4.4探索三角形相似的条件 闯关练习卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件闯关练习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一.选择题(共8小题) 1.(2024秋•普陀区期中)已知在 ABC中,点D、E分别在边AB和AC上,联结CD、BE交于点F,下列条件中,不一定能得到 ADE和 ABC相似的是( ) A. B. C.∠BDE=∠BFC D.S BDF=S CEF 2.(2024秋•江都区校级月考)下列各条件中,能判断 ABC∽ A′B′C′的是( ) A.AB=A′B′,∠A=∠A′ B.,∠B=∠B′ C.,∠A+∠C=∠A′+∠C′ D.∠A=40 ,∠B=80 ,∠A′=80 ,∠B′=70 3.(2024•青羊区模拟)如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与 ABC相似的是( ) A. B. C. D. 4.(2023秋•滨城区期末)如图,点D,E分别在 ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③,④,使 ADE与 ACB一定相似的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 5.(2024秋•朝阳区期中)如图,在 ABC中,∠A=71 ,AB=6,AC=4.将 ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) A. B. C. D. 6.(2024秋•蜀山区校级期中)如图,在锐角 ABC中,AB、AC上的高CE、BF交于点D,连接EF,图中共有相似三角形( ) A.8对 B.7对 C.6对 D.5对 7.(2024秋•闵行区期中)如图,在正方形ABCD中,点E,M是边AD,CD上的点,BE,BM与AC交于点F,G.如果∠EBM=45 ,那么下列结论中,错误的是( ) A. AEF∽ CBF B. CMG∽ BFG C. ABG∽ CFB D. ABF∽ CBG 8.(2024秋•鹿城区校级月考)如图,下列条件不能判定 ABC∽ ADE的是( ) A.∠1=∠2,∠B=∠D B. C.∠1=∠2, D.∠1=∠2, 二.填空题(共6小题) 9.(2024秋•房山区期中)如图,F是 ABC的边AB上的一点,连接CF,要使 CBF∽ ABC,还需要添加一个条件是 .(写出一个即可) 10.(2024•沭阳县一模)如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=3,BC=4,点P在边BC上(不与B,C重合),过点P作直线截 ABC,使截得的新三角形与原 ABC相似,当截得新三角形与原 ABC相似的个数仅为3时,则PC的取值范围为 . 11.(2024秋•浦东新区校级月考)如图, ABC中,AD⊥AB,∠EAC=90 ,点D是EC边上的中点,图中与 ABC相似三角形是 . 12.(2024秋•新华区校级月考)如图,在 ABC中,AB=8,AC=6,点D在AC上,且AD=2,如果要在AB上找一点E,使 ADE与 ABC相似,则AE的长为 . 13.(2024秋•闵行区校级月考)如图,方格纸中每个小正方形的边长为1, ABC的顶点都在格点上,点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是 ABC边上的7个格点,请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与 ABC相似,符合题意的三角形共有 个. 14.(2024•绥化模拟)如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=10cm,BC=8cm.点P从点C出发,以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动,当一个点到终点时,另一个点随之停止.经过 秒后, PCQ与 ABC相似. 三.解答题(共6小题) 15.(2024秋•单县月考)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证: ABE∽ ECF. 16.(2024秋•临渭区期中)如图,在 ABC中,∠B=2∠C,利用尺规作图法在AC上求作一点D,连接BD,使得 ABD∽ ACB. 17.(2024秋•渭南期中)如图,在 ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,求证: AEF∽ BEC. 18.(2024秋•延庆区期中)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点F,点E是BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.求证: ABE∽ ACD. 19.