专题05 直线的对称及应用-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05 直线的对称及应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、直线关于点对称 2 类型二、点关于直线对称 4 类型三、直线关于直线对称 6 类型四、反射光线中的对称问题 7 类型五、距离之和的最值问题 10 类型六、距离之差的最值问题 12 压轴能力测评（10题） 15 一、点关于点对称 1、实质：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 二、直线关于点对称 1、实质：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 三、点关于直线对称 1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 四、直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 五、线段和与差的最值问题解题思路 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 类型一、直线关于点对称 例．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上.故选：C. 【变式训练1】（23-24高三上·广东梅州·期中）若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（    ） A B． C． D． 【答案】C 【解析】∵＝k（x﹣1）+1， ∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1）， 设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y）， 则，得，即直线l2恒过定点故选：C 【变式训练2】直线关于点的对称直线的方程为 ． 【答案】 【解析】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为， 所以点在直线上，代入得． 方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行， 故设为．由点到这两条直线的距离相等， 得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为． 方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，， 则所求直线的方程为，即． 故答案为：. 【变式训练3】直线关于点的对称直线方程是 ． 【答案】 【解析】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 类型二、点关于直线对称 例．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即，故选：C. 【变式训练1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设对称点坐标，由题意知直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为-1， 所以，化简得，① 再由的中点在直线上，，化简得，② 联立①②，可得，所以对称点的坐标为.故选：A. 【变式训练2】（24-25高二上·山东潍坊·月考）已知点与关于直线对称，则的值分别为（    ） A．1，3 B．， C．-2，0 D．， 【答案】B 【解析】，若点与关于直线对称， 则直线与直线垂直，直线的斜率是， 所以，得. 线段的中点在直线上，则，得 故选:B 【变式训练3】（22-23高二上·河北石家庄·月考）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（    ） A．25 B． C．17 D． 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点为， 依据题意可得：，解方程组得， 又对称点在直线上，代入可得 ，且在第一象限，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立.故选：B 类型三、直线关于直线对称 例．（23-24高二上·上海·月考）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得， 取直线上一点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：.故选：A 【变式训练1】（23-24高二上·江苏南京·月考）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则直线与直线的夹角为 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线的倾斜角为.故选：B. 【变式训练2】（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】设直线上任意一点，则点关于直线对称点， 因为直线与直线关于直线对称，所以在直线上， 即，得到直线的一般式方程为 故答案为： 【变式训练3】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）直线：关于直线：的对称直线方程为 ． 【答案】 【解析】设直线关于直线对称的直线为，由，解得， 则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得，即， 所以直线的方程为，即． 故答案为： 类型四、反射光线中的对称问题 例．（23-24高二上·吉林·月考）已知圆，从点出发的光线经过轴反射后的反射光线要想不被圆挡住从而到达点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令从点出发的光线射到轴上的入射点为， 反射光线的反向延长线必过点， 设直线的方程为， 当直线与圆相交时， 反射光线被圆挡住不能到达点， 则不被挡住时，，解得， 直线与直线的交点，因此， 所以实数的取值范围为.故选：B 【变式训练1】（23-24高二上·山东·期中）战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设与点关于轴的对称，则的坐标为， 则反射光线经过点，且与圆相切， 若反射光线所在直线的斜率不存在，则反射光线所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，反射光线所在直线的斜率存在， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为：， 即， 圆的圆心为，半径， 则由圆心到反射光线的距离等于半径可得，即， 解得：或，故选：A. 【变式训练2】（23-24高二上·安徽·月考）若光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点， 经轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°， 则反射光线斜率，且反射光线过点， 故反射光线所在的直线方程为．故选：A 【变式训练3】（23-24高三上·河南三门峡·月考）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 类型五、距离之和的最值问题 例．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 【变式训练1】（24-25高二上·北京·月考）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【解析】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为.故选：C. 【变式训练2】（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点， 则，解得，即, 设关于直线的对称点， 则，解得，即, 所以， 当且仅当共线时取等号．故选：B． 【变式训练3】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】直线，即， 所以直线过定点. 直线，即， 所以直线过定点. 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 类型六、距离之差的最值问题 例．（23-24高二上·重庆黔江·月考）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 由对称性可知，， 当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到， 连接并延长，交于点，则此时， 即当三点共线时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 【变式训练1】（23-24高二上·广西·月考）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设点关于的对称点，则,    则， 当且仅当三点共线时等号成立. 故答案为： 【变式训练2】（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 【答案】. 