第二章 1.简谐运动及其图像-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二物理选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（教科版2019）

1．简谐运动及其图像 　　　　 第二章 机械振动 1.认识机械振动和简谐运动，理解简谐运动的图像。　 2.认识描述简谐运动的物理量。　 3.理解简谐运动的表达式，并会用来分析相关问题。 素养目标 知识点一　机械振动 1 知识点二　弹簧振子的位移—时间图像 2 知识点三　简谐运动 3 课时测评 8 随堂达标演练 7 内容索引 知识点四　描述简谐运动的物理量 4 知识点五　简谐运动的表达式 5 知识点六　简谐运动的多解性问题 6 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点一　机械振动 返回 自主学习 情境导学　如图甲为正在荡秋千的儿童，如图乙为正在使用中的摆钟，如图丙为用弹簧悬挂的小球正在上下运动。 (1)上述情境中，儿童、摆锤、小球的运动中有什么共同点？ 提示：都在某个位置附近做往复运动。 (2)这种运动属于什么运动？ 提示：机械振动。 教材梳理 (阅读教材P38－P39完成下列填空) 1．机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置_____所做的往复运动，叫作机械振动，通常简称为振动，这个位置称平衡位置。 2．弹簧振子 (1)概念：将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽略不计，若不计空气阻力，这样的系统称为弹簧振子，其中小球称为振子。 (2)位移—时间图像 建立坐标系，横轴代表______，纵轴代表小球____________________，它就是小球在平衡位置附近往复运动的位移－时间图像，称为弹簧振子的振动图像。 两侧 时间t 相对平衡位置的位移x 合作探究 问题探究　如图甲、乙所示，如果能看成水平方向、 竖直方向的弹簧振子，请回答： (1)需要满足什么条件？ 提示：①弹簧的质量很小，相对于小球的质量可以忽略不计；②水平杆的摩擦力、空气阻力可以忽略不计。 (2)平衡位置怎样确定？ 提示：水平方向的弹簧振子的平衡位置在弹簧处于原长时的位置；竖直方向的弹簧振子的平衡位置在小球静止时所处的位置。 (3)振子的位移怎样描述？ 提示：振子的位移是以平衡位置为初位置指向振子所在位置的有向线段。 例1 振子平衡位置的定义为振子原来静止时的位置，故A错误，B正确；振子的位移为从平衡位置指向某时刻所在位置的有向线段，根据题意可判断C正确，D错误。 (多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一 个振动的系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上 下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是 A．钢球运动所能达到的最低处为平衡位置 B．钢球原来静止时的位置为平衡位置 C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm D．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm √ √ 1.弹簧振子是一种理想化模型 (1)质量：弹簧的质量比小球的质量小得多。 (2)体积：小球的体积很小，可当成质点处理。 (3)阻力：忽略一切摩擦及阻力作用。 (4)弹性限度：小球的振动范围在弹簧的弹性限度内。　　 探究归纳 2．对平衡位置的理解 (1)意义： ①振子静止不动时的位置； ②振子振动过程中合力为零时的位置。 (2)确定： ①水平弹簧振子的平衡位置在弹簧的原长位置； ②竖直弹簧振子的平衡位置在弹力与重力平衡的位置。 (3)特点：振动过程中振子经过平衡位置时速度最大、加速度为零。 探究归纳 理想弹簧振子中弹簧的质量可以忽略，小球体积忽略不计，可看成质点，不计摩擦阻力，小球一旦振动起来将不会停下来，而小球振动时，不能超出弹簧的弹性限度，故B、D正确，A、C错误。 针对练1.(多选)下列关于理想弹簧振子的说法正确的是 A．任意的弹簧和任意的小球就可以构成弹簧振子 B．弹簧振子中小球的振动范围不能超出弹簧的弹性限度 C．弹簧振子中小球的体积不能忽略 D．弹簧振子中的小球一旦振动起来就停不下来 √ √ 针对练2.如图所示的一弹簧振子，设向右为正方向，O为平衡位置，则下列过程中对于各量的描述正确的是 A．A→O时，位移为负，速度为正，加速度增大 B．O→B时，位移为正，加速度为负，加速度增大 C．B→O时，位移为负，速度为正，速度增大 D．O→A时，位移为负，加速度为正，速度增大 √ 位移方向是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段；加速度方向总是指向平衡位置；而速度方向要具体看弹簧振子的运动以及正方向的规定。规定向右为正方向，A→O、O→A位移为正，加速度为负，B→O、O→B位移为负，加速度为正；A→O、O→B速度为负，O→A、B→O速度为正；在A→O、B→O的过程中速度是增大的，加速度是减小的；在O→A、O→B的过程中速度是减小的，加速度是增大的。故选C。 返回 知识点二　弹簧振子的位移—时间图像 返回 自主学习 情境导学　如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。 请思考： (1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？ 提示：轨迹是一条平行于振子运动方向的直线。 (2)振子振动时匀速拖动白纸，画出的轨迹又是怎样的？ 提示：轨迹是一条正弦(或余弦)曲线，如图所示。 