精品解析：江西省鹰潭市余江区第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

余江一中2024年高二年级上学期期中考试数学试卷 考试用时间：120分钟 命题人：景国强 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，又倾斜角的范围在之间， 所以直线的倾斜角是. 故选：A 2. 空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求平面法向量，逐项分析判断即可. 【详解】由题意可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，即. 对A：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，A错误； 对B：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，B错误； 对C：若，则，即与共线， 故是平面的法向量，C正确； 对D：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，D错误； 故选：C. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程来求得的值. 【详解】由于双曲线的一条渐近线为， 所以. 故选：A 4. 若拋物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，根据焦半径公式得到方程，求出答案. 【详解】化为标准形式为，故焦点坐标为，准线方程为， 由焦半径可得，解得. 故选：A 5. 如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得， 而 . 故选：B 6. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案. 【详解】由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故选：A 7. 已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件. 【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为， 与的方程联立得， 设，则，故的方程为. 由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立抛物线与直线，化简得， 由得与相离. 分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即. 故选：D. 8. 设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得点点距列方程得代入双曲线求出离心率. 【详解】设，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限， 因为，所以， 所以，又， 解得， 所以， 所以，解得，所以，代入双曲线方程得：， 解得，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A的坐标. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9. 已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意可得到、的值，计算可得的值，分析焦点的位置，可得椭圆的标准方程. 【详解】由题意有，则， 离心率，， ，. 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 故选：AB． 10. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解， 则有，解出其范围结合选项即得. 【详解】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即， ∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得. 故选：BD 11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. 存在直线，使得 B. 若为的中线，则 C. 若为的角平分线，则 D. 对于任意直线，都有 【答案】BD 【解析】 【分析】设，不妨令都在第一象限，，联立抛物线，根据韦达定理可得，，则，再根据各选项描述、抛物线定义判断它们的正误. 【详解】由题意，设，不妨令都在第一象限，， 联立和，则，且，即， 所以，则． A选项，若，过点作垂直于准线于点， 则，即等腰直角三角形，此时，即， 所以，所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故A错误； B选项，若为的中线，则，所以，所以，故，所以，则，故B正确； C选项，若为角平分线，则，作垂直准线于， 则且，所以，即， 则，将代入整理得， 则，所以，故C错误； D选项，，而，结合， 可得，即恒成立，故D正确． 故选：BD． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先得到右焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由两点间的距离公式计算可得. 【详解】椭圆的右焦点， 因为直线的倾斜角为且过点， 所以直线，设，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为： 13. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】先判定AB⊥MB，利用垂直关系得出A、B坐标结合抛物线焦半径公式计算即可. 【详解】 由题意易知，可设， 由，可得Q为AM中点，则， 又由可得:， 即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在， 故， 联立抛物线与直线AB可得 所以有 由抛物线定义得， 故答案为：4 14. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，可知，，根据点到点，的“折线距离”相等，可得，即可求解. 【详解】 设，因为点在矩形内（含边界）， 则，， 因为点到点，的“折线距离”相等， 所以，即， 则， 当时，， 当时，， 设，，则点的轨迹为线段， 故点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出点，根据折线距离的计算公式列出相关的式子，由，的取值去掉绝对值符号求解即可. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）利用空间向量坐标的线性运算可得结果； （3）利用空间向量数量积坐标运算可求得结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ， 所以. 16. 已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点． （1）证明：； （2）若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可得，，所以平面，从而得结论； （2）由条件可证得平面ABCD，则为PB与底面ABCD所成角，可得，由得平面ABCD，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 连接， 因为底面ABCD是边长为2的菱形， 所以，且是的中点， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面，因为平面， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以，即， 因为平面ABCD，所以平面ABCD， 则为PB与底面ABCD所成角，故， 因为，所以，则， 因为分别是的中点，则，所以平面ABCD， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， ， 因为二面角的大小为锐角， 故二面角的余弦值为． 17. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2． （1）求的方程及焦点的坐标． （2）过点的直线交抛物线于两点，且的面积为8，求直线的方程． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，然后代入点P横坐标即可求得； （2）由题意可知直线斜率存在，设出直线方程以及交点坐标，将直线方程带入抛物线方程化简利用根与系数的关系，代入面积公式即可求得. 【小问1详解】 由抛物线的定义可得：， 解得， 所以抛物线的方程为，其焦点坐标为. 【小问2详解】 由题意可设直线方程为，，， 由，得， 所以，，， 因为． 所以，得，故直线的方程为：. 18. 如图，在边长为4的等边中，分别为上的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出高，结合题意计算出高与底面积，借助锥体体积公式计算即可得； （2）由题意可建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可得. 【小问1详解】 连接与中点，由分别为上的中点， 且为等边三角形，故， 故有，且, 又平面平面，平面平面， 平面，故平面， 故为四棱锥的高， ， 则； 【小问2详解】 取中点，连接，可得，有， 由平面，平面，故， 故、、两两垂直， 故可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、、， 则、、、， 令平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 即，， 可令、，则可取，， 故， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，取椭圆上顶点列式求出即可得解. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理计算即得. 【小问1详解】 不妨设椭圆上顶点，此时， 因为的面积为8，所以，联立解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为， 由消去并整理得， 设，则， 直线的方程为，令，得点的纵坐标， 则，同理得， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余江一中2024年高二年级上学期期中考试数学试卷 考试用时间：120分钟 命题人：景国强 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 若拋物线上一点到焦点距离为1，则点的横坐标是（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 如图，四面体中，点中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（ ） A B. C. D. 6. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9. 已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4 11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. 存在直线，使得 B. 若为的中线，则 C. 若为的角平分线，则 D. 对于任意直线，都有 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_____________. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则___________. 14. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，，求： （1）； （2）； （3）. 16. 已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点． （1）证明：； （2）若PB与底面ABCD所成角正弦值为，求二面角的余弦值． 17. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2． （1）求的方程及焦点的坐标． （2）过点的直线交抛物线于两点，且的面积为8，求直线的方程． 18. 如图，在边长为4的等边中，分别为上的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面. （1）求四棱锥体积； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $