2025年清华大学丘成桐数学领军计划专业测试数学一试考试试题

清华大学2025年丘成桐数学领军计划 专业测试数学一试考试试题 题1，请证明lima6nre在存在并求值. 题2.定义钱性映射L:Mmxn→Mnm,n,k∈Z+ 记W={L|L(AB)=L(A)BA∈Mmm,B∈Mn},求dimW. 题3.记V={光济函数∫|fx+1)=2fx}.定义L:V→L(f)=f+kf.求所 有k∈R,使得L为双射 题4.对于V=(,均，…n),W=(如1，的…n,定义a为正交变换，若<，加>=< o(u,a(o)>. 请证明：存在正交变换行，2…n,使得g=万的…T,其中dim{u∈V|(o)=}= n-1. 题5.A为S。的Abel子群，且对任意1≤k≤n,存在o∈A,使得(1)=k (1)求A的阶 (2)求所有的n,使得A在同构意义下唯一 题6.记S={(红，)1x2+2=1,里={（红，）12+2≤1}，f:R2→R为光滑禹数， 在9上拉为0显我+新十器户请挂明在上超有0 题7.C={a=(a1,a2,…am,…)|a∈{0,1}，中：C→0，，我们称满足以下条件的 中为正规的： 对任意a∈C,e>0,存在N,使得：若数列b=(b1,2,…bm,)满足an=b对 n≤N成立，则(a)-(b川<e. 设∫：0,1刂→0,1刂，请证明：∫连续÷对任意正规的中，均有∫。中正规. 题8.f:Q→0，+∞)，若满足： (af(x)=0÷x=0 (b)fx)=f(x)f)x,y∈Q (c)f(r+)<max(f(r).f(y) (④∫至少有3个不同的取值 请证明： (1)f1)=f(-1)=L并且对任意k∈R,均有f()≤1成立. (2当f(x)≠fy)时，f(x+)=mx{(x),f(} (3)3a∈(0,1)和素数p,使得f(x)=a国.