第六章 平行四边形 同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

平行四边形 一.平行四边形的性质(共11小题) 1.如图, ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60 ,AB=BC,连接OE.下列结论: ①∠CAD=30 ; ②S ABCD=AB•AC; ③OB=AB; ④OE=BC,成立的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,在 ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为( ) A.8 B.10 C.12 D.14 3.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点, AOD的周长比 AOB的周长多3cm,则AE的长度为( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm 4.如图, ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若 ABCD的周长为28,则 ABE的周长为( ) A.28 B.24 C.21 D.14 5.如图, ABCD的顶点C在等边 BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 . 6.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=135 ,AD=4,AB=8,作对角线AC的垂直平分线EF,分别交对边AB、CD于点E和点F,则AE的长为 . 7.如图, ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果 CDM的周长为8,那么 ABCD的周长是 . 8.如图,在 ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且AE=CF,EF、BD相交于点O,求证:OE=OF. 9.如图,在 ABCD中,BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC,交AC于点E、G. (1)求证:BE∥DG,BE=DG; (2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若 ABCD的周长为56,EF=6,求 ABC的面积. 10.如图,四边形ABCD为平行四边形,AD=a,BE∥AC,DE交AC的延长线于F点,交BE于E点. (1)求证:DF=FE; (2)若AC=2CF,∠ADC=60 ,AC⊥DC,求BE的长. 11.如图,点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点,点F在BE延长线上,且EF=BE,EF与CD交于点G. (1)求证:DF∥AC; (2)若BF垂直平分CD,BF=AE=2,求BC的长. 二.平行四边形的判定(共6小题) 12.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A.AB∥CD,AD∥BC B.OA=OC,OB=OD C.AD=BC,AB∥CD D.AB=CD,AD=BC 13.关于四边形ABCD:①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③有一组对边平行且相等;④对角线AC和BD相等;以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点,且BM=9cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t(s),则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,t的值是( ) A. B.3 C.3或 D.或 15.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE. 求证:四边形ABCD为平行四边形. 16.已知:如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90 ,AB=CD,点E是CD的中点. (1)求证:四边形ABCE是平行四边形; (2)若AC=4,AD=4,求四边形ABCE的面积. 17.如图所示,以 ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边 ABD、 BCE、 CAF 请说明:四边形ADEF为平行四边形. 三.平行四边形的判定与性质(共6小题) 18.下列说法正确的是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.平行四边形的对角互补 C.有两组对角相等的四边形是平行四边形 D.平行四边形的对角线平分每一组对角 19.如图,在 ABC中,AB=6,AC=8,BC=10, ABD, ACE, BCF都是等边三角形,下列结论中:①AB⊥AC;②四边形AEFD是平行四边形;③∠DFE=135 ;④S四边形AEFD=20.正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.下列说法不正确的是( ) A.平行四边形两组对边分别平行 B.平行四边形的对角线互相平分 C.平行四边形的对角互补,邻角相等 D.平行四边形的两组对边分别平行且相等 21.如图,在 ABC中,AB=2,AC=,∠BAC=105 , ABD、 ACE、 BCF都是等边三角形,则四边形AEFD的面积为 . 22.已知:如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,延长DE、BF,分别交AB于点H,交CD于点G,若AD∥BC,AE=CF. (1)求证:四边形ABCD为平行四边形; (2)若∠DAH=∠GBA,GF=2,CF=4,求AD的长. 23.如图,在 ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=BC,求证:四边形OCFE是平行四边形. 平行四边形 参考答案与试题解析 一.平行四边形的性质(共11小题) 1.