1.4 充分条件与必要条件 课后练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 【课后精练】 （限时：30分钟） 基础训练 1. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点的积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 2. （多选题）下列说法正确的是（ ）. A. 是的必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是且的充要条件 D. 是 的必要不充分条件 3. 若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. （多选题）给出下列四个选项，其中能成为的充分条件是（ ）. A. B. C. D. 5. （多选题）在下列所示的电路图中，说法正确的是（ ）. A. 如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件 B. 如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 C. 如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件 D. 如图④所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 6. 已知的三边长为，，，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 能力拔高 7. （多选题）下列各选项中，是的充要条件的是（ ）. A. , B. ， C. 两个三角形相似，两个三角形全等 D. ， 8. 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“”是“”的    ； （2）“，”是“”的    ； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的    . 9. 已知，，其中，均为实数.证明：对于任意的，均有成立的充要条件是． 思维拓展 10. 在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4.给出下列四个结论：；；；④整数，属于同一“类”的充要条件是“”．其中正确的结论个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知集合，非空集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 参考答案 1.A　【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里,但要至千里必须积跬步,故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件.故选A. 2.BD　【解析】A中,当x2≠1时,一定有x≠1,但当x≠1时,不一定能推出x2≠1,故x2≠1是x≠1的充分不必要条件,故A不正确;B中,x>5能推出x>4,但x>4不能推出x>5,故x>5是x>4的充分不必要条件,故B正确;C中,由xy=0不能推出x=0且y=0,故C不正确;D中,当A={1},B={2}时,A∩B=⌀,但A≠⌀,当A=⌀时,A∩B=⌀,故D正确.故选BD. 3.A　【解析】若p是q的必要不充分条件,则q⇒p,p⇒/ q,p是r的充分不必要条件,则p⇒r,r⇒/ p,则有q⇒r,r⇒/ q,则q是r的充分不必要条件,故选A. 4.AD　【解析】若xt2>yt2,则t2>0,∴x>y,充分性成立,A正确. 若xt>yt,则当t<0时,x<y,充分性不成立,B错误. 若x2>y2,则|x|>|y|,∴x>y>0或x<y<0,充分性不成立,C错误. 若0<<,则x>y>0,充分性成立,D正确. 5.ABC　【解析】对于A,由图①可得,开关L1闭合,灯泡M亮;而灯泡M亮时,开关L1不一定闭合,所以开关L1闭合是灯泡M亮的充分不必要条件,故A正确. 对于B,由图②可得,开关L1闭合,灯泡M不一定亮;而灯泡M亮时,开关L1必须闭合,所以开关L1闭合是灯泡M亮的必要不充分条件,故B正确. 对于C,由图③可得,开关L1闭合,灯泡M亮;而灯泡M亮时,开关L1必须闭合,所以开关L1闭合是灯泡M亮的充要条件,故C正确. 对于D,由图④可得,开关L1闭合,灯泡M不一定亮;而灯泡M亮时,开关L1不一定闭合,所以开关L1闭合是灯泡M亮的既不充分也不必要条件,故D错误. 6.【解析】充分性:当a=2时,b2+c2-2(b+c)=bc-4可化为b2+c2-a(b+c)=bc-a2, 即a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 整理得(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,所以a-b=b-c=a-c=0, 即a=b=c,△ABC为等边三角形,即充分性成立. 必要性:因为△ABC为等边三角形,且a=2,所以a=b=c=2, 则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0,所以b2+c2-2(b+c)=bc-4,即必要性成立. 故△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4. 7.AD　【解析】若a2+b2=0,则a=0且b=0,得|a|+|b|=0,则p⇒q.若|a|+|b|=0,则a=0且b=0,得a2+b2=0,则q⇒p.故p是q的充要条件,故A正确. 若x-3=0,则x=3,得(x-2)(x-3)=0,则p⇒q.若(x-2)(x-3)=0,则x=3或x=2,由q不能得到p.故p是q的充分不必要条件,故B错误. 由两个三角形相似不能得到两个三角形全等,而由两个三角形全等可以得到两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件,故C错误. 由A∩B=A,可得A⊆B,则p⇒q.由A⊆B,可得A∩B=A,则q⇒p.故p是q的充要条件,故D正确. 8.(1)充要条件　(2)既不充分也不必要条件　(3)充分不必要条件　【解析】(1)若a-1>0,则a>1,充分性成立; 若a>1,则a-1>0,必要性成立. 故“a-1>0”是“a>1”的充要条件. (2)当a=0.1,b=0.2时,满足a>0,b>0,但a+b=0.3<1,所以充分性不成立; 当a=3,b=-1时,满足a+b=2>1,但此时b<0,即a+b>1推不出a>0,b>0,则必要性不成立. 故“a>0,b>0”是“a+b>1”的既不充分也不必要条件. (3)若两个角是对顶角,则两个角必然相等,充分性成立; 当两个角相等时,两个角不一定是对顶角,必要性不成立. 故“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分不必要条件. 9.【解析】因为函数y=a2x2-2ax+b的图象的对称轴方程为x=,且a≥1,所以0<≤1, 故当x=时,函数ymin=a2·-2a·+b=b-1. 先证必要性:对于任意的x∈{x|0≤x≤1},均有y≥1,即b-1≥1,所以b≥2. 再证充分性:因为b≥2,当x=时,函数ymin=a2·-2a·+b=b-1≥1. 故对于任意x∈{x|0≤x≤1},y=a2x2-2ax+b≥1,即y≥1成立的充要条件是b≥2. 10.B　【解析】2025=405×5+0∈[0],①错误. -2=-1×5+3∈[3],②错误. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],③正确. 每个整数除以5后的余数只有0,1,2,3,4,没有其他余数,故原命题成立. 整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”,④正确. 证明④:(必要性)∵a,b∈[m],m=0,1,2,3,4, 不妨设a=5n1+m,n1∈Z,b=5n2+m,n2∈Z, ∴a-b=5(n1-n2)∈[0]. (充分性)∵a-b∈[0],∴a-b=5p,p∈Z, 即a,b除以5后余数相同,∴a,b属于同一“类”. 11.【解析】(1)P={x|-2≤x≤10},又非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}, 由x∈P是x∈S的必要条件知,S⊆P, 则 解得0≤m≤3, 即实数m的取值范围是{m|0≤m≤3}. (2)∵x∈RP是x∈RS的必要不充分条件,即x∈S是x∈P的必要不充分条件, ∴x∈P⇒x∈S且x∈S⇒/ x∈P, ∴{x|-2≤x≤10}⫋{x|1-m≤x≤1+m}, ∴或 解得m≥9, 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 课时基础练第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$