(2024秋•禅城区校级月考)如图,在 ABC中,∠B=90 ,AB=8cm,BC=12cm,点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动,如果点P,Q分别从A,B两点同时出发,3秒后停止运动,设运动时间为t(0<t≤3)秒. (1)当t为何值时, PBQ的面积为12cm2? (2)是否存在某一时间t,使得 PBQ和 ABC相似?若存在,请求出此时t的值,若不存在,请说明理由. 20.(2024秋•雁塔区校级月考)如图,在菱形ABCD中,∠C=60 ,AB=4,点E是边BC的中点,连接DE、AE、BD. (1)求DE的长;(结果保留根号) (2)点F为边CD上的一点,连接AF,交DE于点G,连接EF,AF⊥EF.求证: AGE∽ DGF. 4.4探索三角形相似的条件闯关练习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一.选择题(共8小题) 1.(2024秋•普陀区期中)已知在 ABC中,点D、E分别在边AB和AC上,联结CD、BE交于点F,下列条件中,不一定能得到 ADE和 ABC相似的是( ) A. B. C.∠BDE=∠BFC D.S BDF=S CEF 【解答】解:如图, A、∵,∠DFE=∠BFC, ∴ DFE∽ BFC, ∴∠FDE=∠CBF, ∵,∠DFB=∠EFC, ∴ DFB∽ EFC, ∴∠BDF=∠BEC, ∵∠ADE+∠BDF+∠EDF=180 ,∠BCE+∠BEC+∠CBF=180 , ∴∠ADC=∠BCA, 又∵∠A=∠A, ∴ ADE∽ ACB, 故A不符合题意; B、∵,∠DFE=∠BFC, ∴ DFE∽ CFB, ∴∠EDF=∠FCB, ∴DE∥BC, ∴ ADE∽ ABC, 故B不符合题意; C、由∠BDE=∠BFC不一定能得到 ADE和 ABC相似,故C符合题意; D、∵S BDF=S CEF, ∴S BDF+S BCF=S CEF+S BCF, ∴S BDC=S BEC, ∴点D到BC的距离等于点E到BC的距离, ∴DE∥BC, ∴ ADE∽ ABC, 故D不符合题意. 故选:C. 2.(2024秋•江都区校级月考)下列各条件中,能判断 ABC∽ A′B′C′的是( ) A.AB=A′B′,∠A=∠A′ B.,∠B=∠B′ C.,∠A+∠C=∠A′+∠C′ D.∠A=40 ,∠B=80 ,∠A′=80 ,∠B′=70 【解答】解:A、∵AB=A′B′,∠A=∠A′,只有一角一边, ∴无法判断两个三角形相似,故本选项错误,不符合题意; B、∵,∠B=∠B′,∠B′不是A′B′与A′C′的夹角, ∴无法判断两个三角形相似,故本选项错误,不符合题意; C、由∠A+∠C=∠A′+∠C′,可得∠B=∠B′, 再由,得, 两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似, 可判断 ABC∽ A′B′C′,故本选项正确,符合题意; D、由∠A=40 ,∠B=80 , 可得∠C=60 , 由∠A′=80 ,∠B′=70 , 可得∠C′=30 , 只有∠B=∠A′=80 , 无法得 ABC∽ A′B′C′,故本选项错误,不符合题意. 故选:C. 3.(2024•青羊区模拟)如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与 ABC相似的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:根据题意得:AB==,AC=2,BC==, ∴BC:AC:AB=1::, A、三边之比为1::,图中的三角形(阴影部分)与 ABC相似; B、三边之比::3,图中的三角形(阴影部分)与 ABC不相似; C、三边之比为1::2,图中的三角形(阴影部分)与 ABC不相似; D、三边之比为2::,图中的三角形(阴影部分)与 ABC不相似. 故选:A. 4.(2023秋•滨城区期末)如图,点D,E分别在 ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③,④,使 ADE与 ACB一定相似的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【解答】解:∠AED=∠B或∠ADE=∠C,而∠DAE=∠BAC,由两角对应相等的两个三角形相似,判定 ADE∽ ACB,故①②符合题意; ③,两三角形两边对应成比例,但夹角∠AED和∠B不一定相等, ADE与 ACB不一定相似,故③不符合题意; ④,而∠DAE=∠CAB,由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,判定 ADE∽ ACB,过④符合题意. 故选:B. 5.(2024秋•朝阳区期中)如图,在 ABC中,∠A=71 ,AB=6,AC=4.将 ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A、根据图意知,利用“平行线法”可以推知两三角形相似,不符合题意; B、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,不符合题意; C、两三角形的对应边不一定成比例,故两三角形不相似,符合题意; D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,不符合题意; 故选:C. 6.