如图, ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60 ,AB=BC,连接OE.下列结论: ①∠CAD=30 ; ②S ABCD=AB•AC; ③OB=AB; ④OE=BC,成立的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠ADC=60 ,∠BAD=120 , ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠EAD=60 ∴ ABE是等边三角形, ∴AE=AB=BE, ∵AB=BC, ∴AE=BC, ∴∠BAC=90 , ∴∠CAD=30 ,故①正确; ∵AC⊥AB, ∴S ABCD=AB•AC,故②正确, ∵AB=BC,OB=BD, ∵BD>BC, ∴AB≠OB,故③错误; ∵CE=BE,CO=OA, ∴OE=AB, ∴OE=BC,故④正确. 故选:C. 2.如图,在 ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为( ) A.8 B.10 C.12 D.14 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC, ∴∠AFB=∠FBC, ∵BF平分∠ABC, ∴∠ABF=∠FBC, 则∠ABF=∠AFB, ∴AF=AB=6, 同理可证:DE=DC=6, ∵EF=AF+DE﹣AD=2, 即6+6﹣AD=2, 解得:AD=10; 故选:B. 3.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点, AOD的周长比 AOB的周长多3cm,则AE的长度为( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm 【解答】解:∵ ABCD的周长为26cm, ∴AB+AD=13cm,OB=OD, ∵ AOD的周长比 AOB的周长多3cm, ∴(OA+OD+AD)﹣(OA+OB+AB)=AD﹣AB=3cm, ∴AB=5cm,AD=8cm. ∴BC=AD=8cm. ∵AC⊥AB,E是BC中点, ∴AE=BC=4cm; 故选:B. 4.如图, ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若 ABCD的周长为28,则 ABE的周长为( ) A.28 B.24 C.21 D.14 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,AB=CD,AD=BC, ∵ ABCD的周长为28, ∴AB+AD=14 ∵OE⊥BD, ∴OE是线段BD的中垂线, ∴BE=ED, ∴ ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14, 故选:D. 5.如图, ABCD的顶点C在等边 BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 . 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,CD=AB,DC∥AB, ∵AD=3,AB=CF=2, ∴CD=2,BC=3, ∴BF=BC+CF=5, ∵ BEF是等边三角形,G为DE的中点, ∴BF=BE=5,DG=EG, 延长CG交BE于点H, ∵DC∥AB, ∴∠CDG=∠HEG, 在 DCG和 EHG中, , ∴ DCG≌ EHG(ASA), ∴DC=EH,CG=HG, ∵CD=2,BE=5, ∴HE=2,BH=3, ∵∠CBH=60 ,BC=BH=3, ∴ CBH是等边三角形, ∴CH=BC=3, ∴CG=CH=, 故答案为:. 6.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=135 ,AD=4,AB=8,作对角线AC的垂直平分线EF,分别交对边AB、CD于点E和点F,则AE的长为 . 【解答】解:如图,连接CE,过点C作CH⊥AB,交AB的延长线于H, ∵平行四边形ABCD中,∠ABC=135 ,AD=4, ∴∠CBH=45 ,BC=4, 又∵∠H=90 , ∴∠BCH=45 , ∴CH=BH=4, 设AE=x,则BE=8﹣x, ∵EF垂直平分AC, ∴CE=AE=x, ∵在Rt CEH中,CH2+EH2=EC2, ∴42+(8﹣x+4)2=x2, 解得x=, ∴AE的长为. 故答案为:. 7.如图, ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果 CDM的周长为8,那么 ABCD的周长是 16 . 【解答】解:∵ABCD是平行四边形, ∴OA=OC, ∵OM⊥AC, ∴AM=MC. ∴ CDM的周长=AD+CD=8, ∴平行四边形ABCD的周长是2 8=16. 故答案为16. 8.如图,在 ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且AE=CF,EF、BD相交于点O,求证:OE=OF. 【解答】证明:方法1,连接BE、DF,如图所示: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴DE∥BF, ∵AE=CF, ∴DE=BF, ∴四边形BEDF是平行四边形, ∴OF=OE. 方法2,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴∠ODE=∠OBF, 又∵AE=CF, ∴DE=BF, 在 DOE和 BOF中,, ∴ DOE≌ BOF(AAS), ∴OE=OF. 9.如图,在 ABCD中,BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC,交AC于点E、G. (1)求证:BE∥DG,BE=DG; (2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若 ABCD的周长为56,EF=6,求 ABC的面积. 