【解析】由直线分别交轴和于点，可得， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，即，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 【变式训练3】（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点, 此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知, 此时, 在直线上另取点,连接, 则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故故选：C. 1．（23-24高二上·河南驻马店·月考）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因点A与点B关于直线对称， 则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为.故选：C 2．（23-24高二上·浙江台州·开学考试）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线即，故， 设点关于的对称点坐标为． 则解得． 点关于的对称点坐标为．故选：A． 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，，故A正确； 对于B：时，，故B正确； 对于C：时，，故C正确； 对于D：时，，故D错误.故选：D. 4．（24-25高二上·江苏南京·月考）（多选）已知点，且点在圆上，为圆心，则下面说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】由，得点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，取得最小值，A正确； 对于B，点在圆内，当与圆相切时，最大，切线方程为或， 而直线方程为，直线与切线夹角为，因此的最大为，B正确； 对于C，点在圆上，为圆心，，则当最大时，也最大， 当点在线段上时，取得最大值，C错误； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，D正确．故选：ABD 5．（23-24高二上·江苏·开学考试）（多选）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．最大值为3 【答案】BCD 【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在， ，与不垂直，同理时与不垂直， 当且时，， 若，则， 去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若，则， 即，由，所以方程有解， 则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；    对于D：如下图，， 当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.    故选：BCD 6．（23-24高三上·海南海口·月考）若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点 . 【答案】（5，5） 【解析】∵，∴：y＝kx－k＋1过定点（1，1）， 设点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y）， 则，解得，即直线恒过定点（5，5）. 故答案为：（5，5）. 7．（23-24高二上·广东·期末）在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为 . 【答案】 【解析】设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以，则直线的方程为， 联立直线与，可得，即. 故答案为： 8．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 9．（24-25高三上·湖北随州·月考）已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，由已知条件得 所以. （2）在直线上取一点，则关于直线l的对称点必在直线上. 设对称点，则故. 设直线与直线的交点为，则由即. 又因为经过点，所以由两点式得， 整理直线的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 10．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线的对称及应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、直线关于点对称 2 类型二、点关于直线对称 4 类型三、直线关于直线对称 6 类型四、反射光线中的对称问题 7 类型五、距离之和的最值问题 10 类型六、距离之差的最值问题 12 压轴能力测评（10题） 15 一、点关于点对称 1、实质：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 二、直线关于点对称 1、实质：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 三、点关于直线对称 1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 四、直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 五、线段和与差的最值问题解题思路 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 类型一、直线关于点对称 例．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上.故选：C. 【变式训练1】（23-24高三上·广东梅州·期中）若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（    ） A B． C． D． 【答案】C 【解析】∵＝k（x﹣1）+1， ∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1）， 设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y）， 则，得，即直线l2恒过定点故选：C 【变式训练2】直线关于点的对称直线的方程为 ． 【答案】 【解析】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为， 所以点在直线上，代入得． 方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行， 故设为．由点到这两条直线的距离相等， 得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为． 方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，， 则所求直线的方程为，即． 故答案为：. 【变式训练3】直线关于点的对称直线方程是 ． 【答案】 【解析】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 类型二、点关于直线对称 例．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即，故选：C. 【变式训练1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设对称点坐标，由题意知直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为-1， 所以，化简得，① 再由的中点在直线上，，化简得，② 联立①②，可得，所以对称点的坐标为.故选：A. 【变式训练2】（24-25高二上·山东潍坊·月考）已知点与关于直线对称，则的值分别为（    ） A．1，3 B．， C．-2，0 D．， 【答案】B 【解析】，若点与关于直线对称， 则直线与直线垂直，直线的斜率是， 所以，得. 线段的中点在直线上，则，得 故选:B 【变式训练3】（22-23高二上·河北石家庄·月考）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（    ） A．25 B． C．17 D． 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点为， 依据题意可得：，解方程组得， 又对称点在直线上，代入可得 ，且在第一象限，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立.故选：B 类型三、直线关于直线对称 例．（23-24高二上·上海·月考）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得， 取直线上一点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：.