(2024秋•蜀山区校级期中)如图,在锐角 ABC中,AB、AC上的高CE、BF交于点D,连接EF,图中共有相似三角形( ) A.8对 B.7对 C.6对 D.5对 【解答】解:∵BF⊥AC,CE⊥AB, ∴∠BEC=∠AEC=∠BFC=∠AFB=90 , ∴∠A+∠ABF=∠A+∠ACE, ∴∠ABF=∠ACE, ∴ ABF∽ ACE∽ BDE∽ CDF,即有6对相似三角形, ∴=,=. 又∵∠A=∠A, ∴ AFE∽ ABC, ∵=,∠FDE=∠BDC, ∴ BDC∽ EDF, 故选:A. 7.(2024秋•闵行区期中)如图,在正方形ABCD中,点E,M是边AD,CD上的点,BE,BM与AC交于点F,G.如果∠EBM=45 ,那么下列结论中,错误的是( ) A. AEF∽ CBF B. CMG∽ BFG C. ABG∽ CFB D. ABF∽ CBG 【解答】解:在正方形ABCD中,点E,M是边AD,CD上的点,∠EBM=45 , ∴AB∥CD,AD∥BC,∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45 , 即∠EAF=∠BCF=45 , ∵∠AFE=∠CFB, ∴ AEF∽ CBF, 故A正确,该选项不合题意; ∵∠MCG=∠FBG=45 ,∠MGC=∠BGF, ∴ CMG∽ BFG, 故B正确,该选项不合题意; ∴∠CMG=∠CFB, ∵AB∥CD, ∴∠CMG=∠ABG, ∴∠CFB=∠ABG, 又∵∠CAB=∠BCF=45 , ∴ ABG∽ CFB, 故C正确,该选项不合题意; ∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45 , ∴∠ABF+∠CBG=45 , ∴∠ABF≠∠CBG, ∴ ABF与 CBG不相似, 故D错误,该选项合题意, 故选:D. 8.(2024秋•鹿城区校级月考)如图,下列条件不能判定 ABC∽ ADE的是( ) A.∠1=∠2,∠B=∠D B. C.∠1=∠2, D.∠1=∠2, 【解答】解:若∠1=∠2, ∴∠BAC=∠DAE, 又∵∠B=∠D, ∴ ABC∽ ADE,故选项A不符合题意; 若, ∴ ABC∽ ADE,故选项B不符合题意; 若∠1=∠2,,不能证明 ABC∽ ADE,故选项C符合题意; 若∠1=∠2, ∴∠BAC=∠DAE, 又∵, ∴ ABC∽ ADE,故选项D不符合题意; 故选:C. 二.填空题(共6小题) 9.(2024秋•房山区期中)如图,F是 ABC的边AB上的一点,连接CF,要使 CBF∽ ABC,还需要添加一个条件是 ∠BCF=∠BAC(答案不唯一) .(写出一个即可) 【解答】解:可添加条件∠BCF=∠BAC. ∵∠B=∠B,∠B=∠ACD, ∴ CBF∽ ABC. 故答案为:∠BCF=∠BAC(答案不唯一). 10.(2024•沭阳县一模)如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=3,BC=4,点P在边BC上(不与B,C重合),过点P作直线截 ABC,使截得的新三角形与原 ABC相似,当截得新三角形与原 ABC相似的个数仅为3时,则PC的取值范围为 <PC<4 . 【解答】解:如图,过点A作∠CAP=∠B, 则 PCA∽ ACB, ∴, ∵AC=3,BC=4, ∴, 解得PC=, ∴当截得新三角形与原 ABC相似的个数仅为3时,<PC<4. 故答案为:<PC<4. 11.(2024秋•浦东新区校级月考)如图, ABC中,AD⊥AB,∠EAC=90 ,点D是EC边上的中点,图中与 ABC相似三角形是 EBA . 【解答】解: ABC中,AD⊥AB,∠EAC=90 ,点D是EC边上的中点, ∴AD=DE=CD,∠AEC+∠C=90 ,∠BAD=∠CAE=90 , ∴∠C=∠CAD, ∴∠BAD﹣∠DAE=∠CAE﹣∠DAE, ∴∠BAE=∠CAD, ∴∠BAE=∠CAD=∠C, 又∵∠B=∠B, ∴ EBA∽ ABC, 故答案为: EBA. 12.(2024秋•新华区校级月考)如图,在 ABC中,AB=8,AC=6,点D在AC上,且AD=2,如果要在AB上找一点E,使 ADE与 ABC相似,则AE的长为 或 . 【解答】解:∵∠A=∠A, 当AE=时,满足=, 此时 ADE与 ABC相似. ∵∠A=∠A, 当AE=时,满足=, 此时 ADE与 ABC相似. ∴当AE=或时. ADE与 ABC相似. 故答案为:或. 13.(2024秋•闵行区校级月考)如图,方格纸中每个小正方形的边长为1, ABC的顶点都在格点上,点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是 ABC边上的7个格点,请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与 ABC相似,符合题意的三角形共有 5 个. 【解答】解:设网格的边长为1. 则AC=2,AB=4,BC==2. 连接P2P5, AP5=,AP2=,P2P5=. ∵==, ∴ ACB∽ AP5P2. 