【解答】(1)证明:在 ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC, ∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,AB=CD, ∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC, ∴∠ADG=∠CBE, ∵∠DGE=∠DAC+∠ADG,∠BEG=∠BCA+∠CBE, ∴∠DGE=∠BEG, ∴BE∥DG; 在 ADG和 CBE中, , ∴ ADG≌ CBE(ASA), ∴BE=DG; (2)解:过E点作EH⊥BC于H, ∵BE平分∠ABC,EF⊥AB, ∴EH=EF=6, ∵ ABCD的周长为56, ∴AB+BC=28, ∴S ABC= = = =84. 10.如图,四边形ABCD为平行四边形,AD=a,BE∥AC,DE交AC的延长线于F点,交BE于E点. (1)求证:DF=FE; (2)若AC=2CF,∠ADC=60 ,AC⊥DC,求BE的长. 【解答】解:(1)证明:延长DC交BE于点M, ∵BE∥AC,AB∥DC, ∴四边形ABMC是平行四边形, ∴CM=AB=DC,C为DM的中点,BE∥AC, 则CF为 DME的中位线, DF=FE; (2)由(1)得CF是 DME的中位线,故ME=2CF, 又∵AC=2CF,四边形ABMC是平行四边形, ∴AC=ME, ∴BE=2BM=2ME=2AC, 又∵AC⊥DC, ∴在Rt ADC中利用勾股定理得AC=AD•sin∠ADC=, ∴BE=. 11.如图,点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点,点F在BE延长线上,且EF=BE,EF与CD交于点G. (1)求证:DF∥AC; (2)若BF垂直平分CD,BF=AE=2,求BC的长. 【解答】(1)证明:连接BD,交AC于点O,如图所示: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BO=DO, ∵BE=EF, ∴OE是 BDF的中位线, ∴OE∥DF, 即DF∥AC; (2)解:∵EF=BE,BF=2, ∴BE=, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠DCE=∠BAE, ∵BF垂直平分CD, ∴∠CGE=90 ,CG=DG,BF⊥AB, ∴∠ABE=90 , ∴AB===3,BE=AE, ∴CD=3,∠BAE=30 , ∴CG=CD=,∠DCE=30 , ∴EG=CG=, ∴BG=BE+EG=+=, ∴BC===3. 二.平行四边形的判定(共6小题) 12.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A.AB∥CD,AD∥BC B.OA=OC,OB=OD C.AD=BC,AB∥CD D.AB=CD,AD=BC 【解答】解:A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意; B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意; C、不能判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意; D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意; 故选:C. 13.关于四边形ABCD:①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③有一组对边平行且相等;④对角线AC和BD相等;以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解答】解:①符合平行四边形的定义,故①正确; ②两组对边分别相等,符合平行四边形的判定条件,故②正确; ③由一组对边平行且相等,符合平行四边形的判定条件,故③正确; ④对角线互相平分的四边形是平行四边形,故④错误; 所以正确的结论有三个:①②③, 故选:C. 14.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点,且BM=9cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t(s),则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,t的值是( ) A. B.3 C.3或 D.或 【解答】解:①当点F在线段BM上,AE=FM时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形, 则有t=9+3t﹣12,解得t=, ②当F在线段CM上,AE=FM时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形, 则有t=12﹣9﹣3t,解得t=, 综上所述,t=或时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形. 故选:D. 15.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE. 求证:四边形ABCD为平行四边形. 【解答】证明:∵AB∥CD, ∴∠DCA=∠BAC, ∵DF∥BE, ∴∠DFA=∠BEC, ∴∠AEB=∠DFC, 在 AEB和 CFD中, ∴ AEB≌ CFD(ASA), ∴AB=CD, ∵AB∥CD, ∴四边形ABCD为平行四边形. 16.已知:如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90 ,AB=CD,点E是CD的中点. (1)求证:四边形ABCE是平行四边形; (2)若AC=4,AD=4,求四边形ABCE的面积. 【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠ACD=90 , ∴AB∥EC, ∵点E是CD的中点, ∴, ∵, ∴AB=EC, ∴四边形ABCE是平行四边形; (2)解:∵∠ACD=90 ,AC=4,, ∴, ∵, ∴AB=2, ∴S平行四边形ABCE=AB•AC=2 4=8. 17.如图所示,以 ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边 ABD、 BCE、 CAF 请说明:四边形ADEF为平行四边形. 