故选：A 【变式训练1】（23-24高二上·江苏南京·月考）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则直线与直线的夹角为 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线的倾斜角为.故选：B. 【变式训练2】（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】设直线上任意一点，则点关于直线对称点， 因为直线与直线关于直线对称，所以在直线上， 即，得到直线的一般式方程为 故答案为： 【变式训练3】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）直线：关于直线：的对称直线方程为 ． 【答案】 【解析】设直线关于直线对称的直线为，由，解得， 则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得，即， 所以直线的方程为，即． 故答案为： 类型四、反射光线中的对称问题 例．（23-24高二上·吉林·月考）已知圆，从点出发的光线经过轴反射后的反射光线要想不被圆挡住从而到达点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令从点出发的光线射到轴上的入射点为， 反射光线的反向延长线必过点， 设直线的方程为， 当直线与圆相交时， 反射光线被圆挡住不能到达点， 则不被挡住时，，解得， 直线与直线的交点，因此， 所以实数的取值范围为.故选：B 【变式训练1】（23-24高二上·山东·期中）战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设与点关于轴的对称，则的坐标为， 则反射光线经过点，且与圆相切， 若反射光线所在直线的斜率不存在，则反射光线所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，反射光线所在直线的斜率存在， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为：， 即， 圆的圆心为，半径， 则由圆心到反射光线的距离等于半径可得，即， 解得：或，故选：A. 【变式训练2】（23-24高二上·安徽·月考）若光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点， 经轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°， 则反射光线斜率，且反射光线过点， 故反射光线所在的直线方程为．故选：A 【变式训练3】（23-24高三上·河南三门峡·月考）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 类型五、距离之和的最值问题 例．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 【变式训练1】（24-25高二上·北京·月考）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【解析】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为.故选：C. 【变式训练2】（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点， 则，解得，即, 设关于直线的对称点， 则，解得，即, 所以， 当且仅当共线时取等号．故选：B． 【变式训练3】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】直线，即， 所以直线过定点. 直线，即， 所以直线过定点. 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 类型六、距离之差的最值问题 例．（23-24高二上·重庆黔江·月考）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 由对称性可知，， 当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到， 连接并延长，交于点，则此时， 即当三点共线时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 【变式训练1】（23-24高二上·广西·月考）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设点关于的对称点，则,    则， 当且仅当三点共线时等号成立. 故答案为： 【变式训练2】（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 【答案】. 【解析】由直线分别交轴和于点，可得， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，即，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 【变式训练3】（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点, 此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知, 此时, 在直线上另取点,连接, 则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故故选：C. 1．（23-24高二上·河南驻马店·月考）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因点A与点B关于直线对称， 则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为.故选：C 2．（23-24高二上·浙江台州·开学考试）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线即，故， 设点关于的对称点坐标为． 则解得． 点关于的对称点坐标为．故选：A． 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，，故A正确； 对于B：时，，故B正确； 对于C：时，，故C正确； 对于D：时，，故D错误.故选：D. 4．（24-25高二上·江苏南京·月考）（多选）已知点，且点在圆上，为圆心，则下面说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】由，得点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，取得最小值，A正确； 对于B，点在圆内，当与圆相切时，最大，切线方程为或， 而直线方程为，直线与切线夹角为，因此的最大为，B正确； 对于C，点在圆上，为圆心，，则当最大时，也最大， 当点在线段上时，取得最大值，C错误； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，D正确．故选：ABD 5．（23-24高二上·江苏·开学考试）（多选）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．最大值为3 【答案】BCD 【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在， ，与不垂直，同理时与不垂直， 当且时，， 若，则， 去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若，则， 即，由，所以方程有解， 则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；    对于D：如下图，， 当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.    故选：BCD 6．（23-24高三上·海南海口·月考）若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点 . 【答案】（5，5） 【解析】∵，∴：y＝kx－k＋1过定点（1，1）， 设点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y）， 则，解得，即直线恒过定点（5，5）. 故答案为：（5，5）. 7．（23-24高二上·广东·期末）在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为 . 【答案】 【解析】设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以，则直线的方程为， 联立直线与，可得，即. 故答案为： 8．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 9．（24-25高三上·湖北随州·月考）已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，由已知条件得 所以. （2）在直线上取一点，则关于直线l的对称点必在直线上. 设对称点，则故. 设直线与直线的交点为，则由即. 又因为经过点，所以由两点式得， 整理直线的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 10．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$