同理可找到 CP4P5, ACP1, AP2P4, AP4P5和 ACB相似,共5个. 故答案为:5. 14.(2024•绥化模拟)如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=10cm,BC=8cm.点P从点C出发,以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动,当一个点到终点时,另一个点随之停止.经过 或 秒后, PCQ与 ABC相似. 【解答】解:①设经过x秒后 PCQ∽ ACB, ∴, ∴, 解得; ②设经过x秒后 PCQ∽ BCA, ∴, ∴, 解得, ∴经过秒或秒, PCQ与 ABC相似. 故答案为:或. 三.解答题(共6小题) 15.(2024秋•单县月考)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证: ABE∽ ECF. 【解答】证明:∵BE=3,EC=6, ∴BC=9, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CB=9,∠B=∠C=90 , ∵,, ∴, 又∵∠B=∠C=90 , ∴ ABE∽ ECF. 16.(2024秋•临渭区期中)如图,在 ABC中,∠B=2∠C,利用尺规作图法在AC上求作一点D,连接BD,使得 ABD∽ ACB. 【解答】解:如图,作∠ABC的平分线交AC于点D,点D即为所求;理由如下: ∵∠ABC=2∠ABD,∠ABC=2∠C, ∴∠ABD=∠C, 又∵∠A=∠A, ∴ ABD∽ ACB. 即点D即为所求. 17.(2024秋•渭南期中)如图,在 ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,求证: AEF∽ BEC. 【解答】证明:在 ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F, ∴∠ADB=∠AEF=90 , 又∵∠BFD=∠AFE, ∴∠FBD=∠FAC, ∴ AEF∽ BEC. 18.(2024秋•延庆区期中)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点F,点E是BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.求证: ABE∽ ACD. 【解答】证明:∵∠BAC=∠BDC, ∴∠AFD﹣∠BAC=∠AFD﹣∠BDC, ∵∠ABE=∠AFD﹣∠BAC,∠ACD=∠AFD﹣∠BDC, ∴∠ABE=∠ACD, ∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE, ∴∠BAE=∠CAD, ∴ ABE∽ ACD. 19.(2024秋•禅城区校级月考)如图,在 ABC中,∠B=90 ,AB=8cm,BC=12cm,点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动,如果点P,Q分别从A,B两点同时出发,3秒后停止运动,设运动时间为t(0<t≤3)秒. (1)当t为何值时, PBQ的面积为12cm2? (2)是否存在某一时间t,使得 PBQ和 ABC相似?若存在,请求出此时t的值,若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)由题意BQ=4t cm,PB=(8﹣2t)cm. =12, 解得:t=1或t=3, ∴当t=1s或t=3s时, PBQ的面积等于12cm2. (2)设在开始运动后第t秒, BPQ与 BAC相似,由题意得:AP=2tcm,BP=(8﹣2t)cm,BQ=4t cm, 分两种情况考虑:当∠BPQ=∠C,∠B=∠B时, PBQ∽ CBA, ∴,即, 解得:t=1, ∴当t=1秒时, BPQ与 BAC相似; 当∠BPQ=∠A,∠B=∠B时, BPQ∽ BAC, ∴,即, 解得:, 当秒时, BPQ与 BAC相似. 综上,当 秒或1秒时, BPQ与 BAC相似. 20.(2024秋•雁塔区校级月考)如图,在菱形ABCD中,∠C=60 ,AB=4,点E是边BC的中点,连接DE、AE、BD. (1)求DE的长;(结果保留根号) (2)点F为边CD上的一点,连接AF,交DE于点G,连接EF,AF⊥EF.求证: AGE∽ DGF. 【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形, ∴CB=CD, ∵∠C=60 , ∴ CDB是等边三角形, ∴DB=DC=BC=AB=4, ∵BE=EC, ∴DE⊥BC, ∴. (2)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC, ∵DE⊥BC,AF⊥EF ∴∠DEC=90 ,∠AFE=90 ∴∠ADG=∠DEC=∠ADG=∠GFE=90 , 又∵∠AGD=∠EGF, ∴ AGD∽ EGF, ∴, ∴, ∵∠AGE=∠DGF, ∴ AGE∽ DGF. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$