【解答】证明:∵ BCE、 ACF、 ABD都是等边三角形, ∴AB=AD,AC=CF,BC=CE,∠BCE=∠ACF, ∴∠BCE﹣∠ACE=∠ACF﹣∠ACE, 即∠BCA=∠FCE, 在 BCA和 ECF中,, ∴ BCA≌ ECF(SAS), ∴AB=EF, ∵AB=AD, ∴AD=EF, 同理: BDE≌ BAC, ∴DE=AF, ∴四边形ADEF是平行四边形. 三.平行四边形的判定与性质(共6小题) 18.下列说法正确的是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.平行四边形的对角互补 C.有两组对角相等的四边形是平行四边形 D.平行四边形的对角线平分每一组对角 【解答】解:A.∵一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形, ∴A错误,不符合题意; B.∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形, ∴B错误,不符合题意; C.∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形, ∴C正确,符合题意; D.∵菱形对角线平分每一组对角,平行四边形的对角线不平分每一组对角, ∴D错误,不符合题意; 故选:C. 19.如图,在 ABC中,AB=6,AC=8,BC=10, ABD, ACE, BCF都是等边三角形,下列结论中:①AB⊥AC;②四边形AEFD是平行四边形;③∠DFE=135 ;④S四边形AEFD=20.正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解答】解:∵AB=6,AC=8,BC=10,62+82=102, ∴AB2+AC2=BC2, ∴ ABC是直角三角形,∠BAC=90 , ∴AB⊥AC,故①正确; ∵ ABD, ACE都是等边三角形, ∴∠DAB=∠EAC=60 , ∴∠DAE=150 , ∵ ABD和 FBC都是等边三角形, ∴BD=BA,BF=BC,∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60 , ∴∠DBF=∠ABC, 在 ABC与 DBF中, , ∴ ABC≌ DBF(SAS), ∴AC=DF=AE=8, 同理可证: ABC≌ EFC(SAS), ∴AB=EF=AD=6, ∴四边形AEFD是平行四边形,故②正确; ∴∠DFE=∠DAE=150 ,故③错误; 过A作AG⊥DF于G,如图所示: 则∠AGD=90 , ∵四边形AEFD是平行四边形, ∴∠FDA=180 ﹣∠DFE=180 ﹣150 =30 , ∴AG=AD=3, ∴S AEFD=DF•AG=8 3=24,故④错误; ∴正确的个数是2个, 故选:B. 20.下列说法不正确的是( ) A.平行四边形两组对边分别平行 B.平行四边形的对角线互相平分 C.平行四边形的对角互补,邻角相等 D.平行四边形的两组对边分别平行且相等 【解答】解:A、平行四边形两组对边分别平行,说法正确,不符合题意; B、平行四边形的对角线互相平分,说法正确,不符合题意; C、平行四边形的对角相等,邻角互补,说法错误,符合题意; D、平行四边形的两组对边分别平行且相等,说法正确,不符合题意; 故选:C. 21.如图,在 ABC中,AB=2,AC=,∠BAC=105 , ABD、 ACE、 BCF都是等边三角形,则四边形AEFD的面积为 2 . 【解答】解:∵ ABD, ACE都是等边三角形, ∴∠DAB=∠EAC=60 , ∵∠BAC=105 , ∴∠DAE=135 , ∵ ABD和 FBC都是等边三角形, ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60 , ∴∠DBF=∠ABC. 在 ABC与 DBF中, ∴ ABC≌ DBF(SAS), ∴AC=DF=AE=, 同理可证 ABC≌ EFC, ∴AB=EF=AD=2, ∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). ∴∠FDA=180 ﹣∠DAE=45 , 设四边形AEFD的边AD上高为FM, 则DM=FM, 由勾股定理得:2FM2=FD2, ∵FD=, ∴FM=1, ∴S AEFD=AD•FM=2 1=2. 即四边形AEFD的面积是2, 故答案为:2. 22.已知:如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,延长DE、BF,分别交AB于点H,交CD于点G,若AD∥BC,AE=CF. (1)求证:四边形ABCD为平行四边形; (2)若∠DAH=∠GBA,GF=2,CF=4,求AD的长. 【解答】(1)证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AED=∠CFB=90 , ∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠BCF, 在 DAE和 BCF中, , ∴ DAE≌ BCF(ASA), ∴AD=CB, ∵AD∥BC, ∴四边形ABCD为平行四边形; (2)解:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴∠DAH=∠BCG, AB∥CD, ∴∠CGB=∠GBA, ∵∠DAH=∠GBA, ∴∠CGB=∠BCG, ∴BG=BC, 在Rt CFB中, ∵BF=BG﹣FG=BC﹣2,CF=4, ∴BC2=BF2+CF2, ∴BC2=(BC﹣2)2+42, ∴BC=5. ∴AD=BC=5. 23.如图,在 ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=BC,求证:四边形OCFE是平行四边形. 【解答】证明:如图,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴点O是BD的中点. 又∵点E是边CD的中点, ∴OE是 BCD的中位线, ∴OE∥BC,且OE=BC. 又∵CF=BC, ∴OE=CF. 又∵点F在BC的延长线上, ∴OE∥CF, ∴四边形OCFE是平行四边形. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/11/9 10:05:00;用户:数学;邮箱:13540088780;学号:22333164 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$