D正确.故选ABD. 10.AB　【解析】根据交集的定义,对任意的x∈M,一定有x∈M∪N,故A为真命题; Q={x|x=4k,k∈Z}={x|x=2×(2k),k∈Z},其中2k为偶数,故Q⊆P,故B为真命题; 若c=0,由ac2=bc2不能得出a=b,故C为假命题; p:∀x∈R,x>0的否定为􀱑p:∃x∈R,x≤0,故D为假命题. 11.AC　【解析】按照闭集合的定义,0+0=0,0-0=0,0∈A,故A正确; 当a=-4,b=-2时,a+b=(-4)+(-2)=-6∉A.故A={-4,-2,0,2,4}不是闭集合.故B错误; 由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故A={n|n=3k,k∈Z}是闭集合.故C正确; 假设A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=5k,k∈Z},则A1∪A2={n|n=3k或n=5k,k∈Z}.不妨取3∈A1,5∈A2,但是3+5=8∉A1∪A2,则A1∪A2不是闭集合.故D错误. 12.{x|-1<x<0或1≤x≤2}　【解析】因为A={x|0≤x≤2},B={x|-1<x<1}, 所以A∪B={x|-1<x≤2},A∩B={x|0≤x<1}. 图中阴影部分表示的集合为(A∪B)(A∩B)={x|-1<x<0或1≤x≤2}. 13.{a|a<-1}　【解析】∵“∃x∈R,x2-2x-a=0”是假命题,∴其否定“∀x∈R,x2-2x-a≠0”是真命题,∴Δ=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a<0,解得a<-1. 14.①③　【解析】对于①,因为∀x∈R,x2≥0,所以∀x∈R,x2+1>0,所以①为真命题; 对于②,当x=0时,02<1,所以②为假命题; 对于③,∃x=0∈Z,x3<1,所以③为真命题; 对于④,x2=3⇒x=±∉Q,所以④为假命题; 对于⑤,当x=0时,x2-3x+2≠0,所以⑤为假命题; 对于⑥,因为∀x∈R,x2≥0,所以∀x∈R,x2+1>0,所以不存在实数x,使x2+1=0,所以⑥为假命题. 所以①③为真命题. 15.【解析】若选①,由题意得解得将a=2代入所求方程并整理得(x-2)(2x+1)=0,解得x=2或x=-. 若选②,因为不等式1<ax+b≤3的解集为{x|3<x≤4},所以解得将a=2代入所求方程并整理得(x-2)(2x+1)=0,解得x=2或x=-. 若选③,由1=a2-2a+2,解得a=1,不符合题意;若1=a-1,解得a=2,则a2-2a+2=2,符合题意.将a=2代入所求方程并整理得(x-2)(2x+1)=0,解得x=2或x=-. 16.【解析】(1)∵A∪B=R,∴解得2≤a≤3,故实数a的取值范围是{a|2≤a≤3}. (2)依题意知,B⫋A,且B≠⌀. ∴或解得0<a≤或a≥6. 故实数a的取值范围是. 17.【解析】(1)不妨设M={1,2},N={3,4}, 则M·N={3,4,6,8}. 或设M={-1,1},N={3,-3}, 则M·N={-3,3}等. (2)若M={1,2},N={3,4},则N·M={3,6,4,8}; 若M={-1,1},N={3,-3},则N·M={-3,3}. 由(1)知,N·M=M·N. 由此猜测,对任意集合M={a,b},N={c,d},总有M·N=N·M. 证明如下: 对∀x∈M·N,有x=mn,其中m∈M,n∈N, 又x=mn=nm,则x∈N·M.于是M·N⊆N·M. 对∀x∈N·M,有x=nm,其中n∈N,m∈M, 又x=nm=mn,则x∈M·N,于是N·M⊆M·N. 因此M·N=N·M. (3)设A={-1,1},B={3,-3},C={2,4}, 则A·B={-3,3},所以(A·B)·C={-6,6,-12,12}, 又B·C={6,12,-6,-12},所以A·(B·C)={-6,-12,6,12}. 因此(A·B)·C=A·(B·C). 18.【解析】充分性:(+)(+)-(a1b1+a2b2)2 =+++--2a1b1a2b2- =+-2a1b1a2b2 =(a1b2-a2b1)2≥0, 当且仅当a1b2-a2b1=0时取等号, 所以当a1b2-a2b1=0时,(+)(+)≥(a1b1+a2b2)2对任意实数a1,a2,b1,b2等号成立. 必要性:当(+)(+)≥(a1b1+a2b2)2对任意实数a1,a2,b1,b2等号成立时,a1b2-a2b1=0. 所以(+)(+)≥(a1b1+a2b2)2对任意实数a1,a2,b1,b2等号成立的充要条件是a1b2-a2b1=0. 19.【解析】(1)记集合P={x|-3<x<1},Q={x|x2+(m-1)x-m<0,m≠-1}={x|(x+m)(x-1)<0,m≠-1}. 当m=4时,Q={x|x2+3x-4<0}={x|-4<x<1}. ∵P⊆Q,∴p是q的充分条件. (2)若选①,􀱑p是􀱑q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,则Q⫋P. ∵P={x|-3<x<1}, ∴①当m<-1时,Q={x|1<x<-m},Q⫋P不成立; ②当m>-1时,Q={x|-m<x<1},由Q⫋P,得{m|-1<m<3}. 综上所述,m的取值范围是{m|-1<m<3}. 若选②,􀱑p是􀱑q的必要不充分条件,等价于p是q的充分不必要条件,则P⫋Q. ①当m<-1时,Q={x|1<x<-m},P⫋Q不成立; ②当m>-1时,Q={x|-m<x<1},由P⫋Q,得{m|m>3}. 综上所述,m的取值集合为{m|m>3}. 课时基础练第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$