广东省潮州市松昌中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

1 潮州市松昌中学 期中教学检测 高二级数学科试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是最符合题目要求的. 1．设  1, , 2a y  ，  1,1,1b    ，且 a b   ，则 y等于（ ） A． 1 B．1 C． 2 D．2 2. 已知直线 1 : 1 0  l mx y ， 2 : (4 3) 1 0l m x my    ，若 1 2//l l ，则实数m的值为 （ ） A. 3 B. 1 C. 1或 3 D. 0或 1 3 3. 已知向量  0,1,1a   ，  1,2,1b   ，则b  在 a  上的投影向量为（ ） A. 3 2 3 20, , 2 2        B. 1 1,1, 2 2       C. 3 30, , 2 2       D. 2 2, 2, 2 2        4. 如图所示，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，N 为 1 1AC 与 1 1B D 的交点，M 为 1DD 的 中点，若 AB a   = ， AD b   ， 1AA c   ，则MN   （ ） A. 1 1 1 2 2 2 a b c     B. 1 1 1 2 2 2 a b c     C. 1 1 1 2 2 2 a b c     D. 1 1 1 2 2 2 a b c     5.. 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中，D为棱 1 1A B 的中点， 2AC  ， 1 1CC BC  ， AC BC ，则异面直线 CD与 1BC 所成角的余弦值为（ ） A. 3 3 B. 2 6 C. 2 4 D. 2 3 2024—2025学 年度第一学期 2 6. 点  1,0P ，点Q是圆 2 2 4x y  上的一个动点，则线段 PQ的中点M的轨迹方 程是（ ） A. 2 2 1 1 2 x y       B. 2 2 1 4 2 x y       C. 2 21 1 2 x y       D. 2 21 4 2 x y       7．已知点    2, 3 , 2,1A B  ，若过点  1,2P 的直线 l与线段 AB相交，求直线 l的斜 率 k的取值范围为（ ） A． 1 3 k  或 5k   B． 1 3 k  或 1 5 k   C． 15 3 k   D． 1 5 k  1 3  8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马 傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观 望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路 程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 1x y  ，若将军从点 (2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为 3x y  ，并假定将军只要到达军营所在区域即 回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A. 2 2 1 B. 10 1 C. 2 2 D. 10 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线 3 2y x  在 y轴上的截距是 2 B. 直线 2 5 0x y   经过第一、二、三象限 C. 过点  5,0 ，且倾斜角为 90°的直线方程为 5 0x   D. 过点  1,2P 且在 x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 3 0x y   3 10. 已知空间中三点  0,1,0A ，  2,2,0B ，  1,3,1C  ，则（ ） A. AB  与 AC  是共线向量 B. 与向量 AB  方向相同的单位向量坐标是 2 5 5, ,0 5 5        C. AB  与 BC  夹角的余弦值是 55 11 D. BC  在 AB  上的投影向量的模为 5 11．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1， E是 1DD的中点，则（ ） A．直线 1 / /BC 平面 1ABD B． 1 1BC BD C．三棱锥 1 1C BCE 的体积为 1 3 D．三棱锥 1 1 C BCE 的外接球的表面积为 41π 16 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 直线 1 : 2 2 0l x y   与直线 2 : 2 4 1 0l x y   之间的距离为_____________． 13. 如图，已知平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧棱 1AA 长为 3，且 1 1 120A AB A AD    ，则 1AC  _____________． 14.已知直线  4 2y k x   与曲线 24 2y x   有两个 不同的交点，则实数 k的取值范围是______. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 15.（本小题满分 13分）已知向量  1,2,2a   ，  2,1, 1b     . （1）求 a b   ； （2）求 2a b   ； （3）若  a a b   （R），求的值. 4 16.（本小题满分 15分） 已知 ABC 的三个顶点分别是 (5,1)A ， (7, 3)B  ， ( 8, 2)C  ． （1）求BC边上的高所在的直线方程； （2）求 ABC 的外接圆的标准方程． 17.（本小题满分 15分） 在长方体���� − �1�1�1�1中，底面����为正方形， ��1 = 2，�� = 1，�为��中点，�为��1中点. (1)求证：�� ⊥ �1�； (2)求��1与平面��1�成角的余弦值. 18.（本小题满分 17分） 阿波罗尼斯（约公元前 262-190年）证明过这样一个命题： 平面内到两定点距离之比为常数 k（ 0k  且 1k  ）的点的轨迹是圆， 后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点  1,0A  与点  2,0B 的距离之比为 2， 记动点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C的方程； （2）过点  5, 4P  作曲线C的切线，求切线方程. 19．（本小题满分 17分） 如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E，F分别为线段 AB， 1 1BC 的 中点． (1)求 F点到 1AC的距离 (2)求点 F到平面 1ACE的距离： (3)若平面 1A EC与平面 1 1BCC B 交于直线 l，求二面角 1A l F  的余弦值．