教材梳理 (阅读教材P39完成下列填空) 1．建立坐标系：以小球的_________为坐标原点，沿振动方向建立坐标轴。规定小球在平衡位置右边时位移为正，在平衡位置左边时位移为___。 2．图像绘制：选取小球平衡位置为坐标原点，建立 如图所示的坐标系，横轴和纵轴分别表示时间t和小球 的位移x。在坐标系中标出各时刻小球球心的位置，用曲线把各点连接起来，就是小球在_________附近往复运动时的位移—时间图像，即x -t图像。 平衡位置 负 平衡位置 合作探究 问题探究　如图为弹簧振子振动时的x -t图像。 (1)t1和t2时刻小球分别位于哪个位置？ 提示：t1时刻小球位于正向最大位移处，t2时刻小球位 于平衡位置。 (2)t1～t2时间内位移、速度的大小和方向各如何变化？ 提示：位移为正，在减小；速度增大，方向为负。 (3)t2～t3时间内位移、速度的大小和方向各如何变化？ 提示：位移为负，在增大；速度减小，方向为负。 例2 (多选)(2023·山东临沂高二月考)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，从最低点位置向上运动时刻开始计时，取竖直向上为正方向，振动图像如图乙所示。关于其振动图像，下列说法正确的是 A．t＝1.25 s时，振子的加速度为负，速度为负 B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度为正 C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 √ √ t＝1.25 s时，振子的位移为正，故加速度为负，x -t图像上某点切线的斜率表示振子的速度，故速度为负，A正确；同理t＝1.7 s时，振子的位移为负，加速度为正，速度为负，B错误；t＝1.0 s时，振子的位移为正向的最大值，加速度为负向的最大值，速度为零，C正确；t＝1.5 s时，振子的位移为零，加速度为零，速度为负向的最大值，D错误。 1．由振动图像(x -t图像)可判断任意时刻质点位移的大小和方向：如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 2．由振动图像(x -t图像)可判断任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向上振动。图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b点此刻向上振动。 探究归纳 3．由振动图像(x -t图像)可判断某段 时间内位移、速度、加速度的变化情 况：先判断质点在这段时间内的振动 方向，从而确定各物理量的变化。如 图甲所示，在t1时刻到t0时刻这段时间内，质点的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻到下一时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。　　 探究归纳 针对练1.如图是表示弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是 A．t＝0时刻振子的加速度最大 B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 C．t2时刻振子的位移为正的最大 D．t3时刻振子正通过平衡位置向负方向运动 √ 从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，此时振子的加速度最大，故A正确；由题图知，t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，故B错误；由题图知，t2时刻振子在负的最大位移处，即位移为负的最大，故C错误；由题图知，t3时刻以后，振子的位移为正，所以t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，故D错误。故选A。 针对练2.如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M(最右端N)距离平衡位置的距离为l，规定向右为正，其振动图像如图乙所示。下列说法正确的是 A．图中x0应为l B．0～t1时间内振子由M向O运动 C．t1～ 时间内振子由M向O运动 D．0～ 时间内与 ～T时间内振子运动方向相反 √ 结合题图甲、乙可知，t1时刻振子的位移为正值且最大，振子位于N点，x0应为l，A正确；0～t1时间内位移为正值，且逐渐增大，振子由O向N运动，B错误；t1～ 时间内位移为正值，且逐渐减小，振子由N向O运动，C错误；0～ 时间内振子先沿正方向运动到最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处， ～T时间内先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处，D错误。 返回 知识点三　简谐运动 返回 自主学习 情境导学　如图甲为水平方向的弹簧振子，利用频闪照相法得到其振动图像如图丙所示；如图乙为竖直方向的弹簧振子，利用频闪照相法得到其振动图像也如图丙所示。请思考： (1)由图像可知水平方向、竖直方向的弹簧振子的位移随时间的变化规律有什么共性？ 提示：都按正弦(或余弦)规律变化。 (2)具有此类共性规律的运动叫什么运动？ 提示：简谐运动。 教材梳理 (阅读教材P38—P39完成下列填空) 1．简谐运动：如果物体的位移与时间的关系遵从_________的规律，即它的振动图像(x -t图像)是一条_____曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2．简谐运动是最_____的振动。 正弦函数 正弦 基本 合作探究 问题探究　如图为水平方向的弹簧振子，先用力使小球 向左偏离其平衡位置O一小段距离，由静止释放。 (1)图甲所示时刻振子由左侧最大位移处B点向平衡位置 O点运动过程中，其位移、速度、加速度的大小如何变 化？方向如何？ 提示：振子由左侧最大位移处B点向平衡位置O点运动过程中，其位移逐渐减小、方向向左；速度逐渐增大、方向向右；加速度逐渐减小、方向向右。 (2)图乙所示时刻振子由平衡位置O点向右侧最大位移处 C点运动过程中，其位移、速度、加速度的大小如何变 化？方向如何？ 提示：振子由平衡位置O点向右侧最大位移处C点运动 过程中，其位移逐渐增大、方向向右；速度逐渐减小、方向向右；加速度逐渐增大、方向向左。 (3)图丙所示时刻振子由右侧最大位移处C点向平衡位置O点运动过程中，其位移、速度、加速度的大小如何变化？方向如何？ 提示：振子由右侧最大位移处C点向平衡位置O点运动过程中，其位移逐渐减小、方向向右；速度逐渐增大、方向向左；加速度逐渐减小、方向向左。 例3 位移减小时，加速度减小，速度增大，A错误；位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向可能相同，也可能相反，B错误；物体向平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相反，C正确；物体向平衡位置运动时，做加速度减小的加速运动，D错误。故选C。 关于简谐运动，下列说法中正确的是 A．位移减小时，加速度增大，速度也增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同 C．物体向平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相反 D．物体向平衡位置运动时，做匀加速运动 √ 1．简谐运动的理解 (1)运动图像：是正弦(或余弦)曲线。 (2)运动性质：是变加速往复直线运动，不是匀变速直线运动。 2．简谐运动过程中物体的位移、速度、加速度的特点 位移 1.大小：远离平衡位置的过程中，物体的位移增大；靠近平衡位置的过程中，物体的位移减小。 2.方向：从平衡位置指向物体所在位置。 注意：速度大小相同时，物体的位移大小相等，位移的方向可能相同，也可能相反。 探究归纳 速度 1.大小：(1)物体在平衡位置O点的速度最大，在最大位移处的速度为零。(2)远离平衡位置的过程中，物体的速度减小；靠近平衡位置的过程中，物体的速度增大。 2.方向：远离平衡位置的过程中速度方向背离平衡位置；靠近平衡位置的过程中速度方向指向平衡位置。 加速度 1.大小：(1)位于平衡位置时物体的加速度为零；位于最大位移处时物体的加速度最大。(2)远离平衡位置的过程中，物体的加速度增大；靠近平衡位置的过程中，物体的加速度减小。 2.方向：总是指向平衡位置，总是与位移方向相反。 探究归纳 3.判断简谐运动中位移、速度、加速度特点的技巧 (1)判断正负：要看其方向与规定的正方向的关系。 (2)判断大小变化：要看是处于远离平衡位置的过程中还是处于靠近平衡位置的过程中。 探究归纳 针对练1.根据图中各图像可以判断出物体可能做简谐运动的是 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ √ 根据题意，振动图像与正弦函数图像相似的①③的运动符合简谐运动的特征，故A、B、D错误，C正确。故选C。 针对练2.如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动， O是平衡位置，把向右的方向选为正方向，以某时刻作为计 时零点(t＝0)，此时振子正向负方向运动，加速度为零。那么如图所示的四个振动图像能正确反映振子振动情况的是 √ 计时零点，振子加速度为零，对应振子在平衡位置，B、C错误；振子向负方向运动，负向位移应逐渐增大，A错误，D正确。 返回 知识点四　描述简谐运动的物理量 返回 自主学习 教材梳理 (阅读教材P40完成下列填空) 1．振幅 (1)定义：振子离开平衡位置的_________，用A表示，单位为米(m) 等。 (2)振动范围：振动物体运动的范围为振幅的两倍。 (3)物理意义：振幅是表示振动强弱的物理量。 2．全振动：如图所示，如果振子由B点经O点运动到B′点，又由B′ 点经O点回到B点，我们就说振子完成了一次全振动。 最大距离 3．周期和频率 内容 周期 频率 定义 振子完成一次_______所需要的时间，用T表示 完成_______的次数与所用时间之比，用f表示 单位 ___(s) _____(Hz) 物理含义 表示_________的物理量 关系式 T＝ 全振动 全振动 秒 赫兹 振动快慢 4．相位：表示振动_____的物理量。 步调 合作探究 问题探究　如图为一个水平弹簧振子，振动周期为T，振 幅为A，O点为其平衡位置，B、C点为振动的最大位移处， E点与D点关于O点对称，且tOD＝tDC。 (1)振子向左经过D点开始，用图中字母如何表示一个全振动的过程？该过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？ 提示：DCDOEBEOD，时间t＝T，路程s＝4A，位移x＝0。 (2)振子经历C→O→B过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？ 提示：时间t＝ ，路程s＝2A，位移x＝2A。 (3)振子经历C→O、O→B两过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多少？位移大小分别是多少？ 提示：两个过程的时间、路程、位移大小都相同：时间t＝ ，路程s＝A，位移x＝A。 (4)振子经历D→C→D、D→O→E过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多少？位移分别是多少？ 提示：D→C→D过程：时间t＝ T，路程s＜A，位移x＝0。 D→O→E过程：时间t＝ ，路程s＞A，位移x>A。 例4 角度一　简谐运动物理量的分析 如图所示，一水平放置的弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离是20 cm，B→O运动时间是1 s，则 A．振动周期是2 s，振幅是10 cm B．从B→O→C振子做了一次全振动 C．经过三次全振动，通过的路程是80 cm D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm √ 针对练．关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是 A．振幅等于四分之一个周期内路程的大小 B．周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间 C．一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍 D．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次 √ 由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内的路程不一定等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz，1 s内速度方向改变100次，D正确。 例5 角度二　振动图像与简谐运动物理量的结合 (多选)如图是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是 A．物体的振动周期是2×10-2 s B．第2个10-2 s内物体的位移是－10 cm C．物体的振动频率为25 Hz D．物体的振幅是10 cm √ √ √ 由题图可知，物体完成一次全振动需要的时间为4×10-2 s，故周期为T＝4×10-2 s，A错误；在第2个10-2 s内，即在1×10-2 s到2×10-2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝ ＝ Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的最大位移为10 cm，则振幅为10 cm，故D正确。 1．对全振动的理解 (1)物理量特点：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 (2)时间特点：历时一个周期。 (3)路程特点：路程是振幅的4倍。 探究归纳 2．振幅与位移、路程、周期的关系 振幅与位移 振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。 振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。 振幅与路程 振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常见的定量关系是： (1)一个周期内路程为振幅的4A；(2)半个周期内路程为振幅的2A；(3) 个周期内路程可能大于A、等于A或者小于A。 探究归纳 针对练．(多选)(2023·江苏苏州高二期中)如图所示，一水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则 A．振动周期是2 s，振幅是8 cm B．振动频率是2 Hz C．小球完成一次全振动通过的路程是16 cm D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm √ √ 返回 知识点五　简谐运动的表达式 返回 自主学习 情境导学　如图是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，它是一 条正弦曲线。请根据数学知识用图中符号写出此图像的函 数表达式。 提示：表达式x＝A sin 。 教材梳理 (阅读教材P40—P42完成下列填空) 简谐运动的表达式为x＝A sin (ωt＋φ0)＝A sin ( t＋φ0)＝A sin (2πft＋φ0)。式中A表示振动的_____，T和f分别表示物体振动的周期和频率。2πft＋φ0是简谐运动的相位，φ0表示t＝0时的相位，叫作初相位，简称_____。 振幅 初相 合作探究 问题探究　如图是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，它是一 条正弦曲线。 (1)请根据数学知识用图中符号写出此图像的函数表达式， 并说明各量的物理意义。 提示：表达式x＝A sin ，式中A表示振幅，T表示周期，φ表示初相位。 (2)做简谐运动的质点在任意时刻t的位移如何表示呢？ 提示：写出表达式x＝A sin ，将时间t代入求解。 (3)有两个简谐运动：x1＝3a sin 和x2＝9a sin ，它们的振幅之比是多少？频率各是多少？ 提示：它们的振幅分别为3a和9a，比值为1∶3；频率分别为2b和4b。 例6 角度一　对简谐运动表达式的理解 (多选)有两个振动的振动方程分别是：x1＝3sin cm，x2＝5sin cm，下列说法正确的是 A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 √ √ 它们的振幅分别是3 cm、5 cm，所以它们的振幅不相同，故A错误；运动周期都是T＝ ＝0.02 s，所以它们的周期相同，故B正确；它们的相位差Δφ＝ － ＝ ，可得相位差恒定，故C正确；因为相位差不等于0，所以它们的振动步调不一致，故D错误。 1．表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 2．其中 t＋φ0为相位，描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 探究归纳 3．从表达式体会简谐运动的周期性：当Δφ＝(ωt2＋φ0)－(ωt1＋φ0)＝2nπ(n＝1，2，3…)时，Δt＝ ＝nT(n＝1，2，3…)，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。　　 4．相位差：频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 (1)若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相。 (2)若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 探究归纳 针对练．(2023·山东日照期中)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s。若振子向右经过OB的中点P时开始计时，则振子的位移—时间关系为 √ 弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm，所以振幅为0.1 m，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s，所以 T＝0.75 s，ω＝ ＝2π rad/s，则x＝0.1sin (2πt＋φ) m，振子向右经过OB的中点P时开始计时，t＝0时x＝5 cm，代入上式得x＝0.1sin (2πt＋ ) m，故选C。 例7 角度二　表达式与x-t图像相结合 (2023·湖北孝感期中)一水平弹簧振子做简谐运动， 其位移与时间的关系如图所示。求： (1)该简谐运动的表达式； 答案：x＝2sin cm 由题图可知A＝2 cm，T＝0.8 s，ω＝ ＝ rad/s，由简谐运动表达式x＝A sin ωt，可得x＝2sin cm。 (2)t＝0.9 s时的位移；　 答案： cm　 (3)振子在前3.6 s内通过的路程。 答案：36 cm 将t＝0.9 s代入表达式，得 x＝2sin cm＝ cm。 在前3.6 s内，经过的周期数n＝ ＝ ＝4.5，振子在1T内通过的路程为4A，0.5T内通过的路程为2A，则在前3.6 s内，振子通过的路程为s＝4×4A＋2A＝36 cm。 由振动(x-t)图像能获取的信息 1．直接读取振幅A。 2．直接读取周期T，进而求出频率f。 3．得到质点在不同时刻的位移。 4．根据某一点的切线斜率可以判断该时刻的瞬时速度： (1)斜率绝对值的大小表示速度的大小。 (2)斜率的正负表示速度的方向。 探究归纳 5．比较不同时刻质点加速度的大小和方向： (1)位移越大处对应的加速度越大，反之则越小。 (2)位移为正时对应的加速度为负方向，位移为负时对应的加速度为正方向。 6．判断质点在不同时刻之间的相位差。 7．写出其位移表达式。　　 探究归纳 针对练．(2023·河北武安三中期中)如图所示的是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为 √ 返回 知识点六　简谐运动的多解性问题 返回 1．简谐运动的对称性 (1)状态量的对称性：当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，物体的： ①位移的大小一定相等、方向一定相反； ②加速度的大小一定相等、方向一定相反； ③速度的大小一定相等，方向可能相同、也可能相反。 (2)时间的对称性： ①振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图 中所示tBC＝tCB； ②振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等，如图中所示tBC＝tB′C′。 2.简谐运动的周期性 (1)若t2－t1＝nT(n＝1，2，3…)，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述运动的各状态量(x、a、v)均相同。 (2)若t2－t1＝nT＋ T(n＝0，1，2，3…)，则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述运动的各状态量(x、a、v)均大小相等、方向相反。 (3)若t2－t1＝nT＋ T或t2－t1＝nT＋ T(n＝0，1，2，3…)，则： ①当t1时刻物体恰好到达最大位移处时，t2时刻物体一定恰好经过平衡位置； ②当t1时刻物体恰好经过平衡位置时，t2时刻物体一定恰好到达最大位移处； ③当t1时刻物体在其他任意位置时，t2时刻物体到达何处没有确定的位置判断，只能视具体情况而定。 例8 (多选)(2022·山东临沂市高二期中)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.4 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为 A． s B．1 s C． s D．2 s 解题引导：该题中计时起点的运动方向不明确。可能为OM方向，可能与OM方向相反，要分情况讨论分析。 √ √ 作出可能的示意图如图甲、乙所示，若从O点开始向右振 子按图甲路线振动，则振子的振动周期为T1＝4×(0.4＋ ) s＝2 s；若从O点开始向左振子按图乙路线振动，M1为 M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2 ＝0.4 s＋0.2 s＋ s＝ s。，故A、D正确。 针对练1．(多选)一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则 A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍 B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于 的整数倍 C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的加速度一定相等 D．若Δt＝ ，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定不相等 √ √ 如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方 向相同，显然Δt不等于T的整数倍，故A错误；图 中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt< ， 故B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，C正确；相隔 的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，D正确。 针对练2．(多选)(2022·四川绵阳高二期末)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达某点P时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则振子第三次经过P点还要经过的时间是 A．1.6 s B．1.4 s C． s D．0.8 s √ √ 返回 随堂达标演练 返回 机械振动是指物体在平衡位置附近所做的往复运动，显然选项C中涉及的物体的运动不符合这一定义，故C错误，A、B、D正确。 1．(多选)(2022·湖北荆州期中)下列运动属于机械振动的是 A．拨动后的琴弦 B．水塘里的芦苇在微风作用后左右摆动 C．五星红旗迎风飘扬 D．钓鱼时浮标在水中上下浮动 √ √ √ 2．(多选)(2023·安徽蚌埠高二月考)一简谐运动的振动方程为x＝3sin ，式中位移x的单位是cm，则 A．振动的振幅为3 cm B．振动的频率为2.5 Hz C．振动的初相为φ＝ D．t＝1 s时的位移为2 cm √ √ √ 3．(选自鲁科版教材课后练习)心电图仪通过一系列的传感手段，可将与人心跳对应的生物电流情况记录在匀速运动的坐标纸上。医生通过心电图，测量相邻两波峰间隔的时间，便可计算出1 min内人心脏跳动的次数(即心率)。同一台心电图仪正常工作时测得被检者甲、乙的心电图分别如图a、b所示。若医生测量时记下被检者每分钟心跳60次，则可推知乙每分钟心跳的次数和这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小分别为 A．48次，25 mm/s B．48次，36 mm/s C．75次，45 mm/s D．75次，25 mm/s √ 4．(粤教版选择性必修第一册P44·例题·有删减)如图所示是某弹簧振子的振动图像。 (1)求振子振动的振幅、周期、频率。 答案：2 cm　0.8 s　 1.25 Hz　 振幅是振子离开平衡位置的最大距离，从题图中可以看出，最大距离为2 cm ，即振幅A＝2 cm 周期是完成一次全振动所需要的时间，题图中OD之间表示一次全振动，所对应的时间是0.8 s，所以周期T＝0.8 s 则频率f＝ ＝1.25 Hz。 (2)如果从点O开始计时，到图中的哪一点为止，振子完成了一次全振动？如果从点C开始计时呢？ 答案：D　G 从题图中可以看出，从点O开始计时，到点D为止，振子完成了一次全振动，并随即开始重复前面所经历的过程。如果从点C开始计时，则到点G为止，振子同样完成了一次全振动，所经历的时间都是0.8 s。 (3)当t＝1.4 s时，振子对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？ 答案：－2 cm　8 cm 从题图中可以看出，当t＝1.4 s时，振子对平衡位置的位移是－2 cm。它在一次全振动中所通过的路程就是振幅的4倍，即2×4 cm＝8 cm。 返回 课 时 测 评 返回 简谐运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，A、B错误；简谐运动中，物体的加速度不断变化，则简谐运动属于变加速运动，C错误，D正确。故选D。 1．(2023·上海中学期中)简谐运动属于 A．直线运动 B．曲线运动 C．匀变速运动 D．变加速运动 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2．关于振幅的各种说法中，正确的是 A．振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离 B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅 C．振幅等于振动物体运动轨迹的长度 D．振幅越大，表示振动越强，周期越长 √ 振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，A正确，B、C错误；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由于小球在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，而从b再回到a的最短时间为0.4 s，则从b再回到b的最短时间为0.2 s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1 s，因此振子的振动周期为T＝0.8 s。 3．(2022·吉林白城高二月考)如图所示，弹簧振子在dc间 振动，小球从a到b历时0.2 s，经a、b两点时速度相同， 若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动周期为 A．0.6 s B．0.8 s C．1.0 s D．1.2 s √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由题图可知，t＝1 s和t＝3 s时振子在最大位移处，速度为零，加速度分别为负向最大值、正向最大值，故A正确，C错误；t＝2 s和t＝4 s时振子在平衡位置，加速度为零，而速度分别为负向最大值和正向最大值，故B、D错误。 4．(2023·北京顺义区第一中学期中)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是 A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值 B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正向最大值 C．t＝3 s时，振子的速度为负向最大值，加速度为零 D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负向最大值 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5.(2023·江苏月考)一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，如 图所示，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经 过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么下列四个x-t图像能正确反映运动情况的是 √ 分析可知，t＝ 时，振子位于负方向的最大位移处，可知t＝0时刻振子的位移为0，且向负方向运动，接下来位移为负值，位移大小增大，故D正确，A、B、C错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6．(2023·广东深圳实验学校高中部月考)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为小球的平衡位置，其振动方程为x＝5sin cm。下列说法不正确的是 A．M、N间距离为10 cm B．小球的振动周期是0.2 s C．t＝0时，小球位于N点 D．t＝0时，小球具有最大速度 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由小球的振动方程x＝5sin cm可知，简谐运动的振幅A＝5 cm，则M、N间距离为10 cm，A正确；简谐运动的圆频率ω＝10π rad/s，所以其周期T＝ ＝ s＝0.2 s，B正确；将t＝0代入振动方程可得x＝ 5 cm，小球位于正向最大位移处，即N点，此时小球速度为零，C正确，D错误。故选D。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7．(2023·福建泉州侨光中学高二月考)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图(a)所示，它的振动图像如图(b)所示，设向右为正方向，下列说法正确的是 A．第0.2 s末质点的速度方向是A→O B．在4 s内完成6次全振动 C．第0.4 s末质点的加速度方向是A→O D．第0.7 s时质点在O点与A点之间 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 位移－时间图像切线的斜率表示振动速度，根据数学知识知，第0.2 s末质点的速度方向沿负方向，即从O→A，故A错误；质点的振动周期为T＝0.8 s，则在4 s内质点完成全振动的次数n＝ ＝ ＝5，故B错误；第0.4 s末，质点的位移为负向最大，质点的加速度为正向，即A→O，故C正确；第0.7 s时，质点在O与B两点之间，故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8．(2023·江苏盐城东元高级中学高二期中)在同一实验室中，甲、乙两水平弹簧振子的振动图像如图所示，则 A．甲中小球速度为零时，乙中小球速度也可能为零 B．任意2 s内，甲、乙中小球运动的路程相等 C．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝2∶1 D．若将振子乙的振幅也增为10 cm，则甲、乙振子的振动周期会相等 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由题图可知甲、乙的周期分别为T甲＝2.0 s，T乙＝ 1.0 s，甲中小球每一次位于最大位移处时，乙中小球 都经过平衡位置，所以甲中小球速度为零时，乙中小 球速度最大，故A错误；在任意2 s内，甲中小球的路 程s＝4A甲＝4×10 cm＝40 cm，乙中小球的路程s′＝8A乙＝8×5 cm＝ 40 cm，路程相等，故B正确；甲、乙两个振子的周期分别为T甲＝2.0 s， T乙＝1.0 s，甲、乙两个振子的周期之比为2∶1，又f＝ ，所以甲、乙振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2，故C错误；弹簧振子振动的周期与振幅无关，所以将振子乙的振幅也增为10 cm，则甲、乙振子的振动周期仍然不相等，故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9.(10分)在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振 动记录，如图甲是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小 球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振 动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)， 笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。 (1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据可算出振子的振动周期为多少？ 答案：0.2 s　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由题图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝ 可得t＝ ＝ s＝0.2 s，所以周期为0.2 s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)试着作出P的振动图像。 答案： 由题图乙可以看出P的振幅为2 cm，则振动图像如图所示。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原来相同。则由图丙中数据可求出纸带的加速度大小为多少？ 答案：1.0 m/s2 当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由题图丙可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2可得，加速度大小a＝ m/s2＝1.0 m/s2。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10．(10分)(2023·河南商丘第一高级中学月考)一质点以 O点为平衡位置在a、b两点间做简谐运动，M点在O点右侧，如图所示。t＝0时质点位于O点并向右运动，t＝0.3 s时质点第一次经过M点，t＝0.7 s时质点第2次经过M点，aO＝4 cm，求： (1)质点的振动周期； 答案：2 s 根据题意有 ＝0.3 s＋ s＝0.5 s，所以质点的振动周期T＝2 s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)t＝0到t＝10.5 s时间内质点运动的路程； 答案：84 cm 根据题意可知振幅A＝4 cm，因为Δt＝10.5 s＝5T＋ ，即前10 s内质点做了5次全振动，10～10.5 s内质点从平衡位置开始振动了 个周期，所以质点运动的路程s＝5×4A＋A＝21A＝84 cm。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (3)质点第102次经过M点的时刻。 答案：100.7 s 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 谢 谢 观 看 ！ 第二章 机械振动 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 振子从B→O是次全振动，周期T＝4×1 s＝4 s，振幅A＝OB＝＝10 cm，故A错误；从B→O →C→O →B是一次全振动，故B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4A，三次全振动通过的路程是120 cm，故C错误；从B开始3 s时间内振子做次全振动，路程是s＝×4A＝30 cm，故D正确。 由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝4 cm，A错误；频率f＝＝0.5 Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即s＝4A＝16 cm，C正确；小球在3 s内通过的路程为s1＝×4A＝×4×4 cm＝24 cm，D正确。 A．x＝0.2sin m B．x＝0.1sin m C．x＝0.1sin m D．x＝0.2sin m A．x＝8sin cm B．x＝8sin cm C．x＝8cos cm D．x＝8cos cm 简谐运动的表达式为x＝A sin (ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，则x＝8sin (πt＋φ) cm，在t＝0时，位移是4 cm，代入得 4 cm＝8sin φ cm，解得初相φ＝或φ＝，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝，则所求的振动方程为x＝8sin cm，A正确。 假设弹簧振子在B、C之间振动，有下面两种情况：①若振子开始先向左振动，如图甲所示，振子的振动周期为T＝×4 s＝ s，则振子第三次通过P点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s； ②若振子开始先向右振动，如图乙所示，振子的周期为T＝4× s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故B、C正确，A、D错误。 对比简谐运动表达式x＝A sin ＝A sin (2πft＋φ0)可知，振动的振幅为A＝3 cm，f＝2.5 Hz，初相位φ0＝，A、B、C正确；t＝1 s时的位移为x＝3sin cm＝3sin cm＝－ cm，D错误。 设甲、乙心跳的周期分别为T甲、T乙，由题图可知，x甲＝v·T甲，x乙＝v·T乙，又T甲＝ min＝1 s，可求得坐标纸走纸的速度v＝ mm/s＝25 mm/s，T乙＝＝0.8 s，乙每分钟心跳的次数为＝75次，故选项D正确。 质点第2次经过M点的时刻为t2＝0.7 s，根据周期性，质点第4次经过M点的时刻为t4＝t2＋T＝t2＋T，质点第6次经过M点的时刻为t6＝t2＋2T＝t2＋T，根据归纳法，当n为偶数时，质点第n次经过M点的时刻为tn＝t2＋T，所以t102＝t2＋T＝100.7 s。 $$