精品解析：福建省莆田市涵江区莆田锦江中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

2024-2025学年高二上学期数学期中考试卷 出卷人：林佳佳 审核人：蔡文龙 一、单选题（8*5=40分） 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 36 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】因为为等比数列，故，故， 而，故， 所以，故（同号，负值舍去）， 故选：D 2. 在等差数列中，已知，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 3. 已知分别是直线与上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得的最小值即为两平行直线与的距离，代公式计算可得． 【详解】， 直线与平行， 的最小值，即为两平行直线与的距离， 化直线方程为， 由平行线间的距离公式可得 故选：B． 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】C 【解析】 【分析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗， 由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗. 故选：C. 5. 已知点，到直线的距离相等，则（ ） A. 3 B. 或5 C. 3或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式列出方程，求出或. 【详解】有题意得，解得或. 故选：C 6. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 7. 已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B 8. 若直线是与的公切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 二、多选题（3*6=18分） 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为60° B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可判断A，根据平行和垂直在直线一般式满足的系数关系即可求解BC，将变形为：，即可求解定点判断D. 【详解】对于A，当时，直线：，故斜率，则倾斜角为120°，A错误， 对于B，等价于，解得，故B正确， 对于C，若，且，故，故C正确， 对于D，：变形为：，令且，解得，故恒过，D正确， 故选：BCD 10. 点P在圆上，点Q在圆上，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求的最值判断AB选项；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D. 【详解】圆，圆心，半径. 圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径， 两圆圆心距，，， A选项错误，B选项正确. 两个圆心所在直线的斜率， C选项正确. 又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 11. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 使为整数的正整数n的个数为0 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确； 【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若， 则，， 所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和， 所以， 所以递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（3*5=15分） 12. 过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，直线过原点时直接求出斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程，代入点的坐标得答案． 【详解】显然直线的斜率是存在的. 若两坐标轴上截距相等且等于零，设直线方程为，因为过点，所以，所以直线方程为； 若两坐标轴上截距相等且不等于零，设直线方程为，因为过点，所以，故，所以直线方程为，即； 故答案为：或. 13. 已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列的定义与性质求解. 【详解】由等比数列性质知，联立，解得或， 因为是单调递增的等比数列，所以，即． 故答案为：2 14. 若圆和关于直线对称，则的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，从而确定圆和关于线段的中垂线对称，根据中点坐标公式和垂直关系斜率乘积为求出答案. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为1， 两圆的半径相等， 故圆和关于线段的中垂线对称， 设直线，将代入，，解得， 故线段的中垂线的斜率为1， 的中点坐标为，故线段的中垂线方程为，即， 综上，的方程为 故答案为： 四、解答题（77分） 15. 已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式即可求出； （2）根据等比数列的通项即可求解； （3）根据等比数列的求和公式以及等差求和公式，结合分组求解计算即可. 【小问1详解】 因为是公差为2的等差数列，， 所以. 【小问2详解】 因为，数列是公比为2的等比数列， 所以. 【小问3详解】 由（1）（2）得， 由于的首项为，故的前项和为， 的首项和公比均为2，故前项和为， 故的前项和. 16. 已知数列的前n项和为． （1）求的通项公式： （2）若等比数列满足，求的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助关系式，即可求解； （2）根据（1）的结论可求出等比数列中的，进而求出公比，代入等比数列前n项和公式即可求出. 【小问1详解】 因为数列的前n项和为， 当时，； 当时，； 又因为，符合， 所以的通项公式为：，. 【小问2详解】 设等比数列的公比为. 因为等比数列满足，即，， 所以，所以， 所以的前n项和. 17. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 18. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果. （2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长. （3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积. 【小问1详解】 圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， . 【小问3详解】 圆的圆心，半径， 点到直线：的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 19. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） ， 变形得：， 又，故， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. 从而，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解； （2）累加法求数列通项公式； （3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得， 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， 又，所以， 当时，满足上式， 所以 【小问3详解】 由（1）、（2）知， 则在前项中， , , 作差得 . . 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二上学期数学期中考试卷 出卷人：林佳佳 审核人：蔡文龙 一、单选题（8*5=40分） 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 36 D. 6 2. 在等差数列中，已知，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知分别是直线与上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 5. 已知点，到直线的距离相等，则（ ） A. 3 B. 或5 C. 3或 D. 或 6. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（     ） A. B. C. D. 7. 已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线是与的公切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3*6=18分） 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为60° B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 10. 点P在圆上，点Q在圆上，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 11. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 使为整数的正整数n的个数为0 D. 的最小值为 三、填空题（3*5=15分） 12. 过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________. 13. 已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是__________． 14. 若圆和关于直线对称，则的方程是______． 四、解答题（77分） 15. 已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 16. 已知数列的前n项和为． （1）求的通项公式： （2）若等比数列满足，求的前n项和． 17. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 18. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 19. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $