第二章 第四节 用单摆测量重力加速度-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二物理选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（粤教版2019）

第四节　用单摆测量重力加速度 【素养目标】　1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义。　2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度。　3.能正确熟练地使用游标卡尺和秒表。 一、实验目的 1．会用单摆测量重力加速度。 2．会使用秒表测量时间。 二、实验原理与设计 单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2π，可得g＝。因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。 用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期。 三、实验器材 长约1 m的细线、球心开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、长约1 m的毫米刻度尺、秒表、游标卡尺。 四、实验步骤 1．做单摆：取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示。 2．测摆长：用刻度尺测摆线的长度L线，并用游标卡尺测小球的直径d。则摆长为L＝L线＋。 3．测周期：将摆球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内摆动。待振动稳定后，从摆球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量n次全振动的时间t，则周期T＝。 4．变摆长：改变摆长，重复实验多次。 学生用书第58页 五、数据处理 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的L和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值，设计如表所示的实验表格。 实验 次数 摆线 长度 L线/m 摆球 直径 d/m 摆长 L/m 全振 动次 数n 振动 时间 t/s 振动 周期 T＝ 重力 加速 度g 重力加 速度的 平均值 1 2 3 4 5 … 2．图像法：由T＝2π得T2＝L，作出T2L图像，即以T2为纵轴，以L为横轴，其斜率k＝。由图像的斜率即可求出重力加速度g。 六、误差分析 1．本实验系统误差主要来源 (1)不能保证摆球在同一竖直面内振动。 (2)摆球并非一个质点，其有一定的体积和大小。 (3)摆线虽然很细，但并非没有质量。 2．本实验偶然误差主要来源 (1)测定摆长l时引起的误差 ①在未悬挂摆球前测定摆长或漏加摆球半径。 ②测摆长时摆线拉得过紧或以摆球的直径与摆线长之和作为摆长。 ③悬点未固定好，摆球摆动时出现松动，使实际的摆长不断变长。 (2)测定周期时引起的误差 ①开始计时和停止计时，停表过早或过迟按下。 ②测定n次全振动的时间为t，次数n数错。 ③计算单摆的全振动次数时，未从摆球通过最低位置时开始计时。 七、注意事项 1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应用铁夹夹紧，以免摆动时发生摆线下滑导致摆长改变的现象。 3．测周期要从摆球经过平衡位置时开始计时，要测多次全振动的时间来计算周期，如在摆球过平衡位置时开始计时并数零，以后摆球每过一次平衡位置数一个数，最后总计时为t，总数为n，则周期T＝＝。 一　教材原型实验 (2023·广东东莞高二期中)如图甲所示，某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中，测得摆线长为l，摆球直径为d，然后用秒表记录了单摆全振动n次所用的时间为t。则： (1)下列最合理的装置是__________。 (2)用螺旋测微器测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为__________ mm。 学生用书第59页 (3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________________________________。 A．单摆振动时振幅较小 B．将摆线长当成了摆长 C．实验时误将49次全振动记为50次 D．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 (4)小明选择了合理的实验装置后，测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图丙T2L图像中的实线a。小红也进行了与小明同样的实验，实验中将摆线长作为摆长L，测得多组周期T和L的数据，作出T2L图像，应是图丙中的图线__________(选填“a”、“b”、“c”、“d”或“e”)。(已知c、d两条图线和a平行) 答案：(1)C　(2)9.450　(3)BD　(4)c 解析：(1)细线要用铁夹固定，防止摆长忽长忽短；摆线要用细线，不能用弹性棉绳；摆球要用密度较大的铁球，故选C。 (2)由题图乙可知，螺旋测微器测量小钢球直径的读数为9 mm＋45.0×0.01 mm＝9.450 mm。 (3)根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝，单摆振动时振幅较小，不影响g的测量，故A错误；将摆线长当成了摆长，导致L变小，可知g值偏小，故B正确；实验时误将49次全振动记为50次，导致周期测量值偏小，可知g值偏大，故C错误；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加，导致摆长测量值偏小，可知g值偏小，故D正确。故选BD。 (4)根据单摆周期公式T＝2π，可得T2＝；实验中将摆线长作为摆长L，没有加上摆球的半径，所以摆线长为零时，纵轴截距不为零，由于重力加速度不变，则图线的斜率不变，故作出的T2L图像应为题图丙中的c。 (2023·广东广州高二期末)某同学在做“用单摆测量重力加速度的大小”实验时，用游标卡尺测量小球直径，读数如图甲所示。某次测得摆线长为99.51 cm。(π取3.14) (1)游标卡尺的读数为______mm； (2)该次测量单摆的摆长L为__________cm； (3)该同学根据多次测量数据作出LT2图线(如图乙所示)，根据图线求出重力加速度g＝______m/s2(保留3位有效数字)。 答案：　(1)9.8　(2)100.00　(3)9.86 解析：　(1)游标卡尺的读数为9 mm＋8×0.1 mm＝9.8 mm。 (2)单摆的摆长为L＝99.51 cm＋ mm＝100.00 cm。 (3)根据单摆的周期公式，可得T＝2π，可得L＝T2，故LT2图像的斜率为k＝＝ m/s2， 解得重力加速度为g＝π2≈9.86 m/s2。 针对练1.(2023·河北唐山高二期中)某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作： (1)用游标卡尺测量摆球的直径，如图甲所示，读数为________mm；把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L。 (2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图乙所示，该秒表记录时间为________s。该单摆的周期是T＝________s(结果保留3位有效数字)。 (3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2L图线如图丙所示，此图线斜率的物理意义是________。 A．g B． C． D． (4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小________。 A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 答案：(1)20.5　(2)100.2　3.34　(3)C　(4)C 解析：(1)由题图甲可得游标卡尺的读数为20 mm＋5×0.1 mm＝20.5 mm。 (2)该秒表记录时间为t＝90 s＋10.2 s＝100.2 s 该单摆的周期是T＝ s＝3.34 s。 (3)根据T＝2π，可得T2＝L，则k＝，故选C。 (4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，但是图像的斜率不变，则由图线斜率得到的重力加速度与原来相比其大小不变。故选C。 针对练2.(2023·广东广州高二统考期末)根据单摆周期公式，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。 (1)用游标卡尺测量小钢球的直径，示数如图乙所示，读数为______mm。 学生用书第60页 (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有______。(填字母代号) A．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 B．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度 C．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即单摆周期T D．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝ (3)某同学测出不同摆长对应的周期T，作出T2L图线，如图丙所示，再利用图线上任意两点A、B的坐标、，可求得g＝______________(结果用x1、y1、x2、y2表示)，若该同学测摆长时漏加了摆球半径，而其他测量、计算均无误，则用上述方法算得的g值和真实的g值相比是______(选填“偏大”、“偏小”或“相同”)的。 答案：(1)18.6　(2)AD　(3)　相同 解析：(1)由题图乙可得游标卡尺的读数为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm。 (2)为减小阻力的影响，摆球选择质量大些、体积小些的，故A正确；为了使单摆做简谐运动，摆角要小些，故B错误；为了使单摆做简谐运动，摆角要小些，摆线偏离平衡位置应小于5°，且应从平衡位置开始计时，当摆球振动稳定后，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝，故C错误，D正确。故选AD。 (3)根据T＝2π，得T2＝，可知T2L图线的斜率k＝＝，解得g＝，若只是漏加了摆球半径，则作出的T2L图线的斜率不变，用上述方法算得的g值和真实值相比是相同的。 二　拓展创新实验 某探究小组探究单摆的装置如图甲所示，细线端拴一个球，另一端连接力传感器，固定在天花板上，将球拉开一定的角度(不大于5°)静止释放，传感器可绘制出球在摆动过程中细线拉力周期性变化的图像，如图乙所示。 (1)用20分度的游标卡尺测出小球直径如图丙所示，读数为___________mm； (2)从图乙中可知此单摆的周期为___________(选填“t1”或“t2”)，现求得该单摆的摆长为L，则当地的重力加速度为___________(用题中的字母表示，包括图乙中)； (3)若科学探险队在珠穆朗玛峰山脚与山顶利用该装置分别做了实验。在山脚处，作出了单摆周期与摆长L之间的关系T2L图线为图丁中直线c。当成功攀登到山顶后，又重复了在山脚做的实验。则利用山顶实验数据作出的图线可能是图丁中的直线________。 答案：(1)18.50　(2)t2　　(3)a 解析：(1)游标卡尺是20分度的，精确度是0.05 mm，游标卡尺的示数为d＝18 mm＋10×0.05 mm＝18.50 mm。 (2)由题图乙可知，摆球每次经过平衡位置时绳的拉力最大为F1，在一个周期内摆球两次经过平衡位置，周期T＝t2；该单摆的摆长为L，由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度g＝。 (3)由单摆周期公式T＝2π，可得T2＝L，T2L图像的斜率k＝，因珠穆朗玛峰山顶的重力加速度小于山脚的重力加速度，因此在山顶做实验时图线斜率较大，在山顶做实验作出的图线可能是直线a。 用单摆测量重力加速度的实验装置如图(a)所示，摆球在垂直纸面的平面内摆动，在摆球运动轨迹的最低点的两侧分别放置激光光源与光敏电阻。光敏电阻(光照增强时，其电阻变小)与自动记录仪相连，记录仪可以显示光敏电阻的阻值R随时间t的变化图线。将摆球拉离平衡位置一个较小角度由静止释放，记录仪显示的Rt图线如图(b)所示。请回答下面问题： (1)实验前先用游标卡尺测出摆球直径d，如图(c)所示，则摆球的直径d＝________mm。 (2)该单摆的振动周期T＝________。 (3)实验中用米尺测得摆线长为l，则当地的重力加速度g＝________________(用测得的物理量符号表示)。 答案：(1)11.70　(2)2t0　(3) 解析：(1)由题图(c)可知，游标尺是20分度的，游标尺的精确度是0.05 mm，故摆球直径d＝11 mm＋14×0.05 mm＝11.70 mm。 (2)在一个周期内摆球经过平衡位置2次，摆球经过平衡位置时激光被摆球挡住，光敏电阻阻值变大，由题图(b)所示图像可知，单摆的周期T＝2t0。 (3)单摆摆长L＝l＋，由单摆的周期公式T＝2π可知，重力加速度g＝＝。课时测评13　用单摆测量重力加速度 (时间：30分钟　满分：40分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．(10分)(2023·广东江门高二期中)某同学利用单摆测定当地的重力加速度。 (1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有______。 A．长度约为1 m的细线 B．长度约为30 cm的细线 C．直径约为2 cm的钢球 D．直径约为2 cm的木球 E．最小刻度为1 cm的直尺 F．最小刻度为1 mm的直尺 (2)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________。 A．最高点　　 B．最低点　　 C．任意位置 (3)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝________s(结果保留3位有效数字)。 (4)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为__________m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为______cm。 (5)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝______。 答案：(1)ACF　(2)B　(3)2.29　(4)0.990 0　2.075　(5) 解析：(1)为减小实验误差，摆线的长度应适当长些，A正确，B错误；为减小阻力对实验的影响，应选择质量大而体积小的摆球，C正确，D错误；为准确测量摆长，刻度尺应选择精度较高的，E错误，F正确。故选ACF。 (2)最低点速度最大，为减小实验测量误差，应从摆球经过最低点时开始计时。故选B。 (3)由题图甲所示秒表可知，其示数为60 s＋7.5 s＝67.5 s，则单摆的周期T＝＝ s≈2.29 s。 (4)刻度尺分度值为1 mm，由题图乙可知，摆线长为0.990 0 m；由题图丙可知，球的直径为d＝20 mm＋15×0.05 mm＝20.75 mm＝2.075 cm。 (5)由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度g＝。 2．(10分)(2023·广东深圳高二期中)甲、乙两位同学利用如图1所示的实验器材探究单摆摆长与周期的关系。 (1)关于实验操作，下列说法正确的是_______； A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能适当长一些 B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大 D．用刻度尺测量摆线的长度l，这就是单摆的摆长 E．释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期T＝50t (2)如图2所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径d＝_______cm。 (3)同学乙发现计算得到的重力加速度值总是偏大，可能的原因是________； A．测摆长时，摆线拉得过紧 B．误将29次全振动记数为30次 C．将摆线长度当作摆长来计算 D．摆动的摆角偏小 E．摆球的质量偏大 答案：(1)AB　(2)2.06　(3)AB 解析：(1)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能适当长一些，A正确；为减小空气阻力的影响，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，B正确；周期与摆角无关，且摆角过大，不可视为简谐运动，C错误；摆长应等于摆线长与摆球半径之和，D错误；单摆周期为T＝，E错误。故选AB。 (2)摆球直径为d＝20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm＝2.06 cm。 (3)测摆长时，摆线拉得过紧，则摆长的测量值大于真实值，根据g＝，可知重力加速度值偏大，A正确；误将29次全振动记数为30次，则周期的测量值偏小，重力加速度值偏大，B正确；摆线长度小于摆长，则重力加速度值偏小，C错误；摆角偏小、质量偏大，不影响实验结果，D、E错误。故选AB。 3．(10分)(2023·广东广州高二期中)实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。 (1)测摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如图1所示，则d＝____cm。 测周期时，当小球通过平衡位置时开始计时，并在小球下一次通过平衡位置时开始计数“1”，当小球第50次经过平衡位置时停止计时，所用时间为t，则周期T＝________。 (2)某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图2所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2l图像如图3所示。 T2l图像不过坐标原点的原因是________________，由此得出重力加速度的测量值为________m/s2(π取3.14，结果保留3位有效数字)。图像不过坐标原点对重力加速度测量结果的影响是测量值________(选填“>”、“＝”或“<”)真实值。 答案：(1)1.020　　(2)摆长没有加M点到石块重心的距离　9.86　＝ 解析：(1)由题图1可知，摆球的直径d＝10 mm＋4×0.05 mm＝10.20 mm＝1.020 cm 因小球一次全振动经过平衡位置2次，当小球第50次经过平衡位置时停止计时，所用时间为t，则周期T＝＝。 (2)由题图3可知，当图线向右平移1.0 cm，图线就过坐标原点，因此图像不过坐标原点的原因是：摆线的长度应是O点到石块重心的距离，该同学没有加M点到石块重心的距离，作图时的摆线比实际摆线小。 由单摆的周期公式T＝2π，可得T2＝l 由题图3可得T2l图像的斜率k＝＝×102 s2/m，解得g≈9.86m/s2 设M点到石块重心的距离为x，由周期公式可得T＝2π 整理可得T2＝ 则图线的斜率为 k＝＝×102 s2/m 解得g≈9.86m/s2 可知图像不过坐标原点对重力加速度的测量结果没有影响，即测量值等于真实值。 4．(10分)如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，A、B为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器。当小球第一次经过图中虚线(光束)位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用时间为t，由此可知： (1)双线摆的振动周期T＝__________，双线摆的等效摆长L＝______________。 (2)依据公式g＝______________代入周期T和等效摆长L的值，即可求出重力加速度。 (3)该同学在实验中，测量了5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录数据见表。 实验次数 1 2 3 4 5 L/m 0.50 0.80 0.90 1.00 1.20 T/s 1.41 1.79 1.90 2.01 2.19 T2/s2 1.99 3.20 3.61 4.04 4.80 以L为横坐标，T2为纵坐标，建立坐标系，在图乙中作出T2L图像，并利用此图像求得重力加速度g＝________m/s2(保留3位有效数字)。 答案：(1)　r＋　(2) (3)见解析图　9.86 解析：(1)由题意可知，t时间内，单摆完成全振动的次数为，单摆的周期T＝＝ 双线摆的等效摆长为L＝r＋。 (2)由单摆周期公式T＝2π 可得g＝。 (3)由单摆周期公式T＝2π 变形得T2＝L 则T2与L成正比，作出T2L图像如下图所示 由T2L图像可知，斜率 k＝＝ s2·m-1＝4 s2·m-1 解得g≈9.86 m/s2。 学生用书第61页 学科网（北京）